Laden im
Google Play
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Imperialismus und erster weltkrieg
Der mensch und seine geschichte
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Das 20. jahrhundert
Großreiche
Frühe neuzeit
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Die zeit des nationalsozialismus
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Demokratie und freiheit
Alle Themen
Entwicklungsperspektiven
Mensch-umwelt-beziehungen
Die subpolare und polare zone
Russland
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Europa
Klima und vegetationszonen
Entwicklung in tropischen räumen
Planet erde
China
Globalisierung
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Australien und ozeanien
Klimawandel und klimaschutz
Usa
Alle Themen
20.11.2020
1744
110
Teilen
Speichern
Herunterladen
Mathe KA 3: Integralrechnung Gesamtänderung einer Größer Ist der Graph einer momentanen Anderungsrate aus geradlinigen Teilstücken zsmgesetzt, so kann man die Gesamtänderung rekonstruieren. Dazu bestimmt man den grientierten Flächeninhalt zw. dem Graphen & der x-Achse. Ла A₁ #h Wenn die Inhalte der Flächen zw. dem Graphen einer Funktion & der x-Achse eine konkrete Bedeutung haben, kann es sinnvoll sein, durch ein Vorzeichen vor dem Flächeninhalt: Flächeninhalt zu kennzeichnen, ob die Flache Ober- orient. Flächeninh: oder unterhalb d. x-Achse liegt. A=A₁+A₁+A3 A = -A₁+ A₂-A3 / Flacheninhalte: immer positiv ! orient, Flacheninh.: Kann negativ scint PT ub Integral als orientierten Flächeninhalt: Die funktion fist definiert über dem Intervall [a, b] Den orient. Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [a,b] nennt man Integral der Funktion f von a bis b und schreibt: b a, b: untere bzw. abere Grenze Sf(x) dx 2 Bsp: f(x) A₂₁-9 A₂ = 4 H f: Integrand dx: steht für die immer kleiner werdenden Intervalle Intervall [05] untere Grenze obere Grenze f(x)=-2x+6 5 (-2x+6)=9-4 = 5 2a Stammfunktion Def: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion fauf einem Intervall I, wenn für alle XEI gilt: F'(x) = f(x) Bsp: f(x)=x² F(x) = 4x³ 13 X 3 da F'(x) = x² = f(x) aber: es gibt NICHT die eine Stammfunktion, sondern unendlich viele! 3 alle · F(x) = 1/² x ³ + C₁ CER Satz: Sind Fund G Stammfunktionen von fauf einem. Intervall I, dann gibt es eine konstante c, sodass für alle XEI gilt: F(x) =...
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
G(X) + C Übertragen von bekannten Ableitungsregeln n n+1 a) f(x) =" x " F(X) =^=₁ · X Potenzregel: Hochzahl +1₁ dann mit dem Kehrwert A+A der neuen Hochzahl multiplizieren (1 durch neue Hochzahl)" b) f(x) = a ·xn F(x) = ² ·x" n+1 a A+ 1 X 2b Stammfunktionen von oft vorkommenden Funktionen: f(x)=ex F(x) = ex f(x)=√x²¹ F(x) = ²/3 + √x³¹ 3 4 X f(x)= // 2 WIN F(x)=-4 A Isonder f(x) = x=F(x) = ln (1x1) fall Faktorregel: konstante Faktoren bleiben erhalten" 2 (c) f(x) = 3 x ² + x² F(x) = 1/3 x ³² 13 5 X 3 X Summenreger: Stammfunkt. einer Summe werder griedweise gebildet Stammfunktionen Ba v. verketteten Funktionen. (Integration durch lineare Substitution) Satz: Existiert zu einer Funktion u eine Stammfunktion U und ist_v(x) = ax + b eine lineare Funktion, dann ist für die verkettete Funktion F mit f(x) = u(v(x)) = u(ax+b) eine Stammfunktion gegeben durch F(x) = 1· U (utel) v'(x) außere Aufleitung mat A (₁1) 3 BSP= f(x) = (7x-5) ²³ v(x) = 7x-5 w₁(x) = 7 4 F(X) = 1/1 · 14 · (7 ×-5) " }( 4 1. (7X-5) " 28 3 innere Ableitung ~ (v) = V 4 U (x) = ² v² @ f(x) = ²x + 3 (2). e v(x)=2x+3 v²(x) = 2 F(x) = 1₁/12 · e u (v) = e U(v) = e² 2x+3 3b Hauptsatz der Differenzial- und Integrarrechnung Die funktion f ser differenzierbar auf dem Intervall [a, b] und F sei eine beliebige Stammfunktion von f mit F'(x) = f(x) Dann gilt: BSP : @f(x) = 4 - x ²² F(x) = 4 x - √ √ √ x ²³ 1.3 X Sf(x) dx = F(b)-F(a) a 2 √f(x) dx = [4 x - 3x }} = 8 - 8/ 3 16 ] ² (2) f(x) = x 6 F(x) = {1/2 x ²³ 7 "( man hätte auch ↑ # x² +5 einsetz 2 { f(x) dx = [ ²₁/₁ x ³] ² 7 -4 -1 428 7 129 7 + 1 ۲/۴ können, kame aufs 7 Selbe raus 4a Integralfunktion Def.: Ist feine über dem Intervall [a;x] integrierbare Funktion, dann heißt für jedes festgewählte a aus dem Intervall [aix] die Funktion 1₂ mit 1₂ (x) = f(t)dt, xe [aix] a "Integralfunktion a: fester wert (untere Grenze) von f zur unteren Grenze a " X: variabel (obere Grenze variabel) la (x): Integralfunktion f(t): Integranden funktion Berechnung: la(x) = f(tid+ a F(x)-F(a) = 1₂(x) = f(x) Jede Integraifunktion la(x) ist eine Stammfunktion von f. Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle vo la also 1₂(a) = 0 Die Variable die integriert wild umbenennen flx)=x²³₁ Bestimmel, 1₁ ( x)² = √²+²dt Eigenschaften des Integrals a gleiche Integrationsgrenze: √f(x) dx = 0 2 Vorzeichen: √ f(x) dx = -√f(x) dx (4b) b Addivität: j f (x) dx = Šf ( x ) d x + f f ( x \d x 2 2 с Sc f(x) dx b 2 Linearität : $(f(x)+g(x) dx = √f(x) dx + £g(x)dx ; ²= c f(xidx 2 а 스 Monotonie: gilt f(x) ≤ g(x) für alle xe [a,b], so gilt auch: j f (x) dx ≤ f g(x) dx b Abschätzbarkeit: gilt m≤ f(x) ≤ M für alle x€[2;6], 50 gilt m (b-a) ≤ f(x\dx ≤ M(ba) Zusammenhang der Bedeutung von Integranden- und Integralfunktion Ergänze die Tabelle und finde weitere Beispiele! f(x) Bedeutung der Integrandenfunktion Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit Abfließgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit Kraft in Abhängigkeit vom Weg Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit Kosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl F(x) bzw lu(x) 5a Bedeutung der Integralfunktion Strecke (in Abhängigkeit d. Zeit) Volumen des abgeflossenen Mediums Energie/Arbeit Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Gesamtkosten in Abhängigkeit v. der produzierten Stückzahl Zeit müssen Stets positiv sein! Flächeninhalte zw. einem Graphen & der x-Achse Oberhalb d. x-Achse: unterhalb d. x-Achse: a) mit vorgegeb. Grenzen: c) Fläche komplett unter x-Achse •Nullstellen berechnen A = 1 {f(x \ dx / A b A = √f(x) dx A A b) mit noch zu best. Grenzen: d) Fläche teilw. oberhalb, teilw. unterhalb - Nullstellen A = 1 f f(x) dx 1 •Nullstellen berechnen • Integral zw. Null- stellen berechnen A= √'g(x)dx₂ 5b + 1 f f ( x ) d x 1 b Ga Flächen zwischen zwei Graphen Flachen oberhalb d.x-Achse Flächen unterhalb d. x-Achse: 2) mit vorgeg. Grenzen: (c) teilw. unter; teilw. oberhalb d.x-Achse. -Schaubilder -Schnittstellen V V bestimmen f(x) = g(x) A= | j²(f(x) = g(x)) dx хл Diffunktion integrieren 12 Schneiden sich nicht 2 A=1 $(x)-g(x) dx b) mit noch zu best. Grenzen: d)fläche, die aus mehr. Teifflächen besteht A • Schriftstellen berech. f(x) = g(x) A = 1 S² (f(x) = g(x) dx X₁ Diffifunktion mitintegrieren - Berechnung der Schnittpunkte -Teilflächen berechn. (Differenzfunkt, integrier → A = 1 J^²(f(x)-g(xl) dx | +1 Jjifat-slia) An Ay 7 Mittelwerte von Funktionen. 6b Def.: Der Mittelwert m einer stetigen Funktion of im Intervall [aib] ist gleich dem Wert des Integrals von f über [ai b] dividiert durch die Länge d. Intervalls geometr.: Der Flächeninhalt zw. Graph und x-Achse über [aib] wird in ein inhaltgleiches Rechteck mit d. Hōhe m und der Breite b-a verwandelt Mah> A b m = b A. S f l xl dx b-a a