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Mathe
3. Dez. 2025
530
4 Seiten
My study notes @my.study.notes
Integralrechnung ermöglicht es dir, Flächeninhalte und Volumina zu berechnen – Fähigkeiten, die du für Klausuren und das Abitur... Mehr anzeigen
Das Integral ist der Grenzwert von Rechteckssummen – je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis. Du schreibst es als ∫ f(x) dx, wobei a und b die Integrationsgrenzen sind.
Der Hauptsatz der Integralrechnung macht dein Leben viel einfacher Statt mühsam Grenzwerte zu berechnen, suchst du einfach eine Stammfunktion F und rechnest F(b) - F(a). Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder deine ursprüngliche Funktion ergibt.
Klausurtipp Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante – für Integrale ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt!
Alle Stammfunktionen einer Funktion f haben die Form F(x) + c, wobei c eine beliebige Konstante ist. Das macht die Berechnung bestimmter Integrale so praktisch.
Die wichtigsten Aufleitungsregeln solltest du auswendig können x^n wird zu x^/, sin(x) wird zu -cos(x), und e^x bleibt e^x. Diese Regeln helfen dir bei fast allen Aufgaben.
Bei der Rekonstruktion von Größen berechnest du orientierte Flächeninhalte. Flächen oberhalb der x-Achse zählst du positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig für Bewegungsaufgaben, wo Geschwindigkeit zu Weg wird.
Komplexere Funktionen wie ^n oder e^ haben spezielle Formeln – hier musst du durch den Faktor a teilen, weil die Kettenregel beim Ableiten einen zusätzlichen Faktor bringt.
Praxistipp Bei zusammengesetzten Funktionen immer an die Kettenregel denken – sie wirkt auch bei Stammfunktionen!
Für trigonometrische und Exponentialfunktionen gelten ähnliche Anpassungen, wenn sie in der Form f auftreten.
Rotationskörper entstehen, wenn du eine Fläche unter einem Funktionsgraphen um die x-Achse rotieren lässt – stell dir vor, du drehst die Fläche wie einen Kreisel. Das Volumen berechnest du mit der Formel V = π ∫ (f(x))² dx.
Das Konzept funktioniert genauso wie bei Flächenberechnungen, nur dass du hier das Quadrat der Funktion verwendest. Der Faktor π kommt daher, dass bei der Rotation Kreisscheiben entstehen.
Merktipp Bei Rotationskörpern immer f(x) quadrieren und π nicht vergessen!
Diese Methode ist besonders nützlich für Körper wie Kegel, Kugeln oder komplexere Formen, die durch Funktionen beschrieben werden.
Bei Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen rechnest du ∫ dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist. Das funktioniert unabhängig davon, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn eine Funktion im Integrationsbereich Nullstellen hat, musst du die Fläche in Teilbereiche aufteilen. In jedem Teilbereich hat die Funktion ein konstantes Vorzeichen, und du addierst die Beträge der einzelnen Integrale.
Wichtig Bei Flächenberechnungen interessieren dich nur positive Werte – negative Integrale musst du mit Betrag nehmen!
Der Trick mit der Verschiebung um d Einheiten nach oben zeigt mathematisch, warum die Formel ∫ dx immer funktioniert. Die Verschiebung hebt sich beim Subtrahieren auf, der Flächeninhalt bleibt gleich.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich bestimmter und unbestimmter Integrale, Stammfunktionen, Produktsummen und der Flächeninhaltsfunktion. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung des Hauptsatzes der Integralrechnung und der Berechnung von Flächen zwischen Graphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecke Aufgaben zur Integralrechnung, zur Aufstellung und Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Differenzialrechnung. Lerne, wie man Extrempunkte bestimmt, Graphen interpretiert und Textaufgaben löst. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung: Berechnung von Integralen, Stammfunktionen, Ober- und Untersummen, Schnittflächen zwischen Graphen, Mittelwert und uneigentlichen Integralen. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis der Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Rechenregeln der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter Graphen und der Bestimmung von Stammfunktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den Regeln der Integration, dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Flächenbilanz zwischen Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen mithilfe bestimmter Integrale. Sie umfasst die Bestimmung der Schnittpunkte, die Berechnung der Nullstellen und die Anwendung von Integralen zur Flächenbestimmung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenberechnung beschäftigen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, die Eigenschaften bestimmter Integrale, die Berechnung von Flächen zwischen Kurven und die Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Mathematikstudierende, die sich auf Klausuren vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Integralrechnung ermöglicht es dir, Flächeninhalte und Volumina zu berechnen – Fähigkeiten, die du für Klausuren und das Abitur brauchst. Die wichtigsten Konzepte sind Stammfunktionen, der Hauptsatz der Integralrechnung und die praktische Anwendung bei Rotationskörpern.
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Das Integral ist der Grenzwert von Rechteckssummen – je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis. Du schreibst es als ∫ f(x) dx, wobei a und b die Integrationsgrenzen sind.
Der Hauptsatz der Integralrechnung macht dein Leben viel einfacher: Statt mühsam Grenzwerte zu berechnen, suchst du einfach eine Stammfunktion F und rechnest F(b) - F(a). Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder deine ursprüngliche Funktion ergibt.
Klausurtipp: Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante – für Integrale ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt!
Alle Stammfunktionen einer Funktion f haben die Form F(x) + c, wobei c eine beliebige Konstante ist. Das macht die Berechnung bestimmter Integrale so praktisch.
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Die wichtigsten Aufleitungsregeln solltest du auswendig können: x^n wird zu x^/, sin(x) wird zu -cos(x), und e^x bleibt e^x. Diese Regeln helfen dir bei fast allen Aufgaben.
Bei der Rekonstruktion von Größen berechnest du orientierte Flächeninhalte. Flächen oberhalb der x-Achse zählst du positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig für Bewegungsaufgaben, wo Geschwindigkeit zu Weg wird.
Komplexere Funktionen wie ^n oder e^ haben spezielle Formeln – hier musst du durch den Faktor a teilen, weil die Kettenregel beim Ableiten einen zusätzlichen Faktor bringt.
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Rotationskörper entstehen, wenn du eine Fläche unter einem Funktionsgraphen um die x-Achse rotieren lässt – stell dir vor, du drehst die Fläche wie einen Kreisel. Das Volumen berechnest du mit der Formel V = π ∫ (f(x))² dx.
Das Konzept funktioniert genauso wie bei Flächenberechnungen, nur dass du hier das Quadrat der Funktion verwendest. Der Faktor π kommt daher, dass bei der Rotation Kreisscheiben entstehen.
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Bei Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen rechnest du ∫ dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist. Das funktioniert unabhängig davon, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn eine Funktion im Integrationsbereich Nullstellen hat, musst du die Fläche in Teilbereiche aufteilen. In jedem Teilbereich hat die Funktion ein konstantes Vorzeichen, und du addierst die Beträge der einzelnen Integrale.
Wichtig: Bei Flächenberechnungen interessieren dich nur positive Werte – negative Integrale musst du mit Betrag nehmen!
Der Trick mit der Verschiebung um d Einheiten nach oben zeigt mathematisch, warum die Formel ∫ dx immer funktioniert. Die Verschiebung hebt sich beim Subtrahieren auf, der Flächeninhalt bleibt gleich.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich bestimmter und unbestimmter Integrale, Stammfunktionen, Produktsummen und der Flächeninhaltsfunktion. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung des Hauptsatzes der Integralrechnung und der Berechnung von Flächen zwischen Graphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecke Aufgaben zur Integralrechnung, zur Aufstellung und Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Differenzialrechnung. Lerne, wie man Extrempunkte bestimmt, Graphen interpretiert und Textaufgaben löst. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung: Berechnung von Integralen, Stammfunktionen, Ober- und Untersummen, Schnittflächen zwischen Graphen, Mittelwert und uneigentlichen Integralen. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis der Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Rechenregeln der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter Graphen und der Bestimmung von Stammfunktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den Regeln der Integration, dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Flächenbilanz zwischen Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen mithilfe bestimmter Integrale. Sie umfasst die Bestimmung der Schnittpunkte, die Berechnung der Nullstellen und die Anwendung von Integralen zur Flächenbestimmung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenberechnung beschäftigen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, die Eigenschaften bestimmter Integrale, die Berechnung von Flächen zwischen Kurven und die Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Mathematikstudierende, die sich auf Klausuren vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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