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ganzrationale Funktionen, Nullstellen, Symmetrie etc.
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27. Juni 2025
•
Die Analyse ganzrationaler Funktionenumfasst mehrere wichtige mathematische Konzepte und... Mehr anzeigen
Die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen erfordert systematisches Vorgehen. Bei Funktionen wie f = wendet man zunächst die Linearfaktorzerlegung an. Der erste Faktor ergibt direkt x = -2 als Nullstelle. Für den zweiten Faktor nutzt man die p-q-Formel oder quadratische Ergänzung.
Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt. Bei ganzrationalen Funktionen entspricht die Anzahl der Nullstellen maximal dem Grad der Funktion.
Bei Funktionen höheren Grades wie g=x⁴-8x³ hilft die Substitutionsmethode. Man fasst x³ als neue Variable auf und löst zunächst eine quadratische Gleichung. Durch Rücksubstitution erhält man dann alle Nullstellen.
Beispiel: Bei der Funktion i=x²-4 ergeben sich durch Faktorisierung die Nullstellen x₁,₂ = ±2. Die Funktion schneidet die x-Achse also bei -2 und +2.
Die Symmetrie einer Funktion lässt sich anhand der Exponenten analysieren. Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Graphen zur y-Achse, ungerade Exponenten zu punktsymmetrischen Graphen zum Ursprung.
Merkmale: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f gilt. Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f = f.
Das Globalverhalten beschreibt das Verhalten einer Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der höchste Exponent mit seinem Vorzeichen, ob der Graph für x→±∞ nach oben oder unten verläuft.
Beispiel: Die Funktion f = x⁶ - 2x⁴ - 3x² hat für x→±∞ positives Verhalten, da der Term mit dem höchsten Exponenten x⁶ dominiert.
Bei der Zuordnung von Funktionsvorschriften zu Graphen muss man systematisch vorgehen und das Globalverhalten sowie lokale Eigenschaften untersuchen. Wichtige Kriterien sind:
Vokabular: Das Globalverhalten einer Funktion wird durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Gerade Exponenten führen zu U-förmigen, ungerade zu S-förmigen Verläufen.
Ganzrationale Funktionen finden praktische Anwendung bei der Modellierung realer Situationen. Ein Beispiel ist die Beschreibung einer Wildwasserbahn durch f = -0,7x⁴+6,8x³-21,4x²+21,9x.
Praxisbeispiel: Die Nullstellen dieser Funktion geben die Punkte an, wo die Bahn die Wasseroberfläche durchbricht. Lokale Maxima entsprechen den höchsten Punkten der Bahn.
Die Analyse solcher Funktionen erfordert:
Die Symmetrie Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei ganzrationalen Funktionen. Bei der Analyse der Symmetrie unterscheiden wir zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen.
Definition: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f = f. Dies tritt bei Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten auf.
Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Ein Punktsymmetrische Funktion Beispiel wäre f = x³ - 3x, bei der f = -f gilt. Die Analyse der Exponenten ist entscheidend für die Bestimmung der Symmetrieart.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt ihr Verhalten für x → ±∞ und wird maßgeblich durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Bei der Beschreibung des Globalverhaltens müssen folgende Aspekte berücksichtigt werden:
Beispiel: Bei der Funktion f = x⁶ - 2x⁴ - 13x² bestimmt der Term x⁶ das Globalverhalten. Da der Koeffizient positiv ist und der Exponent gerade, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen ist ein zentraler Aspekt der Funktionsanalyse. Für Funktionen dritten Grades und vierten Grades gibt es verschiedene Lösungsansätze.
Merke: Bei der Bestimmung von Nullstellen höheren Grades ist oft eine Faktorisierung oder die Verwendung des Horner-Schemas hilfreich.
Das Globalverhalten beschreiben umfasst auch die Analyse der Steigung und des y-Achsenabschnitts. Bei einer Funktion wie g = -x³ - x² + 1 ist der y-Achsenabschnitt +1, und die negative Basis führt zu einem Verlauf im 2. und 4. Quadranten.
Highlight: Die Kombination aus Symmetrie, Nullstellen und Globalverhalten ermöglicht eine vollständige Charakterisierung einer ganzrationalen Funktion.
Für das Funktionen Graphen zuordnen ist es wichtig, systematisch vorzugehen:
Der erste Teil der Klausur konzentriert sich auf die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen ohne Hilfsmittel.
Die Schüler sollen die Nullstellen für vier verschiedene Funktionen berechnen:
a) f = b) g = x⁴ - 8x³ c) i = x² - 4 d) j = x² - 16x - 17
Highlight: Diese Aufgabe trainiert die Fähigkeit, Nullstellen ganzrationaler Funktionen unterschiedlicher Grade zu bestimmen.
Die Schüler analysieren eine von Jonas erdachte Funktion f = 0,1x⁴ + x³ - 3x, die auf einem Grafikrechner dargestellt wird.
a) Sie sollen erläutern, warum die Fenstereinstellungen des Grafikrechners ungünstig gewählt sind.
b) Der Funktionsterm soll so variiert werden, dass bestimmte Grenzwerte und Annäherungen erfüllt werden.
Example: Eine mögliche Variation könnte sein: -0,1x⁴ + x³ - 3x, um den geforderten Grenzwert zu erreichen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Samantha Klich
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Die Analyse ganzrationaler Funktionen umfasst mehrere wichtige mathematische Konzepte und Methoden.
Bei der Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen gibt es verschiedene Herangehensweisen, abhängig vom Grad der Funktion. Für Funktionen dritten Grades (nullstellen funktion 3. grades) und vierten Grades... Mehr anzeigen
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Die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen erfordert systematisches Vorgehen. Bei Funktionen wie f = wendet man zunächst die Linearfaktorzerlegung an. Der erste Faktor ergibt direkt x = -2 als Nullstelle. Für den zweiten Faktor nutzt man die p-q-Formel oder quadratische Ergänzung.
Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt. Bei ganzrationalen Funktionen entspricht die Anzahl der Nullstellen maximal dem Grad der Funktion.
Bei Funktionen höheren Grades wie g=x⁴-8x³ hilft die Substitutionsmethode. Man fasst x³ als neue Variable auf und löst zunächst eine quadratische Gleichung. Durch Rücksubstitution erhält man dann alle Nullstellen.
Beispiel: Bei der Funktion i=x²-4 ergeben sich durch Faktorisierung die Nullstellen x₁,₂ = ±2. Die Funktion schneidet die x-Achse also bei -2 und +2.
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Die Symmetrie einer Funktion lässt sich anhand der Exponenten analysieren. Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Graphen zur y-Achse, ungerade Exponenten zu punktsymmetrischen Graphen zum Ursprung.
Merkmale: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f gilt. Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f = f.
Das Globalverhalten beschreibt das Verhalten einer Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der höchste Exponent mit seinem Vorzeichen, ob der Graph für x→±∞ nach oben oder unten verläuft.
Beispiel: Die Funktion f = x⁶ - 2x⁴ - 3x² hat für x→±∞ positives Verhalten, da der Term mit dem höchsten Exponenten x⁶ dominiert.
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Die Symmetrie Funktionen sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik, besonders bei ganzrationalen Funktionen. Bei der Analyse der Symmetrie unterscheiden wir zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen.
Definition: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f = f. Dies tritt bei Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten auf.
Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Ein Punktsymmetrische Funktion Beispiel wäre f = x³ - 3x, bei der f = -f gilt. Die Analyse der Exponenten ist entscheidend für die Bestimmung der Symmetrieart.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt ihr Verhalten für x → ±∞ und wird maßgeblich durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Bei der Beschreibung des Globalverhaltens müssen folgende Aspekte berücksichtigt werden:
Beispiel: Bei der Funktion f = x⁶ - 2x⁴ - 13x² bestimmt der Term x⁶ das Globalverhalten. Da der Koeffizient positiv ist und der Exponent gerade, strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞.
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Das Globalverhalten beschreiben umfasst auch die Analyse der Steigung und des y-Achsenabschnitts. Bei einer Funktion wie g = -x³ - x² + 1 ist der y-Achsenabschnitt +1, und die negative Basis führt zu einem Verlauf im 2. und 4. Quadranten.
Highlight: Die Kombination aus Symmetrie, Nullstellen und Globalverhalten ermöglicht eine vollständige Charakterisierung einer ganzrationalen Funktion.
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Die Schüler sollen die Nullstellen für vier verschiedene Funktionen berechnen:
a) f = b) g = x⁴ - 8x³ c) i = x² - 4 d) j = x² - 16x - 17
Highlight: Diese Aufgabe trainiert die Fähigkeit, Nullstellen ganzrationaler Funktionen unterschiedlicher Grade zu bestimmen.
Die Schüler analysieren eine von Jonas erdachte Funktion f = 0,1x⁴ + x³ - 3x, die auf einem Grafikrechner dargestellt wird.
a) Sie sollen erläutern, warum die Fenstereinstellungen des Grafikrechners ungünstig gewählt sind.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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