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Integral
29.3.2021
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a f(x) S bx HIL EIBNIZ BUTTERKEKS Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Gliederung Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ▶ Das Integral ► Leibniz-Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c Heftaufschrieb Berechnen/Aufgaben im Buch Anwenden F₂ = f F₂(x) Problemstellung Problem der Flächenberechnung ► Wie berechnet man den Flächeninhalt unter einer krummlinigen Funktion? z.B.: x² oder x³ -3 -9 5 0 ? D -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 -2 3 bei linearen Funktionen Dreiecke als Fläche (Einfache Berechnung) Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 Das Integral ► Leibniz-Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Definition (Bedeutung) Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen & Aufgaben Anwenden Herleitung Fläche mithilfe einzelner Rechtecke darstellen → davon können wir den Flächeninhalt berechnen A = a*b A₁ = f(x) * 8x A₁ = f(x₁) * 8x A₁ Ao + A₁ ... + Ag ... A = A + δχ = selber Wert, b immer gleich f(x) = y- Wert an x- Stelle -3 -2.5 -2 -1 -0.5 4.5 -4 3.5 3 2:5 2 1:5 -1- -0.5 0 -0.5 0.5 1.5 2.5 3 a 3.5 b 4 A= a*b Ages= a b + a*b 4.5 5 5.5 Herleitung ► Wenige Rechtecke = ungenauer Wert -3 -2.5 -2 1.5 4.5 4 3.5 3 2:5 2 1.5 0.5 0 -0.5 0.5 1.5 2.5 -2.5 4.5 3.5 3 2:5 2 1.5- 1 0.5- -0.5 25 2te Annäherung ► Viele Rechtecke = Je schmaler, desto genauer ►Unendlich viele Rechtecke = Unendlich kleine Abweichung -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 4.5 4 3.5 -3 2.5 2 1:5 0:5 0 -0.5 0.5 1.5 2.5 ►Fläche unter/über Graph wird kleiner 个 Grundgedanke Integralrechnung -2.5 3.5 3 2.5 2 1:5 0.5 1.5 2.5 Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ► Das Integral Leibniz- Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen/ Aufgaben im Buch Anwenden Das Integral Fläche der Rechtecke bestimmen: A₁ = f(x。) * 8x A₁ = f(x₁) * 8x A = Ao + A₁ ... + A19 ▸ Zu viel Rechnung, deshalb: 8x →dx = unendlich kleine Rechtecke mit gleicher Breite S = alle Rechtecke zusammen (Summe) ... ergibt: b Ĵ₁ [ a f(x) dx + Intervallwerte a und b D f(x) S b...
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Alternativer Bildtext:
x Das Integral Fläche unter Graph im Abschnitt von a bis x = Integral von a bis x = Funktion F₂(x) ► f'(x) = Steigung F(x)= Fläche ▸ Demnach 1. Ableitung ergibt wieder Funktion f F₂'=f F₂ = f %8F.gif a F₂(x) X https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:%D0%A7%D1%82%D0%BF_%D1%82%D0%B 0%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80% D0%B0%D0%BB%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1 Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ▶ Das Integral ► Leibniz- Schreibweise Hauptst Def Die Berech EIBNIZ .. BUTTERKEKS Anwenden und Integralrechnung Buch Leibniz-Schreibweise =ff(x) dx → Leibniz Schreibweise α ► Beispiel: x² = f(x) und Grenzwerte -2;2 ► aber: Stammfunktion F(x) benötigt für konkretes Ausrechnen -3 B -9 3 Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716 Philosoph, Mathematiker und politischer Berater der früheren Aufklärung Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ► Das Integral Leibniz- Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen/ Aufgaben im Buch Anwenden Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Mit Stammfunktion F von f im Intervall [a;b] lässt sich Integral f f(x)dx t berechnen: b So f(x) dx = F(b)- F(a) Stammfunktion von b minus Stammfunktion von a (Grenzwerte) = Obersumme minus Untersumme = Fläche über dem Graph minus der Fläche unter dem Graph Parabel, quadratische Funktion f(x) = x² Ober- und Untersummen Hauptsatz Konkret S²4x³dx ► F(x)=x4 ► f² 4x³dx = [x¹] ² = 2¹4 - 0¹ = 16 04 [Stammfunktion] und Intervall Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ► Das Integral Leibniz- Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen/ Aufgaben im Buch Anwenden Die Konstante c Wiederholung Zu einer Funktion gibt es eine Ableitung aber mehrere Stammfunktionen. F(x) Stammfunktion von f(x), dann ist G(x)= F(x) + c eine Stammfunktion von f(x) Für Berechnung des Integrals ist egal, welche Stammfunktion man verwendet ► +c unbedeutend Beweis c fällt wegen Subtraktion weg ► f(x)= 3x² F(x)=x³ G(x)=x³ + 5 Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ► Das Integral Leibniz- Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen/ Aufgaben im Buch Anwenden Heft Ist f(x) im Intervall [a;b] integrierbar und ist F(x) eine Stammfunktion von f(x) im Intervall [a,b], so gilt: b b f f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) α Mithilfe der Stammfunktion F(x) von f(x) lässt sich das Integral So f(x) dx berechnen, indem man die Obersumme und a die Untersumme subtrahiert. Dabei ist egal welche Stammfunktion von f(x) verwendet wird. Problemstellung Herleitung des Integrals Annäherung 1 und 2 ► Das Integral Leibniz- Schreibweise Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ► Definition (Bedeutung) Die Konstante c ► Heftaufschrieb ► Berechnen/ Aufgaben im Buch Anwenden Quellen https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Integral f%C3%BCr kompakte Intervalle https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried Wilhelm Leibniz https://www.br.de/telekolleg/faecher/mathematik/trimester4/mathematik-27-integralrechnung-hauptsatz- 1-102.html https://www.br.de/telekolleg/faecher/mathematik/trimester2/telekolleg-mathematik-integralfunktion- 102.html https://www.mathe-seite.de/oberstufe/analysis-funktionsanalyse-grundlagen/integral- flaechenberechnung-flaecheninhalt/ https://fliptheclassroom.de/3-2-das-integral-als-orientierter-flacheninhalt/ https://www.youtube.com/watch?v=j1htUCyZmhg https://www.google.de/imghp SIMPLECLUB.DE/INTEGRAL Lambacher Schweizer, Mathematik für Gymnasien-Kursstufe Basisfach https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:%D0%A7%D1%82%D0%BE%D1%82%D0 0%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0 0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0 33%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%9 %D1%86%D0%B8%D1%8F.gif ?