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Gauß-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Übungen und Lösungen

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19.10.2021

Mathe

Gaußverfahren, Ebenen und Geraden

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Schnittpunkt gerade ebene

Gauß-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Übungen und Lösungen

The Gauß-Verfahren einfach erklärt and geometric relationships between lines and planes form the core of analytical geometry. This comprehensive guide covers solving linear equation systems, vector calculations, and analyzing positional relationships between geometric objects in three-dimensional space.

  • The Gauß-Verfahren Matrix is demonstrated through detailed examples showing step-by-step solutions
  • Vector operations include calculating Richtungsvektor und Stützvektor for lines and planes
  • Lagebeziehung Gerade Ebene concepts are explored through various scenarios including parallel, intersecting, and skew lines
  • Practical examples demonstrate how to determine if points lie on lines or planes
  • Special cases of Gauß-Verfahren unendlich viele Lösungen are explained with clear illustrations
...

19.10.2021

6978

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Vector Representation and Geometric Relationships

This page focuses on vector representation and geometric relationships in three-dimensional space. It introduces key concepts for understanding spatial relationships between points, lines, and planes.

Vocabulary:

  • Stützvektor (support vector): A vector that defines a point on a line or plane
  • Richtungsvektor (direction vector): A vector that indicates the direction of a line or plane

The page includes a diagram showing various points in 3D space, labeled from A to H, which helps visualize the spatial relationships discussed.

Highlight: Understanding the representation of vectors and points in 3D space is crucial for solving problems involving lines and planes.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Vector Operations and Triangle Properties

This page explores vector operations and their application in determining geometric properties of triangles. It presents a specific example of using vectors to check if a triangle is isosceles.

Example: Given points A(1,2,3), B(2,4,3), and C(3,1,3), the page demonstrates how to calculate vector lengths to determine if the triangle is isosceles.

The solution involves calculating the lengths of sides AB, BC, and AC using vector subtraction and the Pythagorean theorem.

Highlight: Vector operations provide a powerful tool for analyzing geometric properties of shapes in 3D space.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Planes and Coordinate Systems

This page delves into the representation of planes in 3D space and their relationship to coordinate systems. It explains how to determine points that lie on a given plane.

Definition: A plane in 3D space can be represented by an equation in the form x = a + ru + sv, where a is a point on the plane, and u and v are direction vectors.

The page provides examples of how to:

  1. Determine two points that lie on a given plane
  2. Represent planes using different coordinate axes

Highlight: Understanding plane equations is essential for solving problems involving the intersection of planes and lines.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line-Plane Relationships

This page focuses on determining whether a point lies on a given line and explores the relationships between lines and planes in 3D space.

Example: The page demonstrates how to check if the point (2,3,-1) lies on the line g: x = (7,5,4) + t(-3,-5,6).

The solution involves substituting the point coordinates into the line equation and solving for the parameter t.

Vocabulary:

  • Durchstoßpunkt (piercing point): The point where a line intersects a plane

The page also introduces three possible relationships between a line and a plane:

  1. The line is parallel to the plane
  2. The line lies entirely within the plane
  3. The line intersects the plane at a single point
Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line-Plane Intersection

This page continues the discussion of line-plane relationships, focusing on the case where a line lies entirely within a plane. It demonstrates how to determine this relationship mathematically.

Example: The page shows how to set up and solve a system of equations to check if a given line lies within a plane.

The solution involves equating the line and plane equations and analyzing the resulting system of equations.

Highlight: When a line lies within a plane, the system of equations has infinitely many solutions.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Coordinate Axis Intersections with a Plane

This page presents a problem involving finding the intersection points of a plane with the coordinate axes and determining if these points form an isosceles triangle.

Example: Given the plane E: x = (-8,5,6) + r(8,5,-9) + s(4,-5,1), find its intersections with the x, y, and z axes.

The solution involves setting up and solving systems of equations for each axis intersection.

Highlight: This problem combines concepts of plane equations, line-plane intersections, and triangle properties.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Continuation of Coordinate Axis Intersections

This page continues the solution from the previous page, completing the calculations for finding the intersection points of the plane with the coordinate axes.

The intersection points are found to be:

  • x-axis: (3,0,0)
  • y-axis: (0,3,0)
  • z-axis: (0,0,3)

Highlight: The symmetry of these intersection points (3 units along each axis) is noteworthy and simplifies further calculations.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Triangle Analysis

This page concludes the problem from the previous two pages by analyzing whether the triangle formed by the intersection points is isosceles.

The distances between the intersection points are calculated:

  • |AB| = √34
  • |BC| = √34
  • |AC| = √18

Conclusion: The triangle is not isosceles, as two sides have equal length (√34), but the third side has a different length (√18).

Highlight: This example demonstrates how vector and plane concepts can be applied to solve complex geometric problems.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line Relationships in 3D Space

This page provides an overview of the possible relationships between lines in three-dimensional space. It introduces key concepts and terminology for understanding these relationships.

Vocabulary:

  • Schnittpunkt (intersection point): Where two lines meet
  • Windschief (skew): Lines that do not intersect and are not parallel

The page outlines four possible relationships between lines:

  1. Intersecting at a point
  2. Identical (completely overlapping)
  3. Parallel
  4. Skew

Highlight: Understanding these relationships is crucial for solving problems involving multiple lines in 3D space.

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Gauß-Verfahren einfach erklärt: Beispiele, Übungen und Lösungen

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@brn01

The Gauß-Verfahren einfach erklärt and geometric relationships between lines and planes form the core of analytical geometry. This comprehensive guide covers solving linear equation systems, vector calculations, and analyzing positional relationships between geometric objects in three-dimensional space.

  • The Gauß-Verfahren Matrix... Mehr anzeigen
Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Vector Representation and Geometric Relationships

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Vocabulary:

  • Stützvektor (support vector): A vector that defines a point on a line or plane
  • Richtungsvektor (direction vector): A vector that indicates the direction of a line or plane

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Highlight: Understanding the representation of vectors and points in 3D space is crucial for solving problems involving lines and planes.

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Vector Operations and Triangle Properties

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Planes and Coordinate Systems

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  1. Determine two points that lie on a given plane
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Line-Plane Relationships

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  1. The line is parallel to the plane
  2. The line lies entirely within the plane
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Line-Plane Intersection

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Example: The page shows how to set up and solve a system of equations to check if a given line lies within a plane.

The solution involves equating the line and plane equations and analyzing the resulting system of equations.

Highlight: When a line lies within a plane, the system of equations has infinitely many solutions.

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Coordinate Axis Intersections with a Plane

This page presents a problem involving finding the intersection points of a plane with the coordinate axes and determining if these points form an isosceles triangle.

Example: Given the plane E: x = (-8,5,6) + r(8,5,-9) + s(4,-5,1), find its intersections with the x, y, and z axes.

The solution involves setting up and solving systems of equations for each axis intersection.

Highlight: This problem combines concepts of plane equations, line-plane intersections, and triangle properties.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Continuation of Coordinate Axis Intersections

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The intersection points are found to be:

  • x-axis: (3,0,0)
  • y-axis: (0,3,0)
  • z-axis: (0,0,3)

Highlight: The symmetry of these intersection points (3 units along each axis) is noteworthy and simplifies further calculations.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Triangle Analysis

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The distances between the intersection points are calculated:

  • |AB| = √34
  • |BC| = √34
  • |AC| = √18

Conclusion: The triangle is not isosceles, as two sides have equal length (√34), but the third side has a different length (√18).

Highlight: This example demonstrates how vector and plane concepts can be applied to solve complex geometric problems.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line Relationships in 3D Space

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Vocabulary:

  • Schnittpunkt (intersection point): Where two lines meet
  • Windschief (skew): Lines that do not intersect and are not parallel

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  1. Intersecting at a point
  2. Identical (completely overlapping)
  3. Parallel
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Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Determining Line Intersections

This page demonstrates how to determine if two lines intersect and find their point of intersection if they do. It provides a step-by-step example of the process.

Example: Given two lines, g₁ and g₂, the page shows how to set up and solve a system of equations to find their intersection point.

The solution involves:

  1. Equating the parametric equations of the two lines
  2. Solving the resulting system of equations
  3. Checking if the solution represents a valid intersection point

Highlight: The intersection point is found to be (3,1,6), demonstrating a successful application of the method.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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