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Grundlagen der Differenzialrechnung
18.2.2021
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MATHE Wiederholung Ableitungsregel f(x) = 2 g(x) LEDER f(x) = x^ 3. Summenregel: f(x)= 2n x² + 20-₁x₁-² 1. Faktorregel: 2. Potenzregel: Nullstellen bestimmen f(x) = 0 Extremstellen bestimmen -> Mitternachtsformel Satz vom Quadratische Ergenzung - Substitution (biquadratisch) → notwendige Bedingung: hinreichende Bedingung: f'(x) = 2 · g'(x) f(x)=x^-x 44,2 Mathe Seite 1 Nullprodukt Distributivgesetz (ausklammern) - b ± √b² - 4ac २२ 20 (I) f'(x₁-h) >0 f'(x₂ +h) <0. f'(x) = 0 (I) f"(x) < 0 ⇒ Maximum f(x) >0 → MINIMUM f'(x₂-h) <0 f'(x₂+h) >0_ → f'(x) = n²₂ x ²-1 + (n-1)-20-1 +1-2 Maximum be x₁ Minimum be, x₂ 1 Ableitung und Ableitungsfunktion Def. Die Funktion f sei auf dem Intervall 1 definiert Wenn der Differenzenquotient einen Grenzwert strebt, so gegen Dieser Grenzwert heißt Ableitung f'(a) a for ho ist f an der Stelle a Es gilt f'(a) = lim f(a+h)-f(a) ho +21 an der Stelle differenzierbar. differenzierbar, so Ist f für alle XE I heißt die Funktion, die jeder Stelle aus Ableitung f'(x) zuordnet, die Ableitungsfunktion f' von f. I die 2 Ableitungsregeln, höhere Ableitungen Potenzregel Faktorregel Summenregel höhere Ableitungen 1st f' wieder differenzierbar, so erhält man durch Ableiten von f' die zweite Ableitungsfunktion f"(x), durch Ableiten daraus die dritte Ableitung fl USW 3 Verkettung von Funktionen siehe oben Def. Gegeben sind die Funktionen u und v. 4 Kettenregel Die Funktion u°v mit (vov) (x) = u(v(x)) heißt Verketting Dabei wird im Funktionsterm der Funktion u jedes 5 Produktregel 1st f einer Verketting zweier differenzierbarer Funktionen und v mit f(x) = u(v(x)), SO differenverbar mit der Ableitung f'(x) = u²(√(x)) · v²(x) Monotonie innere. 6 Monotonie und Krümmung außere Ableitung ! Sind die Funktionen u...
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und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f = u v mit f(x) = u(x) x(x) differenzierbar, und es gilt f'(x) = u²(x) √(x) + u(x) v² (x) von u und v. x durch v(x) ersetzt. Definition: Gegeben ist eine Funktion f auf einem Intervall 1. f heißt streng monoton wachsend auf 1. streng monoton fallend auf 1, wenn für alle x₁, x₂ € I wenn für alle x₁₁x2 € 1 mit mit хуаха gilt x₁ < x₂ gilt: f(x₁) = f(x₂) f(x₁) = f(x₂) Monotoniesatz Ist die Funktion f auf I differenzierbar, so gilt: - 1st f'(x) >0 - 1st f'(x) < 0 Mathe Seite 2 ist fauch für alle xel, so ist f streng monoton wachsend auf I für alle XEI, so ist f streng monoton fallend auf I Gilt for x₁ < x₂ nur f(xx) = f(x₂) [bzw f(x₁) = f(x₂)], so nennt man f monoton wachsend [bzw. monoton fallend) Krümmung Ist eine Funktion f auf einem Intervall I definiert und zweimal differenzierbar, so gilt - 1st f"(x) >0 for alle xel, so ist f' streng monoton wachsend auf I und der Graph von f ist linksgekrummt, also eine Linkskurve - 1st F"(x) < 0 fur alle x € 1, so ist f' streng monoton fallend auf I und der Graph von f ist rechtsgekrummt, also eine Rechtskorve f"(x) >0 →→ Linkskurve f"(x) <0 Rechtskurve 7 Extrem- und Wendepunkte 1st f eine auf einem Intervall I zweimal Extremstelle xoel von f gelten: f'(xo)=0. Maximumstelle, - wenn f'(x) an dieser Stelle seine nach wechselt. Vorzeichen von wenn f"(x) <0 st differenzierbare Funktion, so Xo ist dann ene Minimumstelle, wenn f(x) an dieser Stelle sein Vorzeichen von - nach + f"(x) >0 st Mathe Seite 3 oder wem Muss für eine innere wechselt oder