Rotationskörper und ihre Berechnung in der Geometrie
Die Rotationskörper sind faszinierende geometrische Gebilde, die durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entstehen. Zu den bekanntesten Beispielen gehören die Kugel, der Kreiskegel und der Zylinder. Eine wichtige Voraussetzung ist, dass sich die rotierende Kurve und die Rotationsachse in derselben Ebene befinden müssen.
Definition: Ein Rotationskörper entsteht durch die Drehung einer ebenen Kurve um eine Achse, wobei Kurve und Rotationsachse in einer Ebene liegen müssen.
Die Berechnung von Oberflächen und Volumen eines Rotationskörpers erfolgt mithilfe der Funktionsvorschrift der rotierenden Kurve. Dabei unterscheidet man grundsätzlich zwischen Rotationen um die x-Achse und um die y-Achse. Für die Rotation um die x-Achse gilt die Volumenformel V = π∫f(x)²dx, während für die y-Achse V = π∫f−1(x)²dx verwendet wird.
Beispiel: Ein praktisches Beispiel ist die Berechnung des Volumens eines Sektglases. Hierbei rotiert eine Funktion fx = √x um die x-Achse im Intervall 0;10. Das resultierende Volumen lässt sich mit der Formel V = π∫₀¹⁰√x²dx = 50π berechnen.
Ein komplexeres Beispiel demonstriert die Berechnung mit der Funktion fx = √2x−2 im Intervall 1,4. Hier erfolgt die Lösung schrittweise: Zunächst wird f(x)² gebildet, dann das Integral aufgestellt und gelöst. Das Endergebnis beträgt etwa 28,27 Volumeneinheiten.