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Gauß-Verfahren einfach erklärt mit Beispielen, Lagebeziehungen von Ebenen & Geraden, Vektoren Tipps

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Gauß-Verfahren einfach erklärt mit Beispielen, Lagebeziehungen von Ebenen & Geraden, Vektoren Tipps
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The Gauß-Verfahren (Gaussian elimination) is a powerful method for solving systems of linear equations. This document provides detailed examples and explanations of the Gaussian elimination process, vector operations, and geometric relationships between lines and planes.

Key points:
• Demonstrates step-by-step solutions for Gaussian elimination problems
• Covers vector concepts, including representation and calculations
• Explores relationships between lines and planes in 3D space
• Provides visual examples and geometric interpretations

19.10.2021

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Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

Line-Plane Intersection

This page continues the discussion of line-plane relationships, focusing on the case where a line lies entirely within a plane. It demonstrates how to determine this relationship mathematically.

Example: The page shows how to set up and solve a system of equations to check if a given line lies within a plane.

The solution involves equating the line and plane equations and analyzing the resulting system of equations.

Highlight: When a line lies within a plane, the system of equations has infinitely many solutions.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Determining Line Intersections

This page demonstrates how to determine if two lines intersect and find their point of intersection if they do. It provides a step-by-step example of the process.

Example: Given two lines, g₁ and g₂, the page shows how to set up and solve a system of equations to find their intersection point.

The solution involves:

  1. Equating the parametric equations of the two lines
  2. Solving the resulting system of equations
  3. Checking if the solution represents a valid intersection point

Highlight: The intersection point is found to be (3,1,6), demonstrating a successful application of the method.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Identical Lines

This page explores the case of identical lines in 3D space. It demonstrates how to recognize when two given line equations represent the same line.

Example: The page provides two line equations and shows how to determine that they represent identical lines.

The process involves:

  1. Setting up a system of equations by equating the two line representations
  2. Analyzing the resulting equations to show that they are consistent for all parameter values

Highlight: Identical lines result in a system of equations with infinitely many solutions, indicating that every point on one line corresponds to a point on the other.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Planes and Coordinate Systems

This page delves into the representation of planes in 3D space and their relationship to coordinate systems. It explains how to determine points that lie on a given plane.

Definition: A plane in 3D space can be represented by an equation in the form x = a + ru + sv, where a is a point on the plane, and u and v are direction vectors.

The page provides examples of how to:

  1. Determine two points that lie on a given plane
  2. Represent planes using different coordinate axes

Highlight: Understanding plane equations is essential for solving problems involving the intersection of planes and lines.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Continuation of Coordinate Axis Intersections

This page continues the solution from the previous page, completing the calculations for finding the intersection points of the plane with the coordinate axes.

The intersection points are found to be:

  • x-axis: (3,0,0)
  • y-axis: (0,3,0)
  • z-axis: (0,0,3)

Highlight: The symmetry of these intersection points (3 units along each axis) is noteworthy and simplifies further calculations.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Skew Lines

This page examines skew lines in 3D space, which are lines that neither intersect nor are parallel. It demonstrates how to identify this relationship mathematically.

Example: The page provides two line equations and shows the process of determining that they represent skew lines.

The approach includes:

  1. Setting up and attempting to solve a system of equations for the two lines
  2. Showing that the system has no solution, indicating the lines do not intersect
  3. Verifying that the direction vectors of the lines are linearly independent, proving they are not parallel

Highlight: Skew lines are characterized by having no solution to their combined equations and linearly independent direction vectors.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Vector Representation and Geometric Relationships

This page focuses on vector representation and geometric relationships in three-dimensional space. It introduces key concepts for understanding spatial relationships between points, lines, and planes.

Vocabulary:

  • Stützvektor (support vector): A vector that defines a point on a line or plane
  • Richtungsvektor (direction vector): A vector that indicates the direction of a line or plane

The page includes a diagram showing various points in 3D space, labeled from A to H, which helps visualize the spatial relationships discussed.

Highlight: Understanding the representation of vectors and points in 3D space is crucial for solving problems involving lines and planes.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Gaussian Elimination and Vector Operations

This page introduces two examples of the Gauß-Verfahren (Gaussian elimination) for solving systems of linear equations. The method systematically eliminates variables to find solutions.

Example: The first problem demonstrates solving a system of three equations with three unknowns. The solution is x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 2.

Example: The second problem is more complex, involving a system of four equations. The final solution is x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 1.

These examples illustrate the step-by-step process of Gaussian elimination, showcasing how to systematically reduce the system to find unique solutions.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line-Plane Relationships

This page focuses on determining whether a point lies on a given line and explores the relationships between lines and planes in 3D space.

Example: The page demonstrates how to check if the point (2,3,-1) lies on the line g: x = (7,5,4) + t(-3,-5,6).

The solution involves substituting the point coordinates into the line equation and solving for the parameter t.

Vocabulary:

  • Durchstoßpunkt (piercing point): The point where a line intersects a plane

The page also introduces three possible relationships between a line and a plane:

  1. The line is parallel to the plane
  2. The line lies entirely within the plane
  3. The line intersects the plane at a single point

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Line-Plane Intersection

This page continues the discussion of line-plane relationships, focusing on the case where a line lies entirely within a plane. It demonstrates how to determine this relationship mathematically.

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Example: Given two lines, g₁ and g₂, the page shows how to set up and solve a system of equations to find their intersection point.

The solution involves:

  1. Equating the parametric equations of the two lines
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Identical Lines

This page explores the case of identical lines in 3D space. It demonstrates how to recognize when two given line equations represent the same line.

Example: The page provides two line equations and shows how to determine that they represent identical lines.

The process involves:

  1. Setting up a system of equations by equating the two line representations
  2. Analyzing the resulting equations to show that they are consistent for all parameter values

Highlight: Identical lines result in a system of equations with infinitely many solutions, indicating that every point on one line corresponds to a point on the other.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Planes and Coordinate Systems

This page delves into the representation of planes in 3D space and their relationship to coordinate systems. It explains how to determine points that lie on a given plane.

Definition: A plane in 3D space can be represented by an equation in the form x = a + ru + sv, where a is a point on the plane, and u and v are direction vectors.

The page provides examples of how to:

  1. Determine two points that lie on a given plane
  2. Represent planes using different coordinate axes

Highlight: Understanding plane equations is essential for solving problems involving the intersection of planes and lines.

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The intersection points are found to be:

  • x-axis: (3,0,0)
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Highlight: The symmetry of these intersection points (3 units along each axis) is noteworthy and simplifies further calculations.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Skew Lines

This page examines skew lines in 3D space, which are lines that neither intersect nor are parallel. It demonstrates how to identify this relationship mathematically.

Example: The page provides two line equations and shows the process of determining that they represent skew lines.

The approach includes:

  1. Setting up and attempting to solve a system of equations for the two lines
  2. Showing that the system has no solution, indicating the lines do not intersect
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Highlight: Skew lines are characterized by having no solution to their combined equations and linearly independent direction vectors.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Vector Representation and Geometric Relationships

This page focuses on vector representation and geometric relationships in three-dimensional space. It introduces key concepts for understanding spatial relationships between points, lines, and planes.

Vocabulary:

  • Stützvektor (support vector): A vector that defines a point on a line or plane
  • Richtungsvektor (direction vector): A vector that indicates the direction of a line or plane

The page includes a diagram showing various points in 3D space, labeled from A to H, which helps visualize the spatial relationships discussed.

Highlight: Understanding the representation of vectors and points in 3D space is crucial for solving problems involving lines and planes.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Gaussian Elimination and Vector Operations

This page introduces two examples of the Gauß-Verfahren (Gaussian elimination) for solving systems of linear equations. The method systematically eliminates variables to find solutions.

Example: The first problem demonstrates solving a system of three equations with three unknowns. The solution is x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 2.

Example: The second problem is more complex, involving a system of four equations. The final solution is x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 1.

These examples illustrate the step-by-step process of Gaussian elimination, showcasing how to systematically reduce the system to find unique solutions.

Beispiel 1: GAU SVERFAHREN 2x1-3xz-5xs =4 2x₂ + x3 = 0 3x3 = 6 2x -3x₂-5-2=-1 2x2 + 2 = O x3 = 2 21-3-(-1)-10 = -A x2 x3 -2 x₁ = 1 x2 = -1 *

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Line-Plane Relationships

This page focuses on determining whether a point lies on a given line and explores the relationships between lines and planes in 3D space.

Example: The page demonstrates how to check if the point (2,3,-1) lies on the line g: x = (7,5,4) + t(-3,-5,6).

The solution involves substituting the point coordinates into the line equation and solving for the parameter t.

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  • Durchstoßpunkt (piercing point): The point where a line intersects a plane

The page also introduces three possible relationships between a line and a plane:

  1. The line is parallel to the plane
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