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Integralrechnung

15.2.2021

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Aufgabe Maximal Erreicht 12.11.2020 vin m/manof 38 A1a A1b A1c A2 A3a A3b A3c A4a A4b A4c A4d A5a A5b 3 3 3 2,5 3 6 2 3 5 2 3 3 2.5 AUFGABE 1 Berechnen Sie algebraisch folgende Integrale. a) ²4x³dx b) 3 3 10 -20 3 2 2 1 A 2 0 6 4 3 4,5 2 1 sin(x)dx AUFGABE 2 Ordnen Sie den folgenden Änderungsratenfunktionen (f', g', h') den passenden Bestandsgraphen (A,B,C) zu. Begründen Sie ihre Entscheidung. P sin B Gesamt 37/43 c) ²(x (x-1))dx AUFGABE 3 Das folgende Diagramm zeigt die Höhen Zu- bzw. Abnahme eines Segelfliegers (Einheiten: vertikale Geschwindigkeit v in m/min (Meter pro Minute) und Zeit t in min). h' Wichtig: Begründen Sie Ihre Antworten anhand des Diagramms. a) Begründen Sie anhand des Diagramms den Zeitpunkt, an dem der Siegelflieger den höchsten Punkt seines Fluges erreicht hat. b) Bestimmen Sie die Flughöhe nach 6 Minuten, wenn der Segelflieger auf einer Höhe von 50 Metern gestartet ist. c) Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen Start- und Landepunkt des Segelfliegers. C € Punkte 13 TEZA it in min AUFGABE 4 Die Zuwachsrate eines Pflanzenbestandes wird durch folgende Funktion in einem Zeitraum von 16 Jahren dargestellt: f(x) = -0,2x (x - 5)(x-13) a) Bestimmen und begründen Sie anhand des Graphen, in welchen Zeiträumen der Bestand zunimmt bzw. abnimmt. Wann ist der Bestand innerhalb der 16 Jahre maximal? Begründen Sie. Zum Zeitpunkt t=0 sind 200 Pflanzen vorhanden. Berechnen Sie den Bestand nach 5 Jahren, nach 13 Jahren und nach 16 Jahren. d) Skizzieren Sie den Verlauf der Bestandsfunktion. Anz. d. Pflanzen/Jahr b) c) Das macht es sehr 80 ungenaux. f(x) 60 g(x) 40 20 -20 -40 --60 -80 -100 -120 6 f(x) = x²...

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+1 keine negative g(x) = -1/2 x² + 5 Flachen y 0 X₂ 8 10 12 AUFGABE 5 Bestimmen Sie den Flächeninhalt der markierten Flächen. Beachten Sie dabei: x₁ bzw. x₂ sind die Schnittpunkte der Graphen. Achten Sie darauf Ihr Vorgehen nachvollziehbar zu dokumentieren. 14 X1 16 Bestandsfunkta Jahre f(x) = x³ g(x) = x X2 1) 2 2 4 { ux²dx = [x²] ² = F2²)- RO)= F(2)-F(O)= O ✓ 24-00 04 = ль (b) Pula 2 Sin & JoWx = [-cos(x)] ³- 0-4)==-1) A -F(2)-F(0) c) 2 2 S (x (x -~-1)) dx = [3ײ³ - 1 ×2 ] * = F(2) - F(C) 3X Flacheninhalt ist immer positiv. = ( 1⁄² · 2 ³² - 1/2 ·2³) (3 · 0²³-¹1 · 0²) - 2 - 2 - 3 3 8 ergibt o Das ist atation f' = 3, da die Anderingsfunktion zuerst negativ ist und dann in der positien Bereich kane Argumat verläuft BRUNNEN T = C, we'l de Anderingsfunktion zuerst in positiven Bereich, dann in regalien und dann wied ins positive verläuft, Die Bestandsfunktion Sinht, wenn die Anderingsfunction im negativen Bereich ist A h' Die Anderngsfunktion ist konstant, deshalb stegt die Bestandsfunktion auch honstant, v инделал Argumentation. -2- 3) Dina Den höchsten Punkt des Fluges errecht der Segel flieger nach 10 Minuten, da er ab dem Punlit wieder anfangt zu Sinhen. Vorher hat sich zwar seine Geschwindigkeit verandert, aber es 1st trotzdem weiter gestiegen. Ab dem Wat 10 im Diagramm erfährt der Segelflieger eine negative Geschwindigkeit, das heißt also, dass er sintet. b) t(0) = 50 m gesucht: +(6) Nach 6 Minuten befindet. sich der Segelflieger bei einer Höhe von 50m. A₁ = 10 FE Az 20 FE 40 FE A3 = SO FE Ач Startpunkt: Som Landepunkt. 20m 1 Shill Thwrot. NR 50-10+20+40-80 = 20 > Hihen unterschied 30m V VOC ST Zunahme Abnahme Liegt der Graph der Zuwachsrate in positiven Bereich, erfolgt eine Zunahmu des Bestandes. Liegt sie in negativen Bereich, erfolgt eine Abnahme Im Zeitraum von 0 bis 5 Jahren hat sich der Bestand abo verringert. Von 5 bis 13 falen gods erfolgte eine Zunrahme des Bestandes und ab dem 13. Jahr nimmt der Bestand immer weiter ab. b) C) Nach 13 fahren ist der Maximalbestand der Pflanzen erreicht, da wir in dem Diagranum keine Zunahme mehr erkennen. konnen und eine große Abnahme folgt. f(x) = -0,₁2 x (x - 5). (x-13) flexolx ²5 O -43,75 t=0 = 200 Pflanzen 200-43,75 =156₁25✓ BRUNNEN Der Bestand nach 5 Jahren liegt bei 156,25 Pflanzen 12 ON S TW ST 309,85 ۔ ہا - 13 Sfw dx 0 153,6 f(x) CAS = 5 13 Besternde S (fx dx) + 156,25 Nach 13 Jahren ist der Bestand bei 309, 85 pflanzen. 16 CAS S Rx) dx ²² 20₁8 f 13 | = 309,85✓ folglich → 309,85-20,8 = 289,05 Nach 16 Jahren l'est der Bestand bei 289, 05 Pflanzen. 174,9 ડ) f(x)=√x ² + 1 9(x) = -√1/₁2₁ x ² + 5 * S₁ = (-413₁67) S₂ = (4 1367) 4 4 CAS A= | S(f(x)0x) - S(x) dx) = 641 = 21,3 ° 3 -4 *Schnittpunkite mit CAS: ( OCH TAG →5) 6 g(x) = CAS:S₁ = (11-1) S₂ (010) S₂ (111) C Mathemath Klauser 3 AZ f(x) = x CAS 1 A= |S (fxjax) - S (@xax)/ (²² l C =X t |S(fx) dx ) - S (goodx) | ªs CAS 1 4 O 2 0 A gond =($fix) - $ ( )| + | 5 (-$11-05 gesamt -1 O BRUNNEN -5-