Zusammenfassung KA3 11. Klasse, Integralrechnung

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G(X) + C Übertragen von bekannten Ableitungsregeln n n+1 a) f(x) =" x " F(X) =^=₁ · X Potenzregel: Hochzahl +1₁ dann mit dem Kehrwert A+A der neuen Hochzahl multiplizieren (1 durch neue Hochzahl)" b) f(x) = a ·xn F(x) = ² ·x" n+1 a A+ 1 X 2b Stammfunktionen von oft vorkommenden Funktionen: f(x)=ex F(x) = ex f(x)=√x²¹ F(x) = ²/3 + √x³¹ 3 4 X f(x)= // 2 WIN F(x)=-4 A Isonder f(x) = x=F(x) = ln (1x1) fall Faktorregel: konstante Faktoren bleiben erhalten" 2 (c) f(x) = 3 x ² + x² F(x) = 1/3 x ³² 13 5 X 3 X Summenreger: Stammfunkt. einer Summe werder griedweise gebildet Stammfunktionen Ba v. verketteten Funktionen. (Integration durch lineare Substitution) Satz: Existiert zu einer Funktion u eine Stammfunktion U und ist_v(x) = ax + b eine lineare Funktion, dann ist für die verkettete Funktion F mit f(x) = u(v(x)) = u(ax+b) eine Stammfunktion gegeben durch F(x) = 1· U (utel) v'(x) außere Aufleitung mat A (₁1) 3 BSP= f(x) = (7x-5) ²³ v(x) = 7x-5 w₁(x) = 7 4 F(X) = 1/1 · 14 · (7 ×-5) " }( 4 1. (7X-5) " 28 3 innere Ableitung ~ (v) = V 4 U (x) = ² v² @ f(x) = ²x + 3 (2). e v(x)=2x+3 v²(x) = 2 F(x) = 1₁/12 · e u (v) = e U(v) = e² 2x+3 3b Hauptsatz der Differenzial- und Integrarrechnung Die funktion f ser differenzierbar auf dem Intervall [a, b] und F sei eine beliebige Stammfunktion von f mit F'(x) = f(x) Dann gilt: BSP : @f(x) = 4 - x ²² F(x) = 4 x - √ √ √ x ²³ 1.3 X Sf(x) dx = F(b)-F(a) a 2 √f(x) dx = [4 x - 3x }} = 8 - 8/ 3 16 ] ² (2) f(x) = x 6 F(x) = {1/2 x ²³ 7 "( man hätte auch ↑ # x² +5 einsetz 2 { f(x) dx = [ ²₁/₁ x ³] ² 7 -4 -1 428 7 129 7 + 1 ۲/۴ können, kame aufs 7 Selbe raus 4a Integralfunktion Def.: Ist feine über dem Intervall [a;x] integrierbare Funktion, dann heißt für jedes festgewählte a aus dem Intervall [aix] die Funktion 1₂ mit 1₂ (x) = f(t)dt, xe [aix] a "Integralfunktion a: fester wert (untere Grenze) von f zur unteren Grenze a " X: variabel (obere Grenze variabel) la (x): Integralfunktion f(t): Integranden funktion Berechnung: la(x) = f(tid+ a F(x)-F(a) = 1₂(x) = f(x) Jede Integraifunktion la(x) ist eine Stammfunktion von f. Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle vo la also 1₂(a) = 0 Die Variable die integriert wild umbenennen flx)=x²³₁ Bestimmel, 1₁ ( x)² = √²+²dt Eigenschaften des Integrals a gleiche Integrationsgrenze: √f(x) dx = 0 2 Vorzeichen: √ f(x) dx = -√f(x) dx (4b) b Addivität: j f (x) dx = Šf ( x ) d x + f f ( x \d x 2 2 с Sc f(x) dx b 2 Linearität : $(f(x)+g(x) dx = √f(x) dx + £g(x)dx ; ²= c f(xidx 2 а 스 Monotonie: gilt f(x) ≤ g(x) für alle xe [a,b], so gilt auch: j f (x) dx ≤ f g(x) dx b Abschätzbarkeit: gilt m≤ f(x) ≤ M für alle x€[2;6], 50 gilt m (b-a) ≤ f(x\dx ≤ M(ba) Zusammenhang der Bedeutung von Integranden- und Integralfunktion Ergänze die Tabelle und finde weitere Beispiele! f(x) Bedeutung der Integrandenfunktion Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit Abfließgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit Kraft in Abhängigkeit vom Weg Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit Kosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl F(x) bzw lu(x) 5a Bedeutung der Integralfunktion Strecke (in Abhängigkeit d. Zeit) Volumen des abgeflossenen Mediums Energie/Arbeit Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Gesamtkosten in Abhängigkeit v. der produzierten Stückzahl Zeit müssen Stets positiv sein! Flächeninhalte zw. einem Graphen & der x-Achse Oberhalb d. x-Achse: unterhalb d. x-Achse: a) mit vorgegeb. Grenzen: c) Fläche komplett unter x-Achse •Nullstellen berechnen A = 1 {f(x \ dx / A b A = √f(x) dx A A b) mit noch zu best. Grenzen: d) Fläche teilw. oberhalb, teilw. unterhalb - Nullstellen A = 1 f f(x) dx 1 •Nullstellen berechnen • Integral zw. Null- stellen berechnen A= √'g(x)dx₂ 5b + 1 f f ( x ) d x 1 b Ga Flächen zwischen zwei Graphen Flachen oberhalb d.x-Achse Flächen unterhalb d. x-Achse: 2) mit vorgeg. Grenzen: (c) teilw. unter; teilw. oberhalb d.x-Achse. -Schaubilder -Schnittstellen V V bestimmen f(x) = g(x) A= | j²(f(x) = g(x)) dx хл Diffunktion integrieren 12 Schneiden sich nicht 2 A=1 $(x)-g(x) dx b) mit noch zu best. Grenzen: d)fläche, die aus mehr. Teifflächen besteht A • Schriftstellen berech. f(x) = g(x) A = 1 S² (f(x) = g(x) dx X₁ Diffifunktion mitintegrieren - Berechnung der Schnittpunkte -Teilflächen berechn. (Differenzfunkt, integrier → A = 1 J^²(f(x)-g(xl) dx | +1 Jjifat-slia) An Ay 7 Mittelwerte von Funktionen. 6b Def.: Der Mittelwert m einer stetigen Funktion of im Intervall [aib] ist gleich dem Wert des Integrals von f über [ai b] dividiert durch die Länge d. Intervalls geometr.: Der Flächeninhalt zw. Graph und x-Achse über [aib] wird in ein inhaltgleiches Rechteck mit d. Hōhe m und der Breite b-a verwandelt Mah> A b m = b A. S f l xl dx b-a a