Integralrechnung

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der X-Achse. → negativ. Stammfunktion F(x). ableiten ist die Bezeichnung für die 2a. integrierende. Funktion f. Stamm funktion von gilt: F.'(x) = f(x) Endpunkt fcx) dx ↑. Startpunkt Y-Wert w Ableitung von F F(x) = f(x) Entferung. vou a nach b อ Lu -X-Achsen- Abschnitt f im. Intervall. I wenn (HDI) Berechnung eines bestimmten Integrals. BSP [²6] 4 x dx = [x² [fix) dx = [FC.] b a Stamm- funktion a) Grund funktion Vitit: b) Regeln f(x) F(x)/1/1/32 × ² 1 1/1/20 Funktion f Stamm- funktion F Merke!. ist F eine Stammfunktion van f., so ist auch jede Funktion. 6 mit eine Stammifunktion von f.. In einem Interval) 1 haben alle Stammfunktionen. von f.die Form. Fax. +c.. X Interpretation Orientierter. Flächeninhalt. im. Intervall [0, 2]. 1 x A x2 -1 r+ 2 x² Ableiten mit der Kettenregel 14. Bestimmen von Stammfunktionen. I 1X 3 x Potenzregel (r+ -1) aufleiten X²+1 e Ausnahme re-A also ((x)= F(x) = In 1x1 Grenzen sind bekannt Intervall [a, b] = F(₂) = F(0) ter²x² = 1) t F(b) - F(a). SINC) cos(x) -cos (1) Sin(x) fal= f'(x) = Faktorregel f(x) = c. g(x) F(x) = c. G(x) 24.0²=16 (2x + 3 2. 2 Summenregel f(x) = g(x) + h(x) F(x)=G(x) + H (x) 6 (x) = F(x) + .C; C.ER. ableiten ·Fax)s aufleiter faxie aufreizes. afli)) aufreiter 6f" w g ableiten ableith ableiter ( Lineare Substitution f(x) = g(mx + c) Bare Funktion F(x)=G(mx + c) F(₁) > 1/2₁· 33 · (2x+3) 9 auf leiten vong Aufleiten mit lineare Substitution c). Rechenregeln für Integrale. Faktorregel dx Summenregel ["(gw + hal) ok. [969 dr Shevon (ga) dx. (ga) dx -2 -1 6 Es. ist. F₁(x) = F₂ (²) + C. S….((x) dx = .F₂ (6) - €₁ (a). =(√₂ (b) + x) − (F₂(a) +c) = Ę₂ (b) = F₂ (a). 0 Bei Brüchen. auseinanderschreiben. 1- (. fcx) dx 0 Ist der Graph einer Funktion f gegeben, lassen sich zugehörige Stammfunktionen Fauch grafisch ermitteln. Dabei orientiert man sich wie beim grafischen Ableiten u.a. an charakteristischen Punkten des Graphen von f. -1+ Maximum- mit VZW von + nach - y - F(x) Monotonieverhalten von F Im Beispiel sind die Funktionswerte f(x) für alle x < -2 negativ. Also ist F für x < -2 streng monoton fallend. Für alle x>-2 gilt für die Funktionswerte f(x) > 0 außer an der einzelnen Stelle x₂ - 1; hier ist f(1) = 0. Die einzelne Stelle mit Steigung 0 ändert nichts am Monotoniever- halten von F. Für x>-2 ist F streng monoton steigend. 2 = m Ableitung der C.S" f(x) dx mit VZW von - nach + (innere) Extremstelle von F Minimum- S. Stamm funktionen und ihre Graphen. außeren Funktion -3 £2 -1 ohne VZW 3- 0 Sattelstelle von F y-f(x) Extremstellen von f Im Beispiel hat f bei x₂ - 1 und bei x3 = -1 jeweils eine Extremstelle. Deshalb hat F bei X₂-1 und x3 = -1 jeweils eine Wendestelle. Für die besonderen Stellen einer Funktion f (mit f(x) + c; c=R) und einer Stammfunktion F von f gelten folgende Zusammenhänge. Nullstelle von f 2 Nullstellen von f Im in Fig. 1 dargestellten Beispiel hat die Funk- tion f bei x₁-2 eine Nullstelle mit einem VZW (Vorzeichenwechsel) von - nach +. Also hat F bei x₁ = -2 ein Minimum (Fig. 2). Bei x₂-1 hat f eine Nullstelle ohne VZW. Also hat F dort eine Sattelstelle. Stammfunktio der Bußeren Funktion WAZ ZAWAZ (innere) Extremstelle von f ZAWAZ 346 Wendestelle von F Änderung des Krümmungsverhaltens des Graphen von F stelle a). Fläche zwischen dem A 2 VAZ [ A= $ f(x) dx b). Fläche zwischen zwei İZ f(x) dx obere stelle - =) (f(x)-g²x) dx •Differenz Strategie. • obere Funktion " • Strategie: Intervall [a,b]. . gibt es eine. Nullstelle, im. Intervall? Berechne die Integrale. über den Teilintervallen Addiere die. Teilflächen also die Beträge y = fax) yaga) រ gcx) untere " dx Graphen und. 6. Integral und Flächeninhalt Grafen untere Funktion " der. a a K f(x) dx orientierte Flächen- inhalt <0 x-Achse f(x) dx >0 ! A = b f(x) (f(x) - gcx)) dx y = f(x) Š 5° fear dr. + 15. gear dal gex) f(x) <o C! A= √ f(x) dx · [√° f(x) dx 1. + A₂