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Grundlagen der Differenzialgleichung

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Grundlagen der Differenzialgleichung

 Differenzenquotient
Ableitung und Tangente
Ableitung
:
с
n
X
f(x)-
Wichtige Werte:
f(x) [f'(x)
0
f(a)-
f(a)-
P
n-^
n-x
V=X² X²
a
P
Potenzre

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Differenzenquotient Ableitung und Tangente Ableitung : с n X f(x)- Wichtige Werte: f(x) [f'(x) 0 f(a)- f(a)- P n-^ n-x V=X² X² a P Potenzregel Für eine Funktion f mit f(x)=x²₁ ^ -^ =ײ -2 1 -X =2 Sin (x) cos(x) cos(x)-sin(x) a x-a Q Sekante X f(x)=f(a) Graph von f Tangente Als Tangente an den Graphen von f im Punkt P (a/f(a)) bezeichnet man diejenige Gerade, die den Punkt P enthält und die Steigung f'(a) hat. Graph von f Allgemeine Tangentengleichung: y = f'(a) (x-a) + f (a) Steigung der Sekante durch P(a/f(a)) und Q(x/f(x)); mittlere Anderungsrate von f im Intervall I: [aix] Ableitungsregeln und höhere Ableitungen - Faktorregel Für eine Funktion f mit f(x)=c_g(x), gift ('(x) = c.g² (x). Summenregel Für eine Funktion f mit f(x) = g(x) +h(x) gilt f'(x) =g'(x) +h'(x). Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(a/f(a)): f'(a). Der Graph van f hat an der Stelle a die Steigung f'(a). momentane Änderungsrate von f an der Stelle a • gilt f(x) = r²₁x²-₁ ganzrationale Funktion f(x) = ax^ Ist die Funktion f ganzrational, so ist auch die Ableitungs-Funktion ganzrational. Grad 3 kubische Funktion Jableiten Grad 2 quadratische Funktion Lableiten Grad 1: lineare Funktion ↓ableiten Grad 0 konstante Funktion + Lableiten Nullfunktion 1 ((x)-f(a) x-a @Studyyholiccc -Lineare Verkettung von Funktionen und deren Ableitung Hat man eine Funktion f mit f(x) = 11.(m.x+c) oder mit f(x) = u(v(x)), nennt man diese eine lineare Verkettung von u undl v. [lies: U von v von x. Dabei ist v(x) die innere Funktion und u(x) die äußere Funktion. 2 Die lineare Verkelung f ist differenzierbar. Für ihre Ableitungsfunktion...

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f'gilt f'(x) = m ·u' (mx + c). Produktregel Während man Summen von Funktionen summandenweise ableiten kann, gilt eine solch einfache Regel für Produkte nicht. Stalldessen setzt man die Funktion f= Uv mit f(x) = u(x). V(x) in die Ableitungsform f'(x) = u²(x) · V(x) + u(x)- v'(x) ein. Beispiel f(x) = 2x³7x² 2 f(x) = sin(x) ·x² 3 f'(x) = 6x²7x² + 2x³. 14x f'(x) = cos(x) x² + sin(x) · 2x Monotonie und Krümmung Betrachtet man den Graphen einer Funktion, so findet man häufig Intervalle, in denen mit wachsenden x-Werten die zugehörigen Funktionswerte f(x) nur zu- bzw. nur abnehmen. f(x2) f(x3) f(xy). f(x) + y f(x₁) < f(x₂) O Statt u(vex)) kann man auch u(mx+c) Schreiben In der Abbildung ließt man ab: - im Intervall 1₁=[ab] nehmen die Funktionswerte von f nur zu. 4 streng monoton wachsend f'(x) >0 - im Intervall 1₂ = [bic] nehmen die Funktionswerte von f nur ab. Streng monoton fallend: f'(x) <0 Wenn f' in einem Intervall streng monoton wachsend ist, so hat dieses Intervall eine Linkskurve. Wenn f' in einem Intervall streng monoton fallend ist, so hat dieses Intervall eine Rechtskurve. die Krümmung geht jeweils von Wendepunkt zu Wendepunkt! a X₁ b f(x₂) > f(xy) < X₁ C y = f(x) @ Studyyholiccc X

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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