Uneigentliche Integrale einfach erklärt - Rechner, Beispiele, Übungen und Aufgaben

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Emely

28.11.2020

Mathe

Uneigentliche Integrale

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Spezielle integrale

Bestimmtes und unbestimmtes integral

Uneigentliche Integrale einfach erklärt - Rechner, Beispiele, Übungen und Aufgaben

Uneigentliche Integrale sind ein wichtiges Konzept in der höheren Mathematik, das die Berechnung von Flächeninhalten unbegrenzter Flächen ermöglicht.

Uneigentliche Integrale können endliche Flächeninhalte für unbegrenzte Flächen liefern.
Sie treten auf, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist.
Die Berechnung erfolgt durch Bildung der Stammfunktion, Einsetzen einer Variablen für die unbegrenzte Grenze und Bestimmung des Grenzwerts.
Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt, daher ist die Existenzprüfung wichtig.

28.11.2020

Mathe
Mathe GFS- Uneigentliche Integrale
Was sind uneigentliche Integrale?
Auch eine unbegrenzte Fläche, die ins Unendliche reicht, kann ein

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Berechnung uneigentlicher Integrale

Die Berechnung uneigentlicher Integrale erfordert eine systematische Vorgehensweise. Anhand eines Beispiels wird der Prozess detailliert erläutert:

Gegeben sei das uneigentliche Integral: ∫[1,∞) $1/x²$ dx

Zunächst wird die Stammfunktion F $x$ = -1/x gebildet.
Für die obere Grenze, die gegen Unendlich strebt, wird eine Variable z eingesetzt: ∫ $1,z$ $1/x²$ dx = $-1/x$ ₁ᶻ
Das uneigentliche Integral wird in Abhängigkeit von z bestimmt: $-1/z$ - $-1/1$ = -1/z + 1
Schließlich wird der Grenzwert für z → ∞ berechnet: lim $z→∞$ $-1/z + 1$ = 0 + 1 = 1

Der Flächeninhalt beträgt also 1 Flächeneinheit.

Highlight: Bei der Berechnung uneigentlicher Integrale ist die Bestimmung des Grenzwerts der entscheidende Schritt.

Es folgt ein Beispiel einer Textaufgabe:

Für x > 0 ist der Graph der Funktion f $x$ = 1/√x gegeben. Er begrenzt über den Intervallen $1; ∞) und (0; 1$ unbegrenzte Flächen. Die Aufgabe besteht darin, den Flächeninhalt zu untersuchen und gegebenenfalls anzugeben.

Lösung:

Für das Intervall $1; ∞): A(z) = ∫[1,z$ $1/√x$ dx = $2√x$ ₁ᶻ = 2√z - 2 lim $z→∞$ $2√z - 2$ = ∞ Die Fläche hat nach rechts keinen endlichen Flächeninhalt.
Für das Intervall $0; 1]: A(z$ = ∫ $z,1$ $1/√x$ dx = $2√x$ ᶻ¹ = 2 - 2√z lim $z→0$ $2 - 2√z$ = 2 Die Fläche hat nach oben den endlichen Flächeninhalt 2.

Example: Diese Textaufgabe zeigt, dass ein uneigentliches Integral in einem Intervall existieren kann, während es in einem anderen divergiert.

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Übungsaufgaben zu uneigentlichen Integralen

Um das Verständnis für uneigentliche Integrale zu vertiefen, werden verschiedene Übungsaufgaben präsentiert. Diese Uneigentliche Integrale Aufgaben helfen, die Konzepte in der Praxis anzuwenden.

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale $falls sie existieren$ :

a) ∫[1,∞) $1/x$ dx b) ∫[1,∞) $1/x²$ dx c) ∫[0,∞) $x³e^(-x$ ) dx d) ∫[1,∞) $1/(x+1$ ²) dx e) ∫[0,∞) $e^(-x$ ) dx

Highlight: Bei der Lösung dieser Aufgaben ist es wichtig, zunächst die Existenz des uneigentlichen Integrals zu prüfen, bevor man mit der Berechnung beginnt.

Diese Übungen decken verschiedene Typen von uneigentlichen Integralen ab und bieten eine gute Möglichkeit, die erlernten Techniken anzuwenden. Es ist ratsam, jeden Schritt sorgfältig durchzuführen und besonders auf die Grenzwertbestimmung zu achten.

Vocabulary: Existenzprüfung - Der Prozess, bei dem untersucht wird, ob ein uneigentliches Integral einen endlichen Wert hat oder divergiert.

Für weiterführende Uneigentliche Integrale Übungen mit Lösungen und zusätzliche Uneigentliche Integrale Beispiele empfiehlt es sich, Lehrbücher wie den "Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien" zu konsultieren oder Online-Ressourcen zu nutzen.

Quote: "Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt, d.h. es gibt auch Aufgaben, bei denen kein uneigentliches Integral existiert."

Diese Aussage unterstreicht die Wichtigkeit der Existenzprüfung bei uneigentlichen Integralen und zeigt, dass die Berechnung nicht immer zu einem endlichen Ergebnis führt.

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28. Nov. 2020

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3 Seiten

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Emely

@studywitheme

Uneigentliche Integrale sind ein wichtiges Konzept in der höheren Mathematik, das die Berechnung von Flächeninhalten unbegrenzter Flächen ermöglicht.

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Berechnung uneigentlicher Integrale

Die Berechnung uneigentlicher Integrale erfordert eine systematische Vorgehensweise. Anhand eines Beispiels wird der Prozess detailliert erläutert:

Gegeben sei das uneigentliche Integral: ∫[1,∞) $1/x²$ dx

Zunächst wird die Stammfunktion F $x$ = -1/x gebildet.
Für die obere Grenze, die gegen Unendlich strebt, wird eine Variable z eingesetzt: ∫ $1,z$ $1/x²$ dx = $-1/x$ ₁ᶻ
Das uneigentliche Integral wird in Abhängigkeit von z bestimmt: $-1/z$ - $-1/1$ = -1/z + 1
Schließlich wird der Grenzwert für z → ∞ berechnet: lim $z→∞$ $-1/z + 1$ = 0 + 1 = 1

Der Flächeninhalt beträgt also 1 Flächeneinheit.

Highlight: Bei der Berechnung uneigentlicher Integrale ist die Bestimmung des Grenzwerts der entscheidende Schritt.

Es folgt ein Beispiel einer Textaufgabe:

Lösung:

Für das Intervall $1; ∞): A(z) = ∫[1,z$ $1/√x$ dx = $2√x$ ₁ᶻ = 2√z - 2 lim $z→∞$ $2√z - 2$ = ∞ Die Fläche hat nach rechts keinen endlichen Flächeninhalt.
Für das Intervall $0; 1]: A(z$ = ∫ $z,1$ $1/√x$ dx = $2√x$ ᶻ¹ = 2 - 2√z lim $z→0$ $2 - 2√z$ = 2 Die Fläche hat nach oben den endlichen Flächeninhalt 2.

Example: Diese Textaufgabe zeigt, dass ein uneigentliches Integral in einem Intervall existieren kann, während es in einem anderen divergiert.

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Übungsaufgaben zu uneigentlichen Integralen

Um das Verständnis für uneigentliche Integrale zu vertiefen, werden verschiedene Übungsaufgaben präsentiert. Diese Uneigentliche Integrale Aufgaben helfen, die Konzepte in der Praxis anzuwenden.

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale $falls sie existieren$ :

a) ∫[1,∞) $1/x$ dx b) ∫[1,∞) $1/x²$ dx c) ∫[0,∞) $x³e^(-x$ ) dx d) ∫[1,∞) $1/(x+1$ ²) dx e) ∫[0,∞) $e^(-x$ ) dx

Highlight: Bei der Lösung dieser Aufgaben ist es wichtig, zunächst die Existenz des uneigentlichen Integrals zu prüfen, bevor man mit der Berechnung beginnt.

Vocabulary: Existenzprüfung - Der Prozess, bei dem untersucht wird, ob ein uneigentliches Integral einen endlichen Wert hat oder divergiert.

Quote: "Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt, d.h. es gibt auch Aufgaben, bei denen kein uneigentliches Integral existiert."

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Einführung in uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale sind ein erweitertes Konzept der Integralrechnung, das es ermöglicht, Flächeninhalte von unbegrenzten Flächen zu berechnen. Diese Flächen können entweder auf der x-Achse oder auf der y-Achse unbegrenzt sein.

Definition: Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn eine unbegrenzte Fläche, die ins Unendliche reicht, einen endlichen Flächeninhalt besitzt.

Bei uneigentlichen Integralen gibt es eine vorgegebene Grenze $entweder Ober- oder Untergrenze$ und eine variable Grenze, die gegen Unendlich oder minus Unendlich strebt.

Highlight: Auch wenn eine Fläche unbegrenzt ist, kann sie einen endlichen Flächeninhalt haben. Dies ist das Kernkonzept uneigentlicher Integrale.

Die Berechnung uneigentlicher Integrale ähnelt der Vorgehensweise bei eigentlichen Integralen, erfordert jedoch einige zusätzliche Schritte:

Bildung der Stammfunktion F der Funktion f
Einsetzen einer Variablen $z.B. z$ für die unbegrenzte Grenze
Bestimmung des uneigentlichen Integrals in Abhängigkeit von der Variablen
Berechnung des Grenzwerts

Vocabulary: Grenzwert - Der Wert, dem sich eine Funktion annähert, wenn die Variable gegen Unendlich oder einen bestimmten Punkt strebt.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht jede unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat. Daher gibt es auch Fälle, in denen kein uneigentliches Integral existiert.

Example: Ein Beispiel für ein uneigentliches Integral auf der x-Achse wäre ∫ $1,∞) (1/x²) dx, während ∫[0,1$ $1/√x$ dx ein Beispiel für ein uneigentliches Integral auf der y-Achse darstellt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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