Seite 1: Aufgaben zur Funktionsanalyse

Die erste Seite der Klausur enthält vier Aufgaben, die sich auf die Analyse von Funktionen konzentrieren. Diese Aufgaben bilden den ersten Teil der Prüfung, der ohne Hilfsmittel zu bearbeiten ist und maximal 25 Minuten dauern soll.

Die erste Aufgabe fordert die Bestimmung des Krümmungsverhaltens der Funktion f(x) = -0,5x³ + 3x². Dies erfordert eine Analyse der zweiten Ableitung der Funktion.

Highlight: Die Analyse des Krümmungsverhaltens ist ein wichtiger Aspekt bei der Untersuchung von Extremwertaufgaben.

In der zweiten Aufgabe sollen die Extrempunkte derselben Funktion bestimmt werden. Dies beinhaltet die Berechnung der ersten Ableitung und das Finden ihrer Nullstellen.

Die dritte Aufgabe bezieht sich auf eine andere Funktion, f(x) = x³ + x² + x, und verlangt die Bestimmung ihrer Wendestelle. Hierfür ist die Analyse der zweiten Ableitung erforderlich.

Definition: Eine Wendestelle ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert.

Die vierte Aufgabe ist komplexer und erfordert die Bestimmung der Funktionsgleichung einer achsensymmetrischen Funktion 4. Grades mit spezifischen Eigenschaften. Diese Aufgabe testet das Verständnis für die Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften einer Funktion und ihrer algebraischen Darstellung.

Beispiel: Eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades könnte die Form f(x) = a(x-b)⁴ + c haben, wobei die Parameter a, b und c entsprechend den gegebenen Bedingungen zu bestimmen sind.

Seite 3: Detaillierte Analyse der Laktatkonzentration

Diese Seite enthält mehrere Teilaufgaben, die sich auf die tiefgehende Analyse der Laktatkonzentrationsfunktion k(x) beziehen. Die Aufgaben erfordern sowohl grafische als auch rechnerische Fähigkeiten.

Teilaufgabe a) verlangt die Berechnung der prozentualen Abweichung zwischen dem vom Modell vorhergesagten Wert und dem tatsächlich gemessenen Wert bei einer Geschwindigkeit von 13 km/h. Dies testet die Fähigkeit der Schüler, die Genauigkeit des Modells zu quantifizieren.

Beispiel: Die Berechnung der prozentualen Abweichung könnte wie folgt aussehen: ((Modellwert - Messwert) / Messwert) * 100

In Teilaufgabe b) sollen die Schüler anhand des Graphen die Geschwindigkeit bestimmen, ab der die Laktatkonzentration ansteigt, sowie die Geschwindigkeit, bei der sie 3,25 mmol/l überschreitet. Dies erfordert eine genaue Interpretation des Graphen.

Highlight: Die Bestimmung des Punktes, an dem die Laktatkonzentration zu steigen beginnt, ist entscheidend für die Ermittlung der Laktatschwelle, ein wichtiger Parameter in der Sportphysiologie.

Teilaufgabe c) fordert die rechnerische Ermittlung der Geschwindigkeit, bei der die Laktatkonzentration am stärksten abnimmt. Dies entspricht dem Minimum der ersten Ableitung von k(x) und ist ein klassisches Extremwertproblem.

Die weiteren Teilaufgaben d) bis i) beinhalten verschiedene Analysen der Funktion k(x), einschließlich der Berechnung von Änderungsraten, der Untersuchung von Symmetrieeigenschaften und der Bestimmung von Schnittpunkten mit anderen Funktionen. Diese Aufgaben testen das umfassende Verständnis der Schüler für Funktionsanalyse und die Anwendung von Differentialrechnung.

Seite 5-7: Lösungsansätze und Berechnungen

Die letzten drei Seiten der Klausur enthalten handschriftliche Lösungsansätze und Berechnungen zu den gestellten Aufgaben. Diese Seiten geben Einblick in die erwarteten Lösungswege und die Komplexität der Berechnungen.

Auf Seite 5 sind Berechnungen zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens der Funktion f(x) = -0,5x³ + 3x² zu sehen. Die zweite Ableitung wird berechnet und analysiert, um das Krümmungsverhalten zu bestimmen.

Definition: Das Krümmungsverhalten einer Funktion gibt an, ob der Graph nach oben oder unten gekrümmt ist und wo sich Wendepunkte befinden.

Seite 6 zeigt Berechnungen zur Bestimmung von Extrempunkten und möglicherweise zur Lösung der Aufgabe mit der achsensymmetrischen Funktion 4. Grades.

Highlight: Die Bestimmung von Extrempunkten ist ein zentraler Aspekt bei Extremwertaufgaben und erfordert die Anwendung der Differentialrechnung.

Auf Seite 7 sind weitere Berechnungen und möglicherweise Skizzen zu sehen, die sich auf die komplexeren Aufgaben der Klausur beziehen könnten, wie die Modellierung der Flugbahn oder die Optimierung der Einzäunung.

Beispiel: Ein Extremwertproblem Rechner könnte ähnliche Schritte durchführen, um Lösungen für solche Aufgaben zu finden.

Diese Lösungsansätze demonstrieren die Vielfalt der mathematischen Techniken, die zur Lösung von Extremwertaufgaben und verwandten Problemen erforderlich sind, von der Differentialrechnung bis hin zur grafischen Analyse und algebraischen Manipulation.