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3. Feb. 2026
•
My study notes
@my.study.notes
Integralrechnung ermöglicht es dir, Flächeninhalte und Volumina zu berechnen –... Mehr anzeigen
Das Integral ist der Grenzwert von Rechteckssummen – je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis. Du schreibst es als ∫[a,b] f(x) dx, wobei a und b die Integrationsgrenzen sind.
Der Hauptsatz der Integralrechnung macht dein Leben viel einfacher: Statt mühsam Grenzwerte zu berechnen, suchst du einfach eine Stammfunktion F und rechnest F(b) - F(a). Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder deine ursprüngliche Funktion ergibt.
Klausurtipp: Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante – für Integrale ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt!
Alle Stammfunktionen einer Funktion f haben die Form F(x) + c, wobei c eine beliebige Konstante ist. Das macht die Berechnung bestimmter Integrale so praktisch.
Die wichtigsten Aufleitungsregeln solltest du auswendig können: x^n wird zu x^/, sin(x) wird zu -cos(x), und e^x bleibt e^x. Diese Regeln helfen dir bei fast allen Aufgaben.
Bei der Rekonstruktion von Größen berechnest du orientierte Flächeninhalte. Flächen oberhalb der x-Achse zählst du positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig für Bewegungsaufgaben, wo Geschwindigkeit zu Weg wird.
Komplexere Funktionen wie ^n oder e^ haben spezielle Formeln – hier musst du durch den Faktor a teilen, weil die Kettenregel beim Ableiten einen zusätzlichen Faktor bringt.
Praxistipp: Bei zusammengesetzten Funktionen immer an die Kettenregel denken – sie wirkt auch bei Stammfunktionen!
Für trigonometrische und Exponentialfunktionen gelten ähnliche Anpassungen, wenn sie in der Form f auftreten.
Rotationskörper entstehen, wenn du eine Fläche unter einem Funktionsgraphen um die x-Achse rotieren lässt – stell dir vor, du drehst die Fläche wie einen Kreisel. Das Volumen berechnest du mit der Formel V = π ∫[a,b] (f(x))² dx.
Das Konzept funktioniert genauso wie bei Flächenberechnungen, nur dass du hier das Quadrat der Funktion verwendest. Der Faktor π kommt daher, dass bei der Rotation Kreisscheiben entstehen.
Merktipp: Bei Rotationskörpern immer f(x) quadrieren und π nicht vergessen!
Diese Methode ist besonders nützlich für Körper wie Kegel, Kugeln oder komplexere Formen, die durch Funktionen beschrieben werden.
Bei Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen rechnest du ∫[a,b] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist. Das funktioniert unabhängig davon, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn eine Funktion im Integrationsbereich Nullstellen hat, musst du die Fläche in Teilbereiche aufteilen. In jedem Teilbereich hat die Funktion ein konstantes Vorzeichen, und du addierst die Beträge der einzelnen Integrale.
Wichtig: Bei Flächenberechnungen interessieren dich nur positive Werte – negative Integrale musst du mit Betrag nehmen!
Der Trick mit der Verschiebung um d Einheiten nach oben zeigt mathematisch, warum die Formel ∫ dx immer funktioniert. Die Verschiebung hebt sich beim Subtrahieren auf, der Flächeninhalt bleibt gleich.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Integralrechnung ermöglicht es dir, Flächeninhalte und Volumina zu berechnen – Fähigkeiten, die du für Klausuren und das Abitur brauchst. Die wichtigsten Konzepte sind Stammfunktionen, der Hauptsatz der Integralrechnung und die praktische Anwendung bei Rotationskörpern.
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Das Integral ist der Grenzwert von Rechteckssummen – je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis. Du schreibst es als ∫[a,b] f(x) dx, wobei a und b die Integrationsgrenzen sind.
Der Hauptsatz der Integralrechnung macht dein Leben viel einfacher: Statt mühsam Grenzwerte zu berechnen, suchst du einfach eine Stammfunktion F und rechnest F(b) - F(a). Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder deine ursprüngliche Funktion ergibt.
Klausurtipp: Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante – für Integrale ist das egal, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt!
Alle Stammfunktionen einer Funktion f haben die Form F(x) + c, wobei c eine beliebige Konstante ist. Das macht die Berechnung bestimmter Integrale so praktisch.
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Die wichtigsten Aufleitungsregeln solltest du auswendig können: x^n wird zu x^/, sin(x) wird zu -cos(x), und e^x bleibt e^x. Diese Regeln helfen dir bei fast allen Aufgaben.
Bei der Rekonstruktion von Größen berechnest du orientierte Flächeninhalte. Flächen oberhalb der x-Achse zählst du positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig für Bewegungsaufgaben, wo Geschwindigkeit zu Weg wird.
Komplexere Funktionen wie ^n oder e^ haben spezielle Formeln – hier musst du durch den Faktor a teilen, weil die Kettenregel beim Ableiten einen zusätzlichen Faktor bringt.
Praxistipp: Bei zusammengesetzten Funktionen immer an die Kettenregel denken – sie wirkt auch bei Stammfunktionen!
Für trigonometrische und Exponentialfunktionen gelten ähnliche Anpassungen, wenn sie in der Form f auftreten.
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Rotationskörper entstehen, wenn du eine Fläche unter einem Funktionsgraphen um die x-Achse rotieren lässt – stell dir vor, du drehst die Fläche wie einen Kreisel. Das Volumen berechnest du mit der Formel V = π ∫[a,b] (f(x))² dx.
Das Konzept funktioniert genauso wie bei Flächenberechnungen, nur dass du hier das Quadrat der Funktion verwendest. Der Faktor π kommt daher, dass bei der Rotation Kreisscheiben entstehen.
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Diese Methode ist besonders nützlich für Körper wie Kegel, Kugeln oder komplexere Formen, die durch Funktionen beschrieben werden.
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Bei Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen rechnest du ∫[a,b] dx, wobei f(x) die obere und g(x) die untere Funktion ist. Das funktioniert unabhängig davon, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn eine Funktion im Integrationsbereich Nullstellen hat, musst du die Fläche in Teilbereiche aufteilen. In jedem Teilbereich hat die Funktion ein konstantes Vorzeichen, und du addierst die Beträge der einzelnen Integrale.
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Der Trick mit der Verschiebung um d Einheiten nach oben zeigt mathematisch, warum die Formel ∫ dx immer funktioniert. Die Verschiebung hebt sich beim Subtrahieren auf, der Flächeninhalt bleibt gleich.
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Entdecke Aufgaben zur Integralrechnung, zur Aufstellung und Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Differenzialrechnung. Lerne, wie man Extrempunkte bestimmt, Graphen interpretiert und Textaufgaben löst. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie den Flächeninhalt A zwischen der Funktion f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0:1] mithilfe von Ober- und Untersummen bestimmen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Annäherung des Integrals durch Rechtecksflächen und die Bedeutung der Grenzwertbetrachtung. Ideal für Studierende der Integralrechnung und zur Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Rechenregeln der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter Graphen und der Bestimmung von Stammfunktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den Regeln der Integration, dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Flächenbilanz zwischen Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächen zwischen Graphen, der Integration mit Nullstellen und der Volumenberechnung von Rotationskörpern. Zudem werden die Integrationsregeln und die Bedeutung uneigentlich Integrale erläutert. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, die Eigenschaften bestimmter Integrale, die Berechnung von Flächen zwischen Kurven und die Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Mathematikstudierende, die sich auf Klausuren vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen mithilfe bestimmter Integrale. Sie umfasst die Bestimmung der Schnittpunkte, die Berechnung der Nullstellen und die Anwendung von Integralen zur Flächenbestimmung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenberechnung beschäftigen.
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Basil
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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