Einführung in die Flächenberechnung mit der Integralrechnung
Die Integralrechnung ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik, das uns ermöglicht, Flächen unter Funktionsgraphen präzise zu berechnen. Bei der Betrachtung von krummlinig begrenzten Flächen stoßen wir auf eine besondere Herausforderung: Wie können wir die Fläche unter einer Kurve exakt bestimmen?
Definition: Die Fläche unter einem Graphen wird durch das bestimmte Integral beschrieben und gibt den Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x), der x-Achse und den Integrationsgrenzen a und b an.
Die Berechnung erfolgt durch die systematische Annäherung mittels Ober- und Untersummen. Bei der Herleitung des Integrals teilen wir zunächst den Bereich zwischen den Grenzen a und b in n gleich breite Teilintervalle. Die Obersumme entsteht durch Rechtecke, die über die Kurve hinausragen, während die Untersumme durch Rechtecke unterhalb der Kurve gebildet wird.
Die Integralrechnung Formel für das bestimmte Integral lautet:
∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a)
Dabei ist F(x) die Stammfunktion von f(x). Diese Formel, auch als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bekannt, verbindet die Flächenberechnung mit der Stammfunktionsbildung.