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-> Ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen, werden stets in Abgrenzung zu den
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Ganzrationale Funktionen -> Ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen, werden stets in Abgrenzung zu den gebrochen rationalen Funktionen definiert. Polynomfunktionen sind - wie der Name bereits sagt - immer die Summe einzelner polynomieller Bestandteile in einer Variablen x Allgemeine Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen: f(x)= a₁x^+ a- lx" +...+ a₂x²+ a₁x + a。 1. Ableitung 1. Potenzregel f(x) = x^ f'(x) = n²x²-₁ Bsp. f(x) = x 5 f'(x) = 5x²-1 = 5x" = 3. Summenregel h(x) = ((x) + u(x) h'(x) = ('(x) + u²(x) f (9)-f(7) 9-7 = -> Mittlere Änderungsrate Ist eine Funktion auf einem Intervall definiert, dann kann man mit dem Differentenquotienten die Steigung der Sekante berechnen. Diese entspricht bei Anwendungen der mittleren Änderungsrate im Intervall Bsp.: f(x) = x² I = [7; 9]] f(7) ५१ f (9) = 81 81-49 = 9-7 -> 32 2 2. Faktorregel g(x) = r.xn g'(x)=r.n・x^-^ = 16 Bsp. h(x) = 7x³-4x² h'(x) = 7.3x³²-1-4.2.x²-1 = 21x² - 8x m = Bsp. g(x) = 3x4 4-1 g'(x) = 3·4·x²¹²²= 12x³ y₂ - y₁ X2 X 1 Steigung Allgemein: f(x)= m⋅x + n 2. Die Bedeutung der 2.Ableitung Die Funktion f ist auf einem Intervall I definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre erste Ableitung f´ sind differenzierbar ● ● Wenn im Intervall I f (x) > O gilt, dann ist der Graph von f in I linksgekrümmt Wenn im Intervall I f (x) < O gilt, dann ist der Graph von f in I rechtsgekrümmt Linkskrümmung = konvex Rechtskrümmung konkav = -> Krümmungsverhalten rechnerisch bestimmen f (x) = x³...

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- 3x² + 1 1. erste Ableitung bilden: f'(x)=3x² - 6x 2. zweite Ableitung bilden : f"(x) = 6x-6 3. Um auf das Krümmungsverhalten der Funktion schließen zu können, müssen wir untersuchen, für welche x-Werte die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Deshalb stellen wir zwei Ungleichungen auf: f"(x) > 0 f"(x) < 0 6x-6 > 0 6x-6 <0 4. Nach x auflösen: f"(x) > 0 6x-6> 0 6x > 6 x < 1 f"(x) < 0 6x-6c0 6x²6 x > 1 0 0 Linkskurve if (x) f'(x) > 0 f(xo) Xo f'(xo) ixo Rechtskurve f" (x) < 0 5. Rückschlüsse über das Krümmungsverhalten der Funktion: Ist x größer als I, so ist die zweite Ableitung größer als O. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion hier linksgekrümmt ist. Ist x kleiner als I, so ist die zweite Ableitung kleiner als O. Das bedeutet der Graph der Funktion ist hier rechtsgekrümmt. Fig. 1 3. Kriterien für Extremstellen -> Hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen mithilfe der zweiten Ableitung Die Funktion fist auf einem Intervall I definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre erste Ableitung f sind differenzierbar. Wenn f (Xo) = O und f" (xo) < O ist, dann hat f an der Stelle x ein lokales Maximum fixo). Wenn f(x) = O und f" (x,) > O ist, dann hat f an der Stelle x ein lokales Minimum f(x). Absolutes Minimum kein kleinerer Funktionswert (gleichzeitig ein lokales Minimum) Bsp: f(x) = x³ 3x² a - ; 1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 f(x) Wende- punkt links- gekrümmt Lokales Maximum kein größerer Funktionswert in der Nähe Wendepunkt (Sattelpunkt) Wendestelle Lokales Minimum kein größerer Funk- tionswert in der Nähe Wendestelle (Sattelstelle) b 2. Hinreichende Bedingung: f(x) = 6x-6f"(x) ≤O? f" (0) = 6.0 - 6 = -6 → Hochpunkt f" (2) = 6.2-6 rechtsgekrümmt linksgekrümmt Lokales Maximum kein größerer Funktionswert in der Nähe f'(x) = 3x² - 6x X X₁ →> 3x² - 6x = 0 | AK x. (3x-6)=0 3. y-Koordinate: f(0) = 0³-3.0²=0 → TP (010) f(2)= 2³ 3.2² =2 -> HP (212) 4. Kriterien für Wendestellen Die Funktion f ist auf einem Intervall I definiert, zweimal differenzierbar und x, ist im Intervall I. Eine Stelle xobei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt W (x I f (x2)) heißt Wendepunkt des zugehörigen Graphen. -4 -2 Ay Lokales Minimum kein größerer Funktionswert in der Nähe d P₁ Absolutes Maximum kein größerer Funktionswert als dieser (auch gleichzeitig ein lokales Maximum) P₂ 2 e X 3x -6=0 +6 1:3 x₂= 2 6 Tiefpunkt Der blaue Graph wechselt bei Pl, von einer Rechts- in eine Linkskurve Der rote Graph wechselt bei P2, von einer Links- in eine Rechtskurve Bestimmen von Wendepunkten: 1. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f" (x) = O bestimmen, um mögliche Wendestellen zu finden. 2. Hinreichende Bedingungen: i) Wenn f (x) = O und f (x₂)+0 ist, dann ist x eine Wendestelle von f. Falls f (x) = O und f(x) = O gilt, wendet man das VZW-Kriterium für Wendestellen an: ii) Wenn f (x) = O ist und f" an der Stelle x einen VZW hat, dann hat f an der Stelle xo eine Wendestelle. 3. y-Koordinaten der Wendepunkte: Einsetzen der Wendestellen in f(x). Beispiel: 2x3 - 6x² 1. Notwendige Bedingung:_f"(x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: fill (1) = 12 > 0 f'(x) = 6x² - 12x ; f"(x) = 12x - 12; f" (x) = 12 12x 12 = 0 -> xw = 1 ; f" (xw) = 0 L-R-W f (xw) #0 flll (xw) ≤0 L> Links-Rechts-Wendestelle (Krümmung) f(1) = 2.1³ - 6·1² = - 4 -> W (11-u) f (xw) > O R-L-W

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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