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Grenzwerte

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11/12/13

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Definition: Folgengrenzwert Die Zahl g heißt Grenzwert der Folge (an), wenn für jedes ε>0 eine Indexzahl Ne gibt, so dass für n > NE gilt: lan-g|< { 2.4 2.2 2- 1.8 1.6 1.4 1.2 g 0.8 0.6 0.4- 0.2 -0.2 0 -0.2 -0.4 g+8 9-8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Gezeichnet ist die Folge an Beweis: 1.6 Wir setzen an 1.8 n 1 n n 2 Grenzwerte n 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 an-g 4 4.2 4.4 4.6 1 Der Grenzwert der Folge ist 1: lim n und g = 1 in die Gleichung ein. 4.8 5 n 5.2 5.4 5.6 n 1 1. Die Definition besagt, dass egal welchen Wert & wir nehmen, wir immer eine Indexzahl Ne finden werden, so dass alle Folgeglieder danach im E-Steifen liegen. Wir möchten rechnerisch rausfinden, ab welchem Index der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert ag niedriger als 0,3 ist. Wir setzen daher: n |a₁ g 0,3 5.8 Auf dem Bild wurde & = 0,3 gewählt. Wir sehen, dass ab dem 4. Glied der Folge alle restlichen Folgenglieder innerhalb des E-Steifen liegen. Wir können also N₂ = 4 nehmen. Da wir in der Definition n> Ne geschrieben haben, geht sogar N = 3, da alle Folgenglieder danach (Index größer als 3) im E-Steifen liegen. O 6 6.2 6.4 | n n 1 n n 1 10 3 0,3 1 n 0,3 n n 1 0,3n 0,3 1 Die Betragsstriche können wir hier weglassen, da n | n n muss also größer als : 0,3 10 3 zum Grenzwert 1 niedriger ist als & = 0,3. 0 für alle n 1 3,3 gewählt werden, damit der Abstand aller restlichen Folgenglieder