Integralrechnung

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denen Wasser in den Speicher fließt bzw. abfließt. c) Zu Beginn befinden sich 10 Mio. m³ Wasser im Speicher. Bestimmen Sie die Wassermenge im Speicher nach 4, 8 und 12 Stunden. 1 Ebbe und Flut sind regelmäßig wiederkehrende Wasserbewegungen der Ozeane. Die Ebbe bezeichnet den Zeitraum, in dem das Wasser sinkt, die Flut die Spanne, in der das Wasser steigt. Gymnasium Essen Nord-Ost Kurs: Q2 M G3 Name: As Runden Sie, wenn nicht anders angegeben, immer auf zwei Nachkommastellen! Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals. i) -1 Jox³. (x³ - 4x) dx -3 -2 -1 AY 5. Klausur-Teil mit Hilfsmitteln. b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt. i) ii) AY 1- O -1+ -2+ g(x)= 1 4X-3 2 3 ii) 3 " / (√x + 2) dx c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den die Funktionen f(x) und g(x) miteinander einschließen. Datum: 16.09.2021 Lehrer: HGN Zeit: maximal bis 10:25 Uhr -3 -2 (2P+7P + 5P+4P) = 18P -2 -1 -1 h(x) = -1,5(x² - 2,25)x 2 1 1- 0 O 1 1 2 f(x)=x² X g(x) = 2,5 2 3 d) Ein Fahrradfahrer fährt für Osts 10 mit der Geschwindigkeit v(t) = 5t -0,25t². (t in Sekunden, v(t) in km/h) Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [0; 5] und im Intervall [0; 10]. Viel Erfolg!!!!!!! Name: Ash Aufgabe 6: (6P + 8P) = 14P Die Vorderfront einer alten Stadtmauer soll einen neuen Fassadenanstrich erhalten (siehe Abb. 3). Der Torbogen kann näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion zweiten Grades modelliert werden. Eine Einheit entspricht 1 m. Ау 5 4 3 2 1 0 Abbildung 3 4m 5 10 X a) Bestimmen Sie den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, die den Torbogen der Stadtmauer modelliert. Kontrolllösung: f(x) = -¹x² + 2,5x-2,25 b) Die Kosten des Fassadenantrichs pro m² betragen 30,00 €. Berechnen Sie die Gesamtkosten des Fassadenanstrichs für die Vorderfront. Name: As Aufgabe 7: (7P + 5P+4P + 5P) = 21P Die Fischerei ,,GENO Fisch" ist auf der Suche nach einem neuen Firmenlogo. Ein Entwurf entspricht der Form eines Fisches (siehe Abb. 4). Die Form wird durch die zwei Funktionen f(x) und g(x) = 0,03x³ -0,09x² - 0,54x+2 auf dem Intervall [-3; 6] begrenzt. Eine Einheit entspricht 1 dm. -3 -2 -1 Abbildung 4 5 + 3 y 1 2 3 4 f(x) 100 g(x) LO 6 X a) Die Funktion f(x) kann durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades modelliert werden. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion f(x). Kontrolllösung: f(x) = -0,05x³ + 0,15x² +0,9x + 2 b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Firmenlogos. c) Zwei der Firmenlogos sollen auf eine 2m breite und 1,5m hohe Fensterscheibe geklebt werden. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil des Fensters, das durch die beiden Firmenlogos verdeckt wird. d) Bestimmen Sie maximale Höhe des Logos. 101 1 = 10 do D Name: Aslı Aufgabe 8: (6P+8P+4P+4P+4P+ 3P + 4P) = 33P Die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einem Staubecken kann innerhalb eines Jahres näherungsweise durch die Funktion g mit g(t) = t³-²-4t+44 beschrieben werden, mit t in Monaten ab Beobachtungsbeginn (0 ≤ t ≤ 12) und g(t) in 10 000 m³ pro Monat. Der Graph von g(t) ist in der Abbildung 5 dargestellt. 80 y 60 40 20 -1 0 -20 -40 1 2 3 4 5 6 12 7 8 10 g(t) 11 12 > t Abbildung 5 a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen innerhalb des betrachteten Jahres im Sachzusammenhang. b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Änderungsrate des Wassers im betrachteten Zeitraum minimal war. Geben Sie auch die zugehörige Änderungsrate an. c) Bestimmen Sie den Wert des Integrals g(t)dt und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Drei Monate nach Beobachtungsbeginn (t = 3) waren 2 743 125 m³ Wasser im Staubecken. d) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung G(t), die die Wassermenge in m³ zum Zeitpunkt tangibt. Kontrolllösung: G(t) = t-t³-2t² +44t+180 e) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Wassermenge im Stausee mindestens 2 200 000 m³ betrug. f) Ermitteln Sie die mittlere Wassermenge im Stausee innerhalb des betrachteten Jahres. g) Begründen Sie, dass die Funktion G(t) für große t nicht geeignet ist, die Wassermenge im Staubecken zu modellieren. nagenali M02 G3 Alo Aste Aydin Name: Die Lösung ist eine Modellösóng. Das bedeutet, dass auch andere richtige Lösungsideen mit entsprechender Punktzahl bewertet werden. Aufgabe a) () f(x)=x b) a) Summe Aufgabe 1 bl Erwartungshorizont und Punkteverteilung der 5. Klausur Summe Aufgabe 2 II) 1) 1) F(x) = x² +C Summe Aufgabe 3 Modelllösung 8(x)=x+2x G(x)=x²+x²+C h(x)=6x¹0,5x² +0,75 H(x)=x²+0,75x+C v) (x)=(x + 2)² = x² + 4x + 2 1(x)=x²+2x² + 4x +C F'(x)=9x² + 4x-4-f(x) F(x) ist eine SF von f(x) F(x)(x+2)(x+3)+x=x²+6x+6 F(x)=2x+6x f(x)→ F(x) ist keine SF von f(x) x dx = [0,5x³0,5-2²-0,5-0-2 (3x²+2) dx = [x³ + 2x₁=1+2·1-((-1)³ +2-(-1)) = 6 Die ganzrationale Funktion f(x) ist Punktsymmetrisch zum Ursprung, da alle Exponenten ungerade sind. Daraus lässt sich folgern, dass die Beträge der beiden Teilflächen gleich groß sind. Gesucht ist die Flächenbilanz (bzw. das Integral)-hierbei gehen die Flächen oberhalb der x-Achse positiv, die Flächeninhalte). le Flächen unter der x-Achse negativ ein (orientierte Zusammenfassend ergibt sich: ₂ f(x)dx=0 b) Nullstellen berechnen: -x² + 4x = 0 X=0 V-x²+4-0 X: 0 V x²=4 x=0 V x2 v x=2 Flächeninhalt berechnen: A₁ = 1₂(x²+4) dx | +1³(-x³+4) dx | -|-** +²³₂ +¹ +²³ -0-((-2) +2+(-2)²)| + |--2+2-2²-0 -41 +14 4+4=8 Erreichte Punktzahl 1 NM 3 4 2 74 ها - 3 2 0 9 M Maximale Punktzahl 2 4 3 4 m a) Die markierte Fläche gibt dle Anderung des Bestands, in diesem Falle die Wassermenge im Speicher des Gezeitenkraftwerks, nach zwei Stunden an. Die Fläche beträgt hier 0,5-2-10-10, d.h. in den ersten zwei Stunden sind nach dieser Modellierung 10 Mio. m Wasser in den Speicher geflossen, da die Fläche oberhalb der x-Achse llegt. 6 Zeltraum, in dem Wasser in den Speicher fließt: (0;5) Zeltraum, In dem Wasser aus dem Speicher fließt: (6; 12) b) c) Die Berechnung der Fläche zwischen der x-Achse und a se und die Beachtung der Orientierung (unter- bzw. oberhalb der x-Achse) liefert folgende Werte: Nach 4 Stunden: 0,5-2-10+2-10-30 [Mio.m"] →10 Mio. m² + 30 Mio. m¹ = 40 Mio. m³ Nach 8 ach 8 Stunden: 30+0,5-2-10-05-2-10-30 [Mio m 10 Mio. m². 30 Mio. m² 40 Mio.m Nach 12 Stunden: 30-2-10-05-2-10-0[Miom'] → 10 Mio m² +0 Mio. m² = 10 Mio. m² Summe Aufgabe 4 Gesamtpunktzahl Hilfsmittelfreler Tell" 10 1) i) Nullstellen berechnen Ansatz: g(x)=0 Die graphische Analyse mit dem GTR liefert die folgenden Nullstellen von gix): x₁-2 und x₂-2 ^-| G-²²-2) 41 - 0 1² K A= =8[FR] Summe Aufgabe 5 [(V+) dx = 1.98 Nullstellen berechnen Ansatz: h(x)-0 Die graphische Analyse mit dem GTR liefert die folgenden Nullstellen von h(x): xa-1.5; 0; ₁-1,5 4- | 1 (869) - 50(1) 14 | 15 (f(x) 4-| A | | 34 | A c) Schnittstellen berechnen Ansatz: f(x) glx) Die graphische Ermittlung mit dem GTR liefert: x:= -1,58 und x = 1,58 10-0 d) Mittlere Geschwindigkeit im Intervall (0;5) 5-0 (5-0,25e³)dt = 10,42 5,27 [FE) Mittlere Geschwindigkeit im Intervall [0; 10) (St-0,25t)dt = 16,67 3,80 [FE) a) Allg. Funktionsgleichung: f(x) = ax²+bx+c f(x)=2ax+b Gegebene Bedingungen: z.B. f(5) 4 f'(5)=0 (1)-0 3 2 M 43 M 2 3 h 48 11 48 2 3 3 t: f(5)-25a + 5b + c = 4 it: F(5) - 10a + b =0 1) Der GTR liefert: a--b-2,5; c= -2,25 PK -- +25 - 2,25 a+b+c=0 b) Fiche der Vorderfront A-10-5- 5-√ √(-+ 2 ² + 25x -2,25) dx || -50-- +1.25- -50-- +1.25-9-2.25 -(-2+1.25-1²-225-1 ²30m²-260,00 € & The Tesadnicht katragen 100,00 € c) Ally, Penghargaational Punkdan 3. Grades +4 Bling-3-3 8)37+++8=2 4-2 (2) b+ c+d-3 :)-216+36b+c+d=2 Der GTR Bufort: -0,05 0,15 -2 RJ-1 De graphische Analyse mit dem GTR :- 1 - 11000-2004 | +11000- 4-2 1-0 Summe Aufgabe 7 a -2 -6 (/(x) - g(x))dx = 19,98 (dm³) 201² = Fläche der Schelbe: 20 dm-15 dm-300 dm² Grundwert Fäche der beiden Logos: 19,98 de 2-39,96 der Prozentwert -0,1332-13,32% Damit beträgt die maximale Höhe des Logos circa 4,56 dm. Gesucht ist das globale Maxdmum von dix) auf dem Intervall (-3; 6). Infrage kommen die Randwerte bzw. der HP der Funktion dix). Randwerte: d(-3)-d[6)-0 im Sachzusammenhang nicht relevant HP(3,64/4.56) & Orca 13,32 % des Fensters warden von den Logos verdeckt. d) Durch dix)-[x]-g(x)] sst sich die Höhe des Logos In Abhängigkeit von x ermitteln. 6 Im Intervall (4; 11) ist die Änderungsrate negativ, d.h. dass die Wamermenge im Stausee abnimmt. Die Anderungsrate nimmt bis circa t 415 Die Zuflussrate bei Beobachtungsbagian beträgt circa 440 000 m²/Monat. Bis zu Beginn des vierten Monats steigt die Wassermange in dem Staubecken, da gft) >0 auf diesem Intervall ist. Die Zuflussrate nimmt bis t 4 aber kontinuierlich ab und beträgt zum Zeitpunkt t-4 Null. Die Wassermenge im Stausee war hier, bezogen auf eine gewisse Zeitspanne, madmal 8 7 S 3 1 16 S 21 AL 8 kontinuierlich ab, wo sie ihr Minimum erreicht, d.h. circa zu Beginn des 8. Monats ist die Änderungsrate minimal. Abt-11, also Beginn des 11. Monats, ist die Anderungsrate wieder positiv, d.h. die Wassermenge Im Stausee nimmt wieder zu. ----- N.B.: 8 (1)-0---0--- H.B.: g(t)=0 und g(t) 0→g¨(8) = 6,5> 0 ➜TP y-Wert berechnen: g()--36 Randwertüberprüfung: g(0)-44; g(12)-32 9 Die Änderungarate ist zu Beginn des 8 Monats minimal mit -380 000 m²/Monat a(t)de--48 Zum Zeitpunkt t-12 sind bezogen auf den Beobachtungsbegin to genau 480 000 m weniger Wasser im Steubecken, G--22+4*+C (3)-(3-(3-2 (+44-3+C-274,3125 C-1.80 ---2³ +44 +180 Awatz: G-220 De graphische Analyse mit den GTR Befortale folgenden Sebepunkte en intervall 012: +0,57 und -7,17 GRO)-180 <220→220 auf dem Intervall 0 0,97) G(3)-274,3125>22062 220 auf dem intervall (0,97; 7,17 GER)-190,67<220G) <220 auf dem Intervall (7,17; 12). Circa vom Beginn des ersten Monats hie aun S. Tag des 7. Monets war die Wassermenge gröer als 2 200 000 m². 12-0 G(t)dt = 211,2 Die mittlere Wassermenge Im Stausee im betrachtetan Zaltraum betrug 2 112 000 m² Der Grenzwert der Funktion für x beträgt, Dies würde bedeuten, dass die Wassermenge Im Staubecken auch gegen streben würde, da für t > 11 gilt: g(t) >0. Aus diesem Grund ist die Funktion nicht geeignet, die Wassermenge Im Staubecken für große t zu modellieren. Summe Aufgabe S Gesamtpunktzahl,Tell mit GTR" 4 A N J 3 2 70 . 4 26 Summe ,,Hilfsmittelfreier Teil" Summe ,,Hilfsmittelfreier Teil" Ordnungspunkte Gesamtpunktzahl Die Klausur wird abschließend mit der Note: sehr gut Essen, den 28.08.2021 Note Punkte % Noten Erreichte Punktzahl in Prozent Note Punkte % minus 1+ 15 100-95 3- 7 59-55 1 14 94-90 4+ 6 54 - 50 1- 13 89-85 4 5 49-45 2+ 12 84-80 4- 4 44-40 13 P. Hagenah P. Hagenah 2 11 79-75 5+ 3 39-33 Punkte) bewertet. 2- 10 74-70 5 2 32-27 3+ 9 69-65 43 70 6 119 5- 1 26-20 3 8 64-60 6 0 < 20 48 86 6 140