Integralrechnung, Lineare Gleichungssysteme und Funktionen und ihre Graphen

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ƒ(3) > 0. Es gilt f(-1) > ƒ(6). mathematische -2 2x₁ + x₂ + 2x3 = 0 3x₁ + 2x₂x3 = 2 5x₁ + 3x2 + 2x3 = 3 st 2 0 2 Ansatz ( y-F(x). 2 muss / 4 VP) / 3 VP) Aufgabe 6: Bringe das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform und bestimme die Lösungsmenge. Aufgabe 7: ( / 7 VP) Bestimme die ganzrationale Funktion vom Grad drei, deren Graph Gf den Hochpunkt H(1/2) und den Wendepunkt W(0/1) enthält. Überprüfe im Anschluss, ob die hinreichenden Bedingungen der Punkte erfüllt sind. Aufgabe 8: / 6VP) Ein Tank enthält zu Beginn (t = 0) zwei Liter Benzin. Es wird nun Benzin zugefügt. Die Zuflussgeschwindigkeit (in Liter pro Sekunde) kann für 0 ≤ t ≤ 10 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t) = -0,03t3 + 0,3t² beschrieben werden. a) Berechne, wann die Zuflussgeschwindigkeit am größten ist. by Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Zuflussgeschwindigkeit am stärksten zunimmt. c) Berechne, wie viel Benzin innerhalb der fünf Sekunden nach Beginn des Füllvorgangs insgesamt in den Tank geflossen ist. d) Wie viel Benzin ist nach zehn Sekunden im Tank? 6 Viel Erfolg! Klausur N° 1 - Josephine Pellegrino TEIL A Ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: a) f(x) = (6x + 7) ³ (₁¹ (x) = = * = ²₁ (6x + 7) ³²1 = 12² (6x + 7) ² b) f(x) = (3x + 2) + (5x) ² f'(x) = =4 Aufgabe 2: a) ƒ² ±×²dx - [3²1ª - (²) - 0 - ³ 0 --1 (3x+2) · (Sx) = + (3x+2) ··(5x) ª__ f Aufgabe 3: a) Mac = (^+^|-2-2² - (3:²2) - (2²) o) ^ ( # - x) dx - [² - ²×²] ' - (2-3) - (- 2 − 2) =(-2,5) + 2,5-0 -2 -2 b) AB=10+2 => c) Skizze: D LC 1-2 124 BC = (^2 - ³ ) = (-2) -2-0 1-3 /4-1 CA = (-2+2 3 - 10 12-1 TABI=1BC1 +164 AB - BC #CA 7 B A(U1-212), B(21013), C(11-211) | ²+¹)= (1+1)=(2,51-211,5) H OD=0A + BC () () () + 2 Achtung N ABLE TABI - √²2² +2² +4²-315€ 15 = √√(-2)² IBCI= √(9* •(2}*•62)^² = 3 |CA) =√√ 3² + 0 ² + 1 ²³² = √ 10¹ Integriert, nicht abgeleitet ())-)-(-6) 1-3 2 2 = 4+2+ √54²= 1-4 1:2 1-21:3 => D (31-410) d) 2 Das 9 + ² = (2²) + + = (2). +. (3) <- *.+3) Richtum prekter! ⇒-2=-2 5+2+36 C r 2 3,5 1,5 uv Aufgabe 4² Küne : Xi ↓ 4 Bene 1 корт + Hühner: X₂ 2 Bene 1 Ropf T I X₁ + X₂ + x3 = 36 II UX₁ + 2x₂ + 4x3 = 120 Ziegen: x3 u Beine 1 кора Klausur N²2 - Josephine Pellegrino TEIL B = Oh Mit Hilfsmittel Aufgabe 5: a) falsch, denn F(x) hat im Intervall (-2;6] zwei mind-gens zwei Extremstellen bei x=-1 und x-5₁ vas heißt das fu Steing ť? b) falsch, olenn F(x) ist im Intervall [-1;1] (monoton fallend, weshalb der Graph von f I'm Intervall [1,1] unterhalb der x- Achse verläuft c) Da der Graph von F bei x-3 steng monoton fallend ist, verläuft f(3) unterhalb der x-Achse und ist somit negativ. F(3) lässt sich Wenn man ablesen und ist -3. n nun -3. mit einer negativen Zahl multipliziert. egal wie klein diese ist, so ist das Ergebnis immer positiv und größer als 0. Deshalb gilt: F(3) f(3) >0 = (-3) · f(3) 0 in Intervall [5;7] d) falsch, denn F() ist "streng monoton steigend, weshalb sich f(6) überhalb der x-Achse befindet und somit positiv ist. Währenddessen handelt es sich bei F(-1) um einen Hochpunkt und deshalb bei f(-1) um eine Nullstelle, somit ist gilt: f(6) > 0 #f(6) > f(-1) r Aufgabe 6: HAB 2x₁ + x₂ + 2x3 = 02-3-1 + 2.11 3x₁ + 2x₂ x3 = III 5x + 3x₂ + 2x3 = 3 I 2x1₁ Ta IIa + x₂ + 2x₂ = 0 X₂-8x3=U X₂6x₂ = 6 I 2x₁ + x₂ + 233 = 0 Ia X₂ - 8x3 = U IIIb 2x₂ = 2 2= {(-7, 12, 113 2-31 - 25. ) - Ia + Ha Ib IC: X3 = 1 1. IIc in II a einsetzen: X₂-8-1=U 1+8 x₂ = 12 r 2. Ic und IIb in I einseten: 2x₁ + 12+2·1=0 1-14 2x₁ 14 1:2 x = -7 27.05.2020 SI+2-1 r F sels schon (1) 3,5 3 2 7 Aufgabe 7: f(x) = 0x³²³ + bx² + cx +d_f²xx² C²(x) = 30x² + 2bx+c (x)=120x +26 f(1) = 2 I a. (1)³ + b⋅1² +c-1 +0 = 2 f(1) = 0 I 30.1² +2b-1+c (0) = 1 • (0) = 0 a·0³ + b⋅0² +c⋅0² +d= IV 12a-0 + 2b = I a II 30 Hätteans greicht Į IV + b +26 26 + C +C +d=2 =0 d = 1 -0 №a: b=0 1. Ib und III in I einsetzen: a + 0 + c + 1 = 2 1 - 1 a+c=11-c a=1-c Ia 2. I und Ia in II einsetzen: = 0 3. (1-c) + 2.0 + c 3-3c + c -01-3 -20 = -3 1= (-2) C = ²2²2 = 1,5 Ia Vz 3. Ia in I a einsetzen: a = 1-1,5 =0,5 16 = f(x) = 2 x ³² + 1²/²2 +1__f¹Gx) = ²³ x ² + ²/² f "(x) = 2x - 3x (f"(x)^ Ex -3x (r) Probe: f'(x)=0-> 0= ²³² × ² + ²³² HockPunkt = = (x²+1) → → f" (0) = 3·0=0=0 → kein HP 2 = {0₁5; 0; 1,5;1}} Satze vom Nullprodukt.: x₁=0 x² + 1 = 0 1-1 X²=-11"-" Probe Wendepunkt" f"(18) = 0 → 0 = √²³x3x1=3 O=x (tr) f(0) = 370 → Wendepunkt W(011) => hinreichenden Bedingungen des Wendepunktes) sind erfüllt, des Hochpunktes #(112) nicht. (7 Aufgabe 8: geg.= f(+) = = 0,03 +³ +0₁3t² i f(0) = 2; f(t) in 35; f(t) für 0≤4≤10 a) ges.: f(t) max f'(t) = -Q₁03t² + 0₁6€ p' (t)- 0 0 = (- 0,09)t² +0,6 t = 0,6€ (-0,15 + + 1) → Satz vorn Nullprodukt: t₁ = 0 -0,15+₁ + 1 = 0 1 - 1 f"(t) = -0,18 + + 0₁6 r f"(t) 0 ⇒ f (0) = -0,18.0 +0,6 = 0,6 >0 f (6,6)= -0,186,6 +0,6 = 1₁2+0,6--0,6 <0 ca. A: die Zuflussgeschwindigkeit ist nach etwas mehr als 6,5 Sekunden am größten r b)ges. f'(t) max f"(t)=00= -0,18 + + 0,6 r -0, 15t-1-1) 1: (0,15) ₂6₁6=2 n = d) 0₁6(-0,3+ +1)→ Satz vom Nullprodukt = t₁=0 -0,3+₁ +1=0 1-1 -93t₂ = -1 1: (-0,3) t₂33,3 f"(€)<0 f"(t) = EM (4) = -0,18 <0 → Hochankt vor depuild !! fot Hochpunkt A: Die Zuflussgeschwindigkeit nimmt nach ca. 3 Sekunden (und zu Beginn des Füllvorgangs) am stärksten tu C) c) $²0,00€" +0,3 €"d(+) = (-0,065565 + 12.51-6 7,8 [=0,0035 * + =(-4,6875 A: ca. 7,8 Liter sind innerhalb der fünf Sekunden insgesamt in den Tank geflossen. r 10 40 2 + √²-0,03+ ² + 0, 3+² 0(+) = 2 + [+0,0075+ " + 0,16 ²50° = 2 + (-75 + 100) - 0 = 2+25 = 27 A: 27 Liter Benzin sind nach zehn Sekunden im Tank. 3 6 тые