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Uneigentliche Integrale
28.11.2020
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Mathe Mathe GFS- Uneigentliche Integrale Was sind uneigentliche Integrale? Auch eine unbegrenzte Fläche, die ins Unendliche reicht, kann einen endlichen Flächeninhalt besitzen. Dies nennt man ein uneigentliches Integral. Es gibt in diesem Fall also eine vorgegebene Grenze (entweder Ober- oder Untergrenze) und eine variable Grenze. Außerdem kann die Fläche entweder auf der y-Achse oder auf der x-Achse unbegrenzt sein. -0.5 2.5 2 1.5- 1 0.5 0 -0.5 10 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 3 2 1 2 21.04.20 5 bestimmt werden. → D.h. man setzt die Ober- und die Untergrenze jeweils in die Stammfunktion ein 6 Auf der x-Achse unbegrenzt Wie berechne ich ein uneigentliches Integral? Die Vorgehensweise ist relativ ähnlich wie bei den euch bereits bekannten eigentlichen Integralen. 1. Man muss die Stammfunktion F der Funktion f bilden. Nun setzt man für die nicht gegebene Grenze, welche gegen ∞ oder -∞ läuft, eine Variable ein z.B. z und rechnet zuerst mit dieser weiter. 2. Das uneigentliche Integral muss in Abhängigkeit von der Variablen Auf der y-Achse unbegrenzt → Danach muss die Untergrenze von der Obergrenze subtrahiert werden 3. Als letztes muss man den Grenzwert bestimmen 4. Schon hat man den Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche ! Achtung nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt, d.h. es gibt auch Aufgaben, bei denen kein uneigentliches Integral existiert. Mathe Beispiel: f/1dx 1. Stammfunktion bestimmen und Variable z einsetzen 2. Uneigentliches Integral bestimmen (-23)-(-3-13) → 31/3+1/3 -3z3 3. Grenzwert bestimmen Z→∞ -3z³ == 4. Der Flächeninhalt beträgt Flächeneinheiten. Beispiel Textaufgabe: Für positive Werte von x ist der Graph...
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Alternativer Bildtext:
der Funktion f mit f(x)= gegeben. Er begrenzt über dem Intervall [1; ∞) und dem Intervall (0; 1] eine nach rechts bzw. oben unbegrenzte Fläche. Untersuchen Sie deren Inhalt und geben Sie gegebenenfalls den dazugehörigen Flächeninhalt an. Lösung: tra = - 13 vali = A(z)=(3. √√z) (31) = 3.³√√Z-3 A(z) -> +∞o für z -> +00 A: Die Fläche hat nach rechts keinen endlichen Flächeninhalt Rechts: A (z)=dx = Oben: A(z) = ₂¹² ==(3-√ . A(z) = (3-√√1) A(z) -> +∞ für z -> +∞ = 3 A: Die Fläche hat nach oben den endlichen Flächeninhalt 3. (3-√√z)=3-3-√√z 21.04.20 Mathe Aufgaben: Nr. 1 berechne die uneigentlichen Integral (! Falls sie existieren) a) [ 1 / dx b) [1²/1/ dx c) [[ ^ / dx_ d) f (x1dx e ) º ex e) (x+1)² Quellen: 21.04.20 https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/integral/uneigentliche_integrale#aufgabe n https://www.abiturma.de/mathe-lernen/analysis/integralrechnung/uneigentliche-integrale Buch: Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien Kursstufe S 104/105