Anwendung der Potenzregel
Die Potenzregel ist ein mächtiges Werkzeug zur Bildung von Stammfunktionen. Sie kann auf verschiedene Arten von Funktionen angewendet werden, einschließlich einfacher Potenzfunktionen, Brüche und Wurzelfunktionen.
Für Potenzfunktionen wie f(x) = x² berechnet man die Stammfunktion wie folgt:
F(x) = ∫x²dx = ⅓x³ + c
Example: Konkrete Stammfunktionen von f(x) = x² sind beispielsweise F(x) = ⅓x³ + 1 (c = 1) oder F(x) = ⅓x³ - 2 (c = -2).
Bei Bruchfunktionen wird die Funktion zunächst in eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten umgeschrieben. Zum Beispiel:
f(x) = 1/x³ wird zu f(x) = x⁻³
Highlight: Die Umformung in Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ermöglicht die Anwendung der Potenzregel auf Bruchfunktionen.
Eine Ausnahme bildet die Funktion f(x) = 1/x, bei der die logarithmische Integrationsregel angewendet wird:
F(x) = ∫(1/x)dx = ln|x| + c
Für Wurzelfunktionen wie f(x) = √x wird die Funktion ebenfalls umgeformt:
f(x) = √x wird zu f(x) = x^(1/2)
Example: Eine Stammfunktion von f(x) = √x ist F(x) = ⅔x^(3/2) + c.
Diese Anwendungen der Potenzregel zeigen die Vielseitigkeit und Bedeutung dieser Stammfunktion Regel in der Integralrechnung.