Flächenberechnung zwischen Funktionsgraphen

Die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ist eine wichtige Anwendung der Integralrechnung. Hierbei wird die Differenz der Integrale der beiden Funktionen über das betrachtete Intervall gebildet.

Definition: Die Fläche A zwischen den Graphen von f(x) und g(x) im Intervall [a,b] wird berechnet durch: A = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung:

1. Separate Berechnung der Flächen unter f und g, dann Subtraktion.
2. Direkte Integration der Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x).

Beispiel: Für f(x) = x^2 + 1 und g(x) = -x^2 + x im Intervall [1,2] beträgt die Fläche zwischen den Graphen 3.

Die zweite Methode ist oft effizienter, da sie nur eine Integration erfordert.

Highlight: Die Wahl der Methode kann die Komplexität der Berechnung erheblich beeinflussen.

Rekonstruktion von Beständen

Die Integralrechnung ermöglicht die Rekonstruktion von Beständen aus bekannten Änderungsraten. Dies ist eine wichtige Anwendung in vielen praktischen Bereichen.

Definition: Die Bestandsfunktion B(t) kann aus der Änderungsrate B'(t) durch Integration rekonstruiert werden: B(t) = ∫ B'(t) dt + C

Dieser Prozess ist die Umkehrung der Differentialrechnung, bei der die Änderungsrate aus dem Bestand abgeleitet wird.

Beispiel: Wenn die Änderungsrate eines Wassertanks B'(t) = 2t - 1 ist, kann der Wasserstand B(t) durch Integration bestimmt werden.

Die Integrationskonstante C repräsentiert den Anfangsbestand und muss oft aus zusätzlichen Informationen bestimmt werden.

Highlight: Die Rekonstruktion von Beständen durch Integration zeigt die praktische Bedeutung der Integralrechnung in realen Anwendungen.

Unbestimmte Integrale und Stammfunktionen

Das unbestimmte Integral einer Funktion zu berechnen, ist ein grundlegendes Konzept in der Integralrechnung. Eine Stammfunktion F einer Funktion f ist jede differenzierbare Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Das unbestimmte Integral umfasst die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f und wird symbolisch als ∫f(x)dx geschrieben.

Definition: Eine Stammfunktion F einer Funktion f ist jede differenzierbare Funktion, für die F'(x) = f(x) gilt.

Die Integralschreibweise ∫f(x)dx = F(x) + C beinhaltet eine Integrationskonstante C, die den Unterschied zwischen verschiedenen Stammfunktionen darstellt.

Beispiel: Für f(x) = x^5 ist die Stammfunktion F(x) = 1/6 x^6 + C.

Es werden wichtige Rechenregeln für die Integration vorgestellt, die den Regeln der Differentialrechnung ähneln. Diese umfassen die Potenzregel, Summenregel, Faktorregel und spezielle Regeln für Exponential- und trigonometrische Funktionen.

Highlight: Die Integralrechnung ist gewissermaßen die Umkehrung der Differentialrechnung. Während die Differentialrechnung die Ableitung einer Funktion bestimmt, findet die Integralrechnung die Stammfunktion.