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Integrale
25.9.2022
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Integrale Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. Die Integralrechnung steht in engem Zusammenhang mit der Differentialrechnung. Die Integralrechnung hilft dir, Flächeninhalte zwischen der x-Achse und einer Funktion auszurechnen. 1. Integrale generell E A2 2. Stammfunktionen bestimmen A = A₁ - A₂ →Der auf einem Intervall [a;b] von Graph und x-Achse eingeschlossene orientierte Flächeninhalt wird als bestimmtes Integral bezeichnet Bsp.: f(x) = 4x³ + 2x² -1 = [x² + ²x²³-x+dx] f(x) = x² = [x³] Što 1.) Erhöhe die Hochzahl um 1: x³ x4 2.) Schreibe den Bruch vor die Potenz: Integrand f(x) dx untere Integrationsgrenze →> Bevor man das Integral bestimmen kann, muss man die Stammfunktion F(x) ermitteln. Das Bilden einer Stammfunktion ist also das Gegenteil vom Ableiten. Deshalb wird es auch Aufleiten genannt. neue Hochzahl 4x4 3. Hauptsatz zur Integral- und Differentialrechnung Für eine stetige Funktion f auf dem Intervall [a,b] gilt: Sf(x) = [Fix] - Fla-FLI+A = = F(t)-F(a) = Adx - $(2+0) de = [4 (2+191- F(1) Bap: - S-² [3²41-(-4-4+1)-(-8-(-4†²×(-1)} = (-3,-1)-(4-1) -‡-(-3) - § -1 4. Flächenberechnung durch Integralrechnung 5- 4 3- → Mithilfe der Integralrechnung kannst du den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen berechnen. Das Integral gibt dir also den Flächeninhalt zwischen f(x) = 2x und der x-Achse im Intervall [0,2] an. 2 1- f(x) = 2x/ 1 = F(2) - F(0) = 60 2 . 3 4 5 Schritt 1: Berechne die Stammfunktion...
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F(x) und schreibe Sie in eckige Klammern Schritt 2: Setze die Integrationsgrenzen a und b in F(x) ein. Schritt 3: Ziehe Fla) von F(b) ab. 6 F(-1) 7 Schritt 1: Berechne die Nullstellen deiner Funktion. Schritt 2: Schreibe das bestimmte Integral auf. Die Nullstellen sind die Integrationsgrenzen. Schritt 3: Integral berechnen. Achtung! Wenn du mehr als zwei Nullstellen hast, musst du auch mehr als ein Integral ausrechnen. Hast du zum Beispiel die Nullstellen 2, 3 und 5, dann berechnest du ein Integral von 2 bis 3 und eines von 3 und 5. Bsp.: -5 Bsp.2: -5 -4 -3 Bsp.: -4 -3 . -1 31 2+ 0 -3 -1 -2 -3 -1 -2- f(x) = -x²+4 1 6- f(x)=x³-4x 5+ 3 -1 0 -1- 1.) Nullstellen: f(x) = 2x² + 1 (=> f(x) = -x² + 4 <=> 1.) Nullstellen: -x² + 4 = 0 1-4 <=> - x² = -4 1-(-1) | √ 2.) Bestimmtes Integral: x₁ = 2 v. x ₂ = 2 5. Flächen zwischen zwei Graphen -> Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) berechnen sollst, gehst du so vor: -x² +4dx = [-x² + 4x] = F(-2)-F (2) = 3² A = 3 Schritt I: Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x).(gleichsetzen!) Schritt 2: Stelle das Integral von f(x)-g(x) mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen auf. Schritt 3: Integral berechnen. x² - 4x = 0 | AK x(x²-4)= 01 +4 x² = 415 2.) Integral: S-4x dx = [x²- 2x²1]; | S²x² - 4x dx = [ & X² - 2ײ] - F (2) - x₁ = 0; x₂ = 2; x3 = -2 F(0)-F(-2)=0-(-4) = 4 -F(0) = -4 -0 =1-4/=4 1.) Schnittpunkte: f(x) = g(x) 2x² +1 = -x²+4 1-x²+4 h(x) < 3x²-3 = 0 +3 3x²=3 1:3 1√ x₁ = 1 v. x₂ = -1 4+4=8 A = 8 2.) Integral bestimmen: Shaxs S-3x²+3 = [-x² + 3x] = F(4) - F(-4) = 2 - (-2) = 4 g(x)=f(x)=h(x) > -x² + 4 - 2x² + 1 = = 3x² +3 ODER 2x²+1-(-x²+4)= 3x² - 3 ठे Da ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann setzt man Betragsstriche !