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Herleitung und Ableitung der e-Funktion
5.4.2021
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Gegeben ist die Funktion: f(x) = 2x. Gesucht ist die Ableitung: f'(x) Bei Potenzfunktionen gibt es eine Formel: f(x) = x" => f'(x) = n x-1 Frage: Gibt es auch für f(x) = 2* eine Formel für die Ableitung? Bisher noch nicht. Wir erinnern uns, wie man allgemein die Ableitung bestimmt, nämlich mit dem Limes des Differenzenquotienten: Einsetzen von f(x) = 2*: 2x+h_2x h 2x.2h-2x h 2x. (2h-1) h f'(x) = lim h→0 = lim h→0 = lim h→0 = 2*. lim h→0 Es ist also: Die natürliche Exponentialfunktion (2h-1) h = f(x) · lim (2-1) h→0 h X f(x) f'(x) f'(x) = lim f(x+h)-f(x) h→0 h (Potenzgesetze angewendet) (ausklammern) (2* vorklammern, da nicht von h abhängig) (statt 2* wieder f(x) schreiben) Das gilt für alle x, also natürlich auch für x = 0. Einsetzen von x = 0 ergibt. (2-1) h→0 h Der noch zu berechnende Limes entspricht somit gerade der Ableitung an der Stelle 0. (2h-1) f'(x) = f(x) - lim h→0 h 0 1 0,7 f'(0) = 1. lim Das sieht ganz ok aus, aber f'(0) ist noch ein Zahlenwert den wir nicht kennen. Wir bilden mal noch keinen Grenzwert, aber setzen einfach einen ganz kleinen Wert für h ein, z.B. h = 0,01. Dann folgt: f'(x) = f(x) • f'(0) f'(0) = h-1)_ (20,01-1) h 0,01 Die Ableitung lässt sich also total einfach aus dem Funktionswert berechnen: f'(x) = f(x) 0,7 = 2* 0,7 1 2 2.0,7 = 1,4 = 0,7 Jetzt haben wir die Ableitung für f(x) = 2x: f'(x) = f(x) 0,7 = 2* 0,7 Für f(x) = 3*...
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kann man analog vorgehen und erhält: 2 4 4 0,7 = 2,8 f'(x) = f(x) 1,1 = 3x - 1,1 3 8 8.0,7 = 5,6 5 Zusammengefasst: Wir können uns jetzt die Ableitungen für verschiedene Exponentialfunktionen aufschreiben. Wir stellen fest, dass mit größerer Basis der Faktor größer wird. Bei 3 ist er schon größer als 1, während er bei 2 noch kleiner als 1 ist. f(x) Faktor f'(x) 2x 0,7 0,7.2* 3x 1,1 1,1.3* X f(x) f'(x) Frage: Gibt es eine Basis a zwischen 2 und 3, so dass der Faktor gerade genau 1 ist? Dann wäre die Ableitung total einfach, nämlich: f'(x) = f(x) Diesen Zahlenwert gibt es ! Die Zahl a, für die die Funktion ax mit ihrer Ableitung übereinstimmt, heißt Eulersche Zahl e. Dabei ist e = 2,71828. Die zugehörige Exponentialfunktion f(x) = e* heißt natürliche Exponentialfunktion. Es gilt: 0 1 1 f'(x) = f(x) = ex 4x 1,4 1,4.4* Die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt (=Ableitung) stimmt jeweils mit dem Funktionswert in diesem Punkt überein. 1 2,71828 2,71828 5x 1,6 1,6.5* www.schlauistwow.de 2 7,3891 7,3891