Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Uneigentliche Integrale

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9. Feb. 2026

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3 Seiten

Uneigentliche Integrale einfach erklärt - Rechner, Beispiele, Übungen und Aufgaben

Emely

@studywitheme

Uneigentliche Integrale sind ein wichtiges Konzept in der höheren Mathematik,... Mehr anzeigen

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Mathe

21.04.20

Mathe GFS - Uneigentliche Integrale

Was sind uneigentliche Integrale?

Auch eine unbegrenzte Fläche, die ins Unendliche re

Berechnung uneigentlicher Integrale

Die Berechnung uneigentlicher Integrale erfordert eine systematische Vorgehensweise. Anhand eines Beispiels wird der Prozess detailliert erläutert:

Gegeben sei das uneigentliche Integral: ∫[1,∞) $1/x²$ dx

Zunächst wird die Stammfunktion F(x) = -1/x gebildet.
Für die obere Grenze, die gegen Unendlich strebt, wird eine Variable z eingesetzt: ∫[1,z] $1/x²$ dx = $-1/x$ ₁ᶻ
Das uneigentliche Integral wird in Abhängigkeit von z bestimmt: $-1/z$ - [-1/1] = -1/z + 1
Schließlich wird der Grenzwert für z → ∞ berechnet: lim(z→∞) $-1/z + 1$ = 0 + 1 = 1

Der Flächeninhalt beträgt also 1 Flächeneinheit.

Highlight: Bei der Berechnung uneigentlicher Integrale ist die Bestimmung des Grenzwerts der entscheidende Schritt.

Es folgt ein Beispiel einer Textaufgabe:

Für x > 0 ist der Graph der Funktion f(x) = 1/√x gegeben. Er begrenzt über den Intervallen [1; ∞) und (0; 1] unbegrenzte Flächen. Die Aufgabe besteht darin, den Flächeninhalt zu untersuchen und gegebenenfalls anzugeben.

Lösung:

Für das Intervall [1; ∞): A(z) = ∫[1,z] $1/√x$ dx = [2√x]₁ᶻ = 2√z - 2 lim(z→∞) $2√z - 2$ = ∞

Die Fläche hat nach rechts keinen endlichen Flächeninhalt.
Für das Intervall (0; 1]: A(z) = ∫[z,1] $1/√x$ dx = [2√x]ᶻ¹ = 2 - 2√z lim(z→0) $2 - 2√z$ = 2

Die Fläche hat nach oben den endlichen Flächeninhalt 2.

Example: Diese Textaufgabe zeigt, dass ein uneigentliches Integral in einem Intervall existieren kann, während es in einem anderen divergiert.

Übungsaufgaben zu uneigentlichen Integralen

Um das Verständnis für uneigentliche Integrale zu vertiefen, werden verschiedene Übungsaufgaben präsentiert. Diese Uneigentliche Integrale Aufgaben helfen, die Konzepte in der Praxis anzuwenden.

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale (falls sie existieren):

a) ∫[1,∞) $1/x$ dx b) ∫[1,∞) $1/x²$ dx c) ∫[0,∞) $x³e^(-x)$ dx d) ∫[1,∞) $1/(x+1)²$ dx e) ∫[0,∞) $e^(-x)$ dx

Highlight: Bei der Lösung dieser Aufgaben ist es wichtig, zunächst die Existenz des uneigentlichen Integrals zu prüfen, bevor man mit der Berechnung beginnt.

Diese Übungen decken verschiedene Typen von uneigentlichen Integralen ab und bieten eine gute Möglichkeit, die erlernten Techniken anzuwenden. Es ist ratsam, jeden Schritt sorgfältig durchzuführen und besonders auf die Grenzwertbestimmung zu achten.

Vocabulary: Existenzprüfung - Der Prozess, bei dem untersucht wird, ob ein uneigentliches Integral einen endlichen Wert hat oder divergiert.

Für weiterführende Uneigentliche Integrale Übungen mit Lösungen und zusätzliche Uneigentliche Integrale Beispiele empfiehlt es sich, Lehrbücher wie den "Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien" zu konsultieren oder Online-Ressourcen zu nutzen.

Quote: "Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt, d.h. es gibt auch Aufgaben, bei denen kein uneigentliches Integral existiert."

Diese Aussage unterstreicht die Wichtigkeit der Existenzprüfung bei uneigentlichen Integralen und zeigt, dass die Berechnung nicht immer zu einem endlichen Ergebnis führt.

Einführung in uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale sind ein erweitertes Konzept der Integralrechnung, das es ermöglicht, Flächeninhalte von unbegrenzten Flächen zu berechnen. Diese Flächen können entweder auf der x-Achse oder auf der y-Achse unbegrenzt sein.

Definition: Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn eine unbegrenzte Fläche, die ins Unendliche reicht, einen endlichen Flächeninhalt besitzt.

Bei uneigentlichen Integralen gibt es eine vorgegebene Grenze $entweder Ober- oder Untergrenze$ und eine variable Grenze, die gegen Unendlich oder minus Unendlich strebt.

Highlight: Auch wenn eine Fläche unbegrenzt ist, kann sie einen endlichen Flächeninhalt haben. Dies ist das Kernkonzept uneigentlicher Integrale.

Die Berechnung uneigentlicher Integrale ähnelt der Vorgehensweise bei eigentlichen Integralen, erfordert jedoch einige zusätzliche Schritte:

Bildung der Stammfunktion F der Funktion f
Einsetzen einer Variablen (z.B. z) für die unbegrenzte Grenze
Bestimmung des uneigentlichen Integrals in Abhängigkeit von der Variablen
Berechnung des Grenzwerts

Vocabulary: Grenzwert - Der Wert, dem sich eine Funktion annähert, wenn die Variable gegen Unendlich oder einen bestimmten Punkt strebt.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht jede unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat. Daher gibt es auch Fälle, in denen kein uneigentliches Integral existiert.

Example: Ein Beispiel für ein uneigentliches Integral auf der x-Achse wäre ∫[1,∞) $1/x²$ dx, während ∫[0,1] $1/√x$ dx ein Beispiel für ein uneigentliches Integral auf der y-Achse darstellt.

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was sind uneigentliche Integrale?

Uneigentliche Integrale beschreiben Flächen, die zwar unbegrenzt ins Unendliche reichen, aber trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben können. Die uneigentliche Integrale Definition umfasst zwei Haupttypen: Integrale mit unbegrenzten Integrationsgrenzen (wie von 1 bis ∞) oder Integrale mit Unstetigkeitsstellen im Integrationsbereich. Man verwendet einen Grenzwertprozess, um zu ermitteln, ob die unendlich ausgedehnte Fläche tatsächlich einen endlichen Wert besitzt.

Wie berechnet man ein uneigentliches Integral?

Bei der Berechnung musst du zuerst die Stammfunktion bilden und dann eine Variable (z.B. z) für die unbegrenzte Grenze einsetzen. Nachdem du das Integral in Abhängigkeit dieser Variablen bestimmt hast, musst du den Grenzwert ermitteln, wenn z gegen Unendlich strebt. Es gibt viele uneigentliche Integrale Beispiele in Lehrbüchern, die dir helfen können, die Technik zu verstehen. Bei manchen Aufgaben kannst du auch einen uneigentliche Integrale Rechner als Hilfsmittel nutzen, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Wann existiert ein uneigentliches Integral nicht?

Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt. Ein uneigentliches Integral existiert nicht, wenn der Grenzwert gegen Unendlich strebt oder nicht definiert ist. Um uneigentliche Integrale auf Existenz zu prüfen, untersucht man den Konvergenzgrad der Funktion. Beispielsweise konvergiert das Integral ∫₁^∞ 1/x⁴ dx, während ∫₁^∞ 1/x dx divergiert, da die Funktion zu langsam gegen Null geht.

Was ist der Unterschied zwischen eigentlichen und uneigentlichen Integralen?

Eigentliche Integrale haben endliche Integrationsgrenzen und die zu integrierende Funktion ist im gesamten Integrationsbereich stetig. Uneigentliche Integrale hingegen haben entweder unendliche Integrationsgrenzen oder die Funktion hat eine Singularität im Integrationsbereich. Für Übungszwecke findest du viele uneigentliche Integrale Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad. Du kannst auch uneigentliche Integrale Übungen mit Lösungen bearbeiten, um dein Verständnis zu vertiefen und verschiedene Lösungsstrategien kennenzulernen.

Weitere Quellen

Lambacher Schweizer: Mathematik für die Kursstufe, Schulbuch, Umfassende Erklärungen zu uneigentlichen Integralen mit zahlreichen Beispielen und Übungen mit Lösungen. Enthält Definitionen, Existenzkriterien und Grenzwertbetrachtungen. - Link
Fokus Mathematik Oberstufe von Eberle/Grieser, Schulbuch, Praxisorientierte Darstellung uneigentlicher Integrale mit vielen Beispielen zur Existenzprüfung. Besonders hilfreich für die Unterscheidung zwischen uneigentlichen Integralen 1. und 2. Art. - Link
Schroedel: Elemente der Mathematik, Lehrwerk, Strukturierte Einführung in die Thematik mit anschaulichen Grafiken zur Verdeutlichung unendlicher Flächeninhalte. Bietet systematische Übungen mit steigendem Schwierigkeitsgrad. - Link
Mathematik Neue Wege von Lergenmüller/Schmidt, Lehrbuch, Enthält einen umfangreichen Abschnitt zu uneigentlichen Integralen mit Alltagsbezügen und anwendungsorientierten Aufgaben. Besonders stark bei Grenzwertbetrachtungen und grafischen Darstellungen. - Link

Weiter erforschen

Erstelle eine eigene "Fehlerkarte": Sammle typische Fehler bei der Berechnung uneigentlicher Integrale (besonders bei Grenzwertbestimmung und Existenzprüfung) und notiere die korrekte Vorgehensweise daneben.
Untersuche anhand von Beispielfunktionen wie 1/x^n für verschiedene Werte von n, wann uneigentliche Integrale existieren und wann nicht. Visualisiere deine Ergebnisse durch einfache Graphen und erkläre den Zusammenhang zwischen Konvergenz und Divergenz.

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Uneigentliche Integrale Berechnung

Dieser Lernzettel behandelt die Berechnung uneigentlicher Integrale in der Integralrechnung. Er erklärt die Schritte zur Bestimmung der Stammfunktion, den Umgang mit variablen Grenzen und die Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende der Mathematik, die ein tieferes Verständnis für unendliche Flächeninhalte und deren Berechnung entwickeln möchten.