Die mathematische Analyse von Funktionen ist ein fundamentaler Bereich der höheren Mathematik, der sich mit Ableitungen, Extremstellen, Wendepunkten und Nullstellen beschäftigt.
Eine Ableitung in Mathe beschreibt die Steigung einer Funktion an jedem beliebigen Punkt. Die Ableitungsfunktion gibt Auskunft über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion und ist essentiell für die Bestimmung von Extrempunkten und Wendestellen. Um die Ableitungsfunktion zu bestimmen, wendet man bestimmte Ableitungsregeln an, wie beispielsweise die Potenzregel, Produktregel oder Kettenregel.
Bei der Analyse von Funktionen spielen Schnittpunkte zweier Funktionen eine wichtige Rolle. Diese können sowohl zwischen linearen Funktionen als auch zwischen quadratischen Funktionen oder Funktionen 3. Grades auftreten. Zur Berechnung von Schnittpunkten werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Bei komplexeren Funktionen kann ein Taschenrechner oder Computer-Algebra-System hilfreich sein. Die Bestimmung von Extremstellen erfolgt durch das Nullsetzen der ersten Ableitung, während Wendepunkte durch die zweite Ableitung ermittelt werden. Lokale Extrempunkte können dabei Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) sein. Die Nullstellen der Ableitung geben wichtige Hinweise auf mögliche Extremstellen der Ursprungsfunktion. Für die vollständige Funktionsanalyse ist es wichtig, sowohl die erste als auch die zweite Ableitung zu untersuchen, obwohl in manchen Fällen auch eine Bestimmung von Extremstellen ohne 2. Ableitung möglich ist.
