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Easy Integral Calculus: Worksheets and Formulas for Kids

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Integral Calculus: A Comprehensive Introduction - This document explains the fundamental concepts of Integralrechnung (integral calculus), focusing on area calculation under curves and the Fundamental Theorem of Calculus.

  • The material covers the development from basic rectangular approximations to the concept of definite integrals
  • Introduces Leibniz notation and explores the relationship between derivatives and integrals
  • Explains the significance of the constant c in integration
  • Provides practical examples and applications

29.3.2021

1884

a f(x) S bx HIL EIBNIZ BUTTERKEKS Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Gliederung Problemstellung Herleitung des Integrals Annäh

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Zweite Annäherung und Grundgedanke der Integralrechnung

Diese Seite führt den Grundgedanken der Integralrechnung ein: die Verwendung unendlich vieler, unendlich schmaler Rechtecke für eine präzise Flächenberechnung. Es wird gezeigt, wie die Abweichung zwischen der tatsächlichen Fläche und der Summe der Rechteckflächen mit zunehmender Anzahl der Rechtecke abnimmt.

Definition: Der Grundgedanke der Integralrechnung besteht darin, die Fläche unter einer Kurve durch die Summe unendlich vieler, unendlich schmaler Rechtecke anzunähern.

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Leibniz-Schreibweise

Diese Seite führt die Leibniz-Schreibweise des Integrals ein und gibt ein konkretes Beispiel für die Funktion x². Es wird erwähnt, dass für die konkrete Berechnung die Stammfunktion benötigt wird.

Vocabulary: Die Leibniz-Schreibweise ∫ f(x) dx ist eine standardisierte Notation für Integrale.

Example: Für die Funktion f(x) = x² wird das Integral im Intervall [-2, 2] als Beispiel verwendet.

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Übergang zum Integral

Diese Seite markiert den Übergang von der Annäherung durch Rechtecke zum eigentlichen Konzept des Integrals. Sie wiederholt die Hauptthemen und leitet zur formalen Definition des Integrals über.

Highlight: Der Übergang von der anschaulichen Rechteckannäherung zum abstrakten Konzept des Integrals ist ein entscheidender Schritt im Verständnis der Integralrechnung.

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Das Integral

Diese Seite führt die formale Notation des Integrals ein. Sie erklärt, wie die Summe der Rechteckflächen in die Integralschreibweise überführt wird, wobei δx zu dx wird, um unendlich kleine Rechtecke mit gleicher Breite darzustellen.

Formula: Die Integralformel ∫[a bis b] f(x) dx wird eingeführt, wobei a und b die Intervallgrenzen darstellen.

Definition: Das Integral repräsentiert die Summe aller unendlich schmalen Rechtecke unter der Funktionskurve im gegebenen Intervall.

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Die Konstante c

Diese Seite erklärt die Bedeutung der Integrationskonstante c in der Stammfunktion und zeigt, warum sie für die Berechnung bestimmter Integrale irrelevant ist.

Definition: Die Integrationskonstante c ist ein beliebiger konstanter Term, der bei der Integration hinzugefügt wird und verschiedene Stammfunktionen erzeugt.

Highlight: Für die Berechnung bestimmter Integrale ist die Wahl der Stammfunktion unerheblich, da sich die Konstante c bei der Subtraktion aufhebt.

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Das Integral als Funktion

Diese Seite erklärt, wie das Integral als Funktion F₂(x) interpretiert werden kann, die die Fläche unter dem Graphen von a bis x darstellt. Es wird die Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integral verdeutlicht.

Definition: F₂(x) ist die Stammfunktion von f(x), und ihre Ableitung ergibt wieder die ursprüngliche Funktion f(x).

Formula: F₂' = f und ∫ f = F₂ zeigen die inverse Beziehung zwischen Differentiation und Integration.

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Diese Seite stellt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vor, der die Berechnung von bestimmten Integralen mithilfe von Stammfunktionen ermöglicht.

Formula: Der Hauptsatz der Integralrechnung wird als ∫[a bis b] f(x) dx = F(b) - F(a) formuliert, wobei F die Stammfunktion von f ist.

Definition: Der Hauptsatz besagt, dass die Fläche unter dem Graphen durch die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen berechnet werden kann.

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Herleitung des Integrals

Diese Seite erklärt den Ansatz zur Herleitung des Integrals durch die Annäherung der Fläche unter einer Funktion mithilfe von Rechtecken. Es wird gezeigt, wie die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke zur Gesamtfläche führt.

Vocabulary: δχ (Delta x) bezeichnet die Breite der einzelnen Rechtecke, die zur Annäherung der Fläche verwendet werden.

Formula: A = a * b wird als Grundformel für die Flächenberechnung der Rechtecke verwendet, wobei A₁ = f(x) * δx die Fläche eines einzelnen Rechtecks darstellt.

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Überblick der Themen

Diese Seite wiederholt die Hauptthemen der Präsentation und betont die schrittweise Herangehensweise an die Integralrechnung. Sie zeigt, dass die Präsentation von der Problemstellung über die Herleitung bis hin zu praktischen Anwendungen und Berechnungen reicht.

Highlight: Die wiederholte Darstellung der Themen unterstreicht die strukturierte und umfassende Behandlung der Integralrechnung in dieser Präsentation.

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Einführung in die Integralrechnung

Diese Seite stellt den Haupttitel und die Kernthemen der Präsentation vor. Sie zeigt symbolisch wichtige Elemente der Integralrechnung wie die Integralfunktion f(x), das Integralzeichen und den Verweis auf den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Highlight: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird als zentrales Thema hervorgehoben, was seine Bedeutung für das Verständnis der Integralrechnung unterstreicht.

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Zweite Annäherung und Grundgedanke der Integralrechnung

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Definition: Der Grundgedanke der Integralrechnung besteht darin, die Fläche unter einer Kurve durch die Summe unendlich vieler, unendlich schmaler Rechtecke anzunähern.

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Leibniz-Schreibweise

Diese Seite führt die Leibniz-Schreibweise des Integrals ein und gibt ein konkretes Beispiel für die Funktion x². Es wird erwähnt, dass für die konkrete Berechnung die Stammfunktion benötigt wird.

Vocabulary: Die Leibniz-Schreibweise ∫ f(x) dx ist eine standardisierte Notation für Integrale.

Example: Für die Funktion f(x) = x² wird das Integral im Intervall [-2, 2] als Beispiel verwendet.

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Übergang zum Integral

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Das Integral

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Formula: Die Integralformel ∫[a bis b] f(x) dx wird eingeführt, wobei a und b die Intervallgrenzen darstellen.

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Die Konstante c

Diese Seite erklärt die Bedeutung der Integrationskonstante c in der Stammfunktion und zeigt, warum sie für die Berechnung bestimmter Integrale irrelevant ist.

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Das Integral als Funktion

Diese Seite erklärt, wie das Integral als Funktion F₂(x) interpretiert werden kann, die die Fläche unter dem Graphen von a bis x darstellt. Es wird die Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integral verdeutlicht.

Definition: F₂(x) ist die Stammfunktion von f(x), und ihre Ableitung ergibt wieder die ursprüngliche Funktion f(x).

Formula: F₂' = f und ∫ f = F₂ zeigen die inverse Beziehung zwischen Differentiation und Integration.

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Diese Seite stellt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vor, der die Berechnung von bestimmten Integralen mithilfe von Stammfunktionen ermöglicht.

Formula: Der Hauptsatz der Integralrechnung wird als ∫[a bis b] f(x) dx = F(b) - F(a) formuliert, wobei F die Stammfunktion von f ist.

Definition: Der Hauptsatz besagt, dass die Fläche unter dem Graphen durch die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen berechnet werden kann.

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Herleitung des Integrals

Diese Seite erklärt den Ansatz zur Herleitung des Integrals durch die Annäherung der Fläche unter einer Funktion mithilfe von Rechtecken. Es wird gezeigt, wie die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke zur Gesamtfläche führt.

Vocabulary: δχ (Delta x) bezeichnet die Breite der einzelnen Rechtecke, die zur Annäherung der Fläche verwendet werden.

Formula: A = a * b wird als Grundformel für die Flächenberechnung der Rechtecke verwendet, wobei A₁ = f(x) * δx die Fläche eines einzelnen Rechtecks darstellt.

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Überblick der Themen

Diese Seite wiederholt die Hauptthemen der Präsentation und betont die schrittweise Herangehensweise an die Integralrechnung. Sie zeigt, dass die Präsentation von der Problemstellung über die Herleitung bis hin zu praktischen Anwendungen und Berechnungen reicht.

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Einführung in die Integralrechnung

Diese Seite stellt den Haupttitel und die Kernthemen der Präsentation vor. Sie zeigt symbolisch wichtige Elemente der Integralrechnung wie die Integralfunktion f(x), das Integralzeichen und den Verweis auf den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

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