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6.711
•
3. Dez. 2022
•
Rosa
@b_rosa9
Die Stammfunktionist ein grundlegendes Konzept in der Integralrechnung und... Mehr anzeigen
Die Potenzregel ist ein mächtiges Werkzeug zur Bildung von Stammfunktionen. Sie kann auf verschiedene Arten von Funktionen angewendet werden, einschließlich einfacher Potenzfunktionen, Brüche und Wurzelfunktionen.
Für Potenzfunktionen wie f = x² berechnet man die Stammfunktion wie folgt:
F = ∫x²dx = ⅓x³ + c
Example: Konkrete Stammfunktionen von f = x² sind beispielsweise F = ⅓x³ + 1 oder F = ⅓x³ - 2 .
Bei Bruchfunktionen wird die Funktion zunächst in eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten umgeschrieben. Zum Beispiel:
f = 1/x³ wird zu f = x⁻³
Highlight: Die Umformung in Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ermöglicht die Anwendung der Potenzregel auf Bruchfunktionen.
Eine Ausnahme bildet die Funktion f = 1/x, bei der die logarithmische Integrationsregel angewendet wird:
F = ∫dx = ln|x| + c
Für Wurzelfunktionen wie f = √x wird die Funktion ebenfalls umgeformt:
f = √x wird zu f = x^
Example: Eine Stammfunktion von f = √x ist F = ⅔x^ + c.
Diese Anwendungen der Potenzregel zeigen die Vielseitigkeit und Bedeutung dieser Stammfunktion Regel in der Integralrechnung.
Neben der Potenzregel gibt es weitere wichtige Regeln zur Bildung von Stammfunktionen. Zwei besonders nützliche Regeln sind die Faktorregel und die Summenregel.
Die Faktorregel wird angewendet, wenn die zu integrierende Funktion einen konstanten Faktor enthält. Sie besagt:
F = ∫a · fdx = a · ∫fdx
Highlight: Bei der Faktorregel kann der konstante Faktor vor das Integralzeichen gezogen werden.
Ein Beispiel für die Anwendung der Faktorregel:
Example: Für f = 2x² ist die Stammfunktion F = 2 · ∫x²dx = 2 · ⅓x³ + c = ⅔x³ + c.
Die Summenregel kommt zum Einsatz, wenn die Funktion eine Summe enthält. Sie lautet:
F = ∫dx = ∫fdx + ∫gdx
Highlight: Die Summenregel erlaubt es, die einzelnen Summanden getrennt zu integrieren.
Ein Beispiel für die Anwendung der Summenregel:
Example: Für f = x³ + x² ist die Stammfunktion F = ∫x³dx + ∫x²dx = ¼x⁴ + ⅓x³ + c.
Diese Regeln, zusammen mit der Potenzregel, bilden das Fundament für die Bildung von Stammfunktionen und sind essentiell für Stammfunktionen bilden Übungen.
Die Bildung von Stammfunktionen ist ein zentrales Thema in der Integralrechnung. Hier sind die wichtigsten Punkte zusammengefasst:
Highlight: Diese Regeln bilden die Grundlage für die meisten Stammfunktionen bilden Übungen.
Es ist wichtig, diese Regeln in verschiedenen Kontexten anzuwenden, einschließlich Brüchen, Wurzeln und zusammengesetzten Funktionen. Die Fähigkeit, Stammfunktionen zu bilden, ist entscheidend für viele Bereiche der höheren Mathematik und Physik.
Example: Eine praktische Anwendung ist die Berechnung von Flächen unter Kurven, was in der Physik zur Bestimmung von Arbeit oder in der Statistik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet wird.
Durch regelmäßiges Üben und die Anwendung dieser Regeln können Studierende ihre Fähigkeiten in der Integralrechnung verbessern und ein tieferes Verständnis für die Beziehung zwischen Funktionen und ihren Stammfunktionen entwickeln.
Die Stammfunktion ist ein zentrales Konzept in der Integralrechnung. Sie wird definiert als eine Funktion F, deren Ableitung F' genau der gegebenen Funktion f entspricht. Dies bedeutet, dass die Stammfunktion den Prozess des Ableitens umkehrt.
Definition: Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn F' = f.
Um Stammfunktionen zu bilden, gibt es verschiedene Integrationsregeln. Die wichtigste davon ist die Potenzregel.
Highlight: Die Potenzregel ist die Grundlage für die Berechnung von Stammfunktionen von Potenzfunktionen.
Bei der Anwendung der Potenzregel erhöht man den Exponenten um 1 und teilt durch den neuen Exponenten. Zum Beispiel:
Example: Für f = x³ ist die Stammfunktion F = ¼x⁴ + c.
Es ist wichtig zu beachten, dass jede stetige Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich nur durch eine Konstante c unterscheiden.
Vocabulary: Die Konstante c wird auch als Integrationskonstante bezeichnet.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Rosa
@b_rosa9
Die Stammfunktion ist ein grundlegendes Konzept in der Integralrechnung und bildet die Basis für viele fortgeschrittene mathematische Anwendungen. Sie ist das Gegenstück zur Ableitung und ermöglicht es, komplexe Funktionen zu integrieren und Flächen unter Kurven zu berechnen.
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Die Potenzregel ist ein mächtiges Werkzeug zur Bildung von Stammfunktionen. Sie kann auf verschiedene Arten von Funktionen angewendet werden, einschließlich einfacher Potenzfunktionen, Brüche und Wurzelfunktionen.
Für Potenzfunktionen wie f = x² berechnet man die Stammfunktion wie folgt:
F = ∫x²dx = ⅓x³ + c
Example: Konkrete Stammfunktionen von f = x² sind beispielsweise F = ⅓x³ + 1 oder F = ⅓x³ - 2 .
Bei Bruchfunktionen wird die Funktion zunächst in eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten umgeschrieben. Zum Beispiel:
f = 1/x³ wird zu f = x⁻³
Highlight: Die Umformung in Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ermöglicht die Anwendung der Potenzregel auf Bruchfunktionen.
Eine Ausnahme bildet die Funktion f = 1/x, bei der die logarithmische Integrationsregel angewendet wird:
F = ∫dx = ln|x| + c
Für Wurzelfunktionen wie f = √x wird die Funktion ebenfalls umgeformt:
f = √x wird zu f = x^
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Neben der Potenzregel gibt es weitere wichtige Regeln zur Bildung von Stammfunktionen. Zwei besonders nützliche Regeln sind die Faktorregel und die Summenregel.
Die Faktorregel wird angewendet, wenn die zu integrierende Funktion einen konstanten Faktor enthält. Sie besagt:
F = ∫a · fdx = a · ∫fdx
Highlight: Bei der Faktorregel kann der konstante Faktor vor das Integralzeichen gezogen werden.
Ein Beispiel für die Anwendung der Faktorregel:
Example: Für f = 2x² ist die Stammfunktion F = 2 · ∫x²dx = 2 · ⅓x³ + c = ⅔x³ + c.
Die Summenregel kommt zum Einsatz, wenn die Funktion eine Summe enthält. Sie lautet:
F = ∫dx = ∫fdx + ∫gdx
Highlight: Die Summenregel erlaubt es, die einzelnen Summanden getrennt zu integrieren.
Ein Beispiel für die Anwendung der Summenregel:
Example: Für f = x³ + x² ist die Stammfunktion F = ∫x³dx + ∫x²dx = ¼x⁴ + ⅓x³ + c.
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Example: Eine praktische Anwendung ist die Berechnung von Flächen unter Kurven, was in der Physik zur Bestimmung von Arbeit oder in der Statistik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet wird.
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Die Stammfunktion ist ein zentrales Konzept in der Integralrechnung. Sie wird definiert als eine Funktion F, deren Ableitung F' genau der gegebenen Funktion f entspricht. Dies bedeutet, dass die Stammfunktion den Prozess des Ableitens umkehrt.
Definition: Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn F' = f.
Um Stammfunktionen zu bilden, gibt es verschiedene Integrationsregeln. Die wichtigste davon ist die Potenzregel.
Highlight: Die Potenzregel ist die Grundlage für die Berechnung von Stammfunktionen von Potenzfunktionen.
Bei der Anwendung der Potenzregel erhöht man den Exponenten um 1 und teilt durch den neuen Exponenten. Zum Beispiel:
Example: Für f = x³ ist die Stammfunktion F = ¼x⁴ + c.
Es ist wichtig zu beachten, dass jede stetige Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich nur durch eine Konstante c unterscheiden.
Vocabulary: Die Konstante c wird auch als Integrationskonstante bezeichnet.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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