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28. Dez. 2025
•
Lisa
@lisa_dgn
Integrale sind ein mächtiges Werkzeug, um aus der momentanen Änderungsrate... Mehr anzeigen
Das bestimmte Integral ist im Grunde der orientierte Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse. Dabei zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ.
Die Schreibweise bedeutet: Berechne den orientierten Flächeninhalt von der unteren Grenze a bis zur oberen Grenze b. Das dx zeigt dir, dass du über die Variable x integrierst.
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung macht die Berechnung super einfach: . Dabei ist F eine Stammfunktion von f, also F'(x) = f(x). Du setzt einfach die obere Grenze in die Stammfunktion ein, ziehst das Ergebnis der unteren Grenze ab - fertig!
Merktipp: Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden. Für die Integralberechnung ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt.
Beispiel: . Die Stammfunktion von 4x³ ist x⁴. Also: .
Mit den Stammfunktionsregeln findest du schnell die richtige Stammfunktion. Die wichtigsten sind: Potenzregel $x^r \rightarrow \frac{1}{r+1}x^{r+1}$, Faktorregel (Konstanten bleiben erhalten) und Summenregel (getrennt ableiten).
Die Verbindung zwischen einer Funktion f und ihrer Stammfunktion F zeigt interessante Muster: Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von f werden zu Extremstellen von F. Extremstellen von f werden zu Wendestellen von F.
Ist f positiv, dann ist F streng monoton steigend. Ist f negativ, dann fällt F streng monoton. Das macht total Sinn: Positive Änderungsrate bedeutet Wachstum, negative bedeutet Abnahme.
Visualisierung hilft: Skizziere beide Graphen nebeneinander. Du wirst die Zusammenhänge zwischen den besonderen Stellen sofort erkennen.
Beim Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse musst du aufpassen: Das Integral kann negativ werden! Deshalb gehst du schrittweise vor: Erst die Nullstellen finden, dann über die Teilintervalle integrieren, schließlich die Beträge addieren.
Für Flächen zwischen zwei Graphen f und g gilt: . Wenn f(x) ≥ g(x) im ganzen Intervall ist, kannst du die Betragsstriche weglassen.
Das Vorgehen ist immer gleich: Schnittstellen der beiden Funktionen bestimmen, das Integral von berechnen, dann den Betrag nehmen. Liegt eine Funktion durchgehend über der anderen, sparst du dir die Betragsbildung.
Praxistipp: Skizziere immer beide Funktionen. So siehst du sofort, welche oben liegt und ob sich das im Intervall ändert.
Beispiel: Für f(x) = x² - 2x im Intervall findest du die Nullstellen bei x = 0 und x = 2. Dann berechnest du drei Teilintegrale und addierst deren Beträge.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lisa
@lisa_dgn
Integrale sind ein mächtiges Werkzeug, um aus der momentanen Änderungsrate einer Größe die Gesamtänderung zu rekonstruieren. Du kennst das Prinzip bereits: Wenn du die Geschwindigkeit eines Autos kennst, kannst du die zurückgelegte Strecke berechnen. Genau das macht die Integralrechnung -... Mehr anzeigen
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Das bestimmte Integral ist im Grunde der orientierte Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse. Dabei zählen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ.
Die Schreibweise bedeutet: Berechne den orientierten Flächeninhalt von der unteren Grenze a bis zur oberen Grenze b. Das dx zeigt dir, dass du über die Variable x integrierst.
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung macht die Berechnung super einfach: . Dabei ist F eine Stammfunktion von f, also F'(x) = f(x). Du setzt einfach die obere Grenze in die Stammfunktion ein, ziehst das Ergebnis der unteren Grenze ab - fertig!
Merktipp: Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden. Für die Integralberechnung ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt.
Beispiel: . Die Stammfunktion von 4x³ ist x⁴. Also: .
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Die Verbindung zwischen einer Funktion f und ihrer Stammfunktion F zeigt interessante Muster: Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von f werden zu Extremstellen von F. Extremstellen von f werden zu Wendestellen von F.
Ist f positiv, dann ist F streng monoton steigend. Ist f negativ, dann fällt F streng monoton. Das macht total Sinn: Positive Änderungsrate bedeutet Wachstum, negative bedeutet Abnahme.
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Beim Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse musst du aufpassen: Das Integral kann negativ werden! Deshalb gehst du schrittweise vor: Erst die Nullstellen finden, dann über die Teilintervalle integrieren, schließlich die Beträge addieren.
Für Flächen zwischen zwei Graphen f und g gilt: . Wenn f(x) ≥ g(x) im ganzen Intervall ist, kannst du die Betragsstriche weglassen.
Das Vorgehen ist immer gleich: Schnittstellen der beiden Funktionen bestimmen, das Integral von berechnen, dann den Betrag nehmen. Liegt eine Funktion durchgehend über der anderen, sparst du dir die Betragsbildung.
Praxistipp: Skizziere immer beide Funktionen. So siehst du sofort, welche oben liegt und ob sich das im Intervall ändert.
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Erfahren Sie alles über Integrale und Stammfunktionen in der Integralrechnung. Dieser Überblick behandelt die Berechnung von Flächeninhalten und Rauminhalten, die Rekonstruktion von Größen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit den Grundlagen der Integralrechnung und den Regeln der Integration vertraut machen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächen zwischen Graphen, der Integration mit Nullstellen und der Volumenberechnung von Rotationskörpern. Zudem werden die Integrationsregeln und die Bedeutung uneigentlich Integrale erläutert. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung: Berechnung von Integralen, Stammfunktionen, Ober- und Untersummen, Schnittflächen zwischen Graphen, Mittelwert und uneigentlichen Integralen. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis der Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Mathematik, einschließlich Umrechnungen, Brüche, Geometrie, Zinsrechnung, Wurzelgesetze und binomische Formeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele, um Ihr Verständnis zu vertiefen. Ideal für Schüler und Studierende, die ihre mathematischen Fähigkeiten verbessern möchten.
MatheErfahren Sie, wie man die Fläche zwischen Funktionsgraphen mit Integralen berechnet. Diese Anleitung umfasst die Schritte zur Bestimmung der Schnittpunkte, die Ableitung der Funktionen und die Anwendung des Integrals zur Flächenberechnung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Anwendungsaufgaben beschäftigen.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Rechenregeln der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter Graphen und der Bestimmung von Stammfunktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den Regeln der Integration, dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Flächenbilanz zwischen Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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