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ganzrationale funktionen und änderungsraten
30.11.2022
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symmetrie bei funktionen y \-----/ 2 → X f(-x) = f(x) →x f(-x) = f(-x) Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) gilt. Eine ganzrationale Funktion, bei der alle Exponenten gerade sind ist A.-S. Beispiel: f(x) = x³ + x² f(-x) = (-x) + (-x)² f(-x)= x³ + x² = f(x) Eine Funktion f ist punktsymmetrisch zum ursprung, wenn f(-x) = f(-x) gilt. Eine ganzrationale Funktion, bei der alle Exponenten ungerade sind ist P.-S. Beispiel: f(x) = x5 + x f(-x) = (-x) 5 + (-x) f(-x) = -x5-x = f(x) transformation von funktionen verschiebung entlang der y-Achse → g(x) = f(x) + e →nach oben →e>o (z. B. 2) →nach unten → eco (z. B.-2) Verschiebung entlang der x-Achse g(x) = f(x+d) →nach links →d>0 (z. B. 2) →nach rechts →d<0 (z. B.-2) Strecken /Stauchen entlang dery-Achse →g(x)=a. f(x) →gestreckt →a> 1 (z. B. 2) →gestaucht → 0<a<1 Cz. B. 0,7) →gestreckt und an der x-A. gespiegelta < 1 (2.B. - Z) gestaucht und an der x-A. gespiegelt → −1 <a<0 (z. B. -0,7) Strecken/Stauchen entlang der x-Achse g(x) = f(x.b) →gestauchtb>1 (z. B. 2) →gestreckt → 0<b<1 (z. B. 0,7) →gestaucht und an der y. A. gespiegelt → b < -1 (z. B.-2) →gestreckt und an der y-A.gespiegelt →-1<b< 0 (z. B. -0,7) durchschnittliche änderungsrate sekante y →X Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung der Sekante zwischen 2 Punkten auf dem Funktionsgraphen und kann mit dem Differenzen quotient berechnet werden. Differenzenquotient:...
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m = Ĉ Herleitung der Steigung der Sekante mit dem Steigungsdreieck nullstellenberechnung Schritte der Substitution 1. Substitution x² durch z ersetzen 2. Berechnung von z →pq-Formel anwenden 3. Resubstitution → z wieder durch x² ersetzen 4. Berechnung von x →Nullstellen berechnen Beispiel: f(x) = x²-x²-6 1.0= z²z-6 2 21,2 = - 1²/²2 ± √ ( ²1² ) ² + 6²° lineary aktoren Faktoren, bei denen die Funktionsvariale x den Exponenten hat, heißen Linearfaktoren. 92-9₁ X2-X1 Z₁ = 2₁ 2₂ = -3 3. Z₁ = 2 →x² = 2 Z₂=-3x² = -3 4. x² = 2X₁,2 = ± √2 x² =-3→ Minus verboten Nullstellen: x₁ = √2²₁ X₂ = -√2 Beispiel Linear faktorzerlegung: 1.0= x² + 3x -4 1pq-Formel anwenden 2. X1,2 = = − ²/2 ± √( ² )² +4° + X₁=1, X₂ = -4 Bei der Zerlegung in Linearfaktoren wird der quadratische Term in ein Produkt umgeformt: aus ax²+bx+ca Cx-x₁). (X-X₂) Beispiel: → FCx)=12.Cx+1). (x-3) Ursprungsform: →F(x)= 12x²-24x-36 Linearfaktoren: x-1, x +4 V die vorzeichen werden umgekehrt Calso+, −→+)