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23.3.2023
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12 A₁ -1. Flächenberechnung A₁ = 3 min A₂ = 12: 2 min = 2min 2 min = 61 : 1,5 min → A3. unterhalb (kontext Zufluss A₂ III Integralrechnung 2 min = 21. 3L 1. Rekonstruieren einer Größe → keine negative Flächen, nur Graph borch A3. Orientierter Flächen inhalt. A₁ und A₂. liegen überhalb der. x- Achse, also positiv. gewertet 1 (Kontext Zufluss +6 ! + 21 = +81. Rekonstruktion der Größe. Wie viel Wasser ist im. Tank? 15,1 +. 61 +21. - 31 =. 201 ↑ 24 Beginn Abfluss der x-Achse also negativ gewertet Abfluss - 31) die · Zuhatime. Abnahme im Kontekt gewertet Fläck X-Achse Fläck 1. Flächeninhalt berechnen Faber! Flächeninhalt ist immer positiv. deswegen дела das nicht 2. Orientierte Flächeninhal) Ergebnis Anderung momentanen aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt. Ist der Graph eine So kann man die Gesamtänderung der Größe rekonstruieren, indem man den orientierten Flacheninhalt Zwischen dem Graphen, der momentanen Änderungsrate. und der - Achse bestimmt. 7 Flächenintalt berechnen tim Sach- Kontext interpretiera Idemmit hamm Manden weiterrechn Anderungsrate der Größe eine Fläche ist immer positiv ( . Definition: Das bestimmte Integral von f über [a; b]. ist der orientierte Flächen inhalt, den der Graph von f mit der X-Achse zwischen der unteren Grenze a und der oberen Grenze b einschließt. 3. Der Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung. HD! Man Schreibt hierfür. f(x) dx.. Mathematiker Gottfried. Wilhelm Leibnitz 1640 -17 16 .S - Zeichen für Summe. dx. für Differenz zweier x-Werte also Breite der Rechtecke. Integrand Definition: Eine der . und *- Achse entspricht der Gesamländerung der Größe • Funktion. F ist eine Intervall 1. .Flächeninhalte oberhalb der X-Achse → Positiv f ist die Anderungsrate einer Größe F für die gilt. F'(x) = f(x). Bezeichnung: Fist eine Stam mfunktion von f im gesamten Flächeninhalte unterhalb...
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der X-Achse. → negativ. Stammfunktion F(x). ableiten ist die Bezeichnung für die 2a. integrierende. Funktion f. Stamm funktion von gilt: F.'(x) = f(x) Endpunkt fcx) dx ↑. Startpunkt Y-Wert w Ableitung von F F(x) = f(x) Entferung. vou a nach b อ Lu -X-Achsen- Abschnitt f im. Intervall. I wenn (HDI) Berechnung eines bestimmten Integrals. BSP [²6] 4 x dx = [x² [fix) dx = [FC.] b a Stamm- funktion a) Grund funktion Vitit: b) Regeln f(x) F(x)/1/1/32 × ² 1 1/1/20 Funktion f Stamm- funktion F Merke!. ist F eine Stammfunktion van f., so ist auch jede Funktion. 6 mit eine Stammifunktion von f.. In einem Interval) 1 haben alle Stammfunktionen. von f.die Form. Fax. +c.. X Interpretation Orientierter. Flächeninhalt. im. Intervall [0, 2]. 1 x A x2 -1 r+ 2 x² Ableiten mit der Kettenregel 14. Bestimmen von Stammfunktionen. I 1X 3 x Potenzregel (r+ -1) aufleiten X²+1 e Ausnahme re-A also ((x)= F(x) = In 1x1 Grenzen sind bekannt Intervall [a, b] = F(₂) = F(0) ter²x² = 1) t F(b) - F(a). SINC) cos(x) -cos (1) Sin(x) fal= f'(x) = Faktorregel f(x) = c. g(x) F(x) = c. G(x) 24.0²=16 (2x + 3 2. 2 Summenregel f(x) = g(x) + h(x) F(x)=G(x) + H (x) 6 (x) = F(x) + .C; C.ER. ableiten ·Fax)s aufleiter faxie aufreizes. afli)) aufreiter 6f" w g ableiten ableith ableiter ( Lineare Substitution f(x) = g(mx + c) Bare Funktion F(x)=G(mx + c) F(₁) > 1/2₁· 33 · (2x+3) 9 auf leiten vong Aufleiten mit lineare Substitution c). Rechenregeln für Integrale. Faktorregel dx Summenregel ["(gw + hal) ok. [969 dr Shevon (ga) dx. (ga) dx -2 -1 6 Es. ist. F₁(x) = F₂ (²) + C. S….((x) dx = .F₂ (6) - €₁ (a). =(√₂ (b) + x) − (F₂(a) +c) = Ę₂ (b) = F₂ (a). 0 Bei Brüchen. auseinanderschreiben. 1- (. fcx) dx 0 Ist der Graph einer Funktion f gegeben, lassen sich zugehörige Stammfunktionen Fauch grafisch ermitteln. Dabei orientiert man sich wie beim grafischen Ableiten u.a. an charakteristischen Punkten des Graphen von f. -1+ Maximum- mit VZW von + nach - y - F(x) Monotonieverhalten von F Im Beispiel sind die Funktionswerte f(x) für alle x < -2 negativ. Also ist F für x < -2 streng monoton fallend. Für alle x>-2 gilt für die Funktionswerte f(x) > 0 außer an der einzelnen Stelle x₂ - 1; hier ist f(1) = 0. Die einzelne Stelle mit Steigung 0 ändert nichts am Monotoniever- halten von F. Für x>-2 ist F streng monoton steigend. 2 = m Ableitung der C.S" f(x) dx mit VZW von - nach + (innere) Extremstelle von F Minimum- S. Stamm funktionen und ihre Graphen. außeren Funktion -3 £2 -1 ohne VZW 3- 0 Sattelstelle von F y-f(x) Extremstellen von f Im Beispiel hat f bei x₂ - 1 und bei x3 = -1 jeweils eine Extremstelle. Deshalb hat F bei X₂-1 und x3 = -1 jeweils eine Wendestelle. Für die besonderen Stellen einer Funktion f (mit f(x) + c; c=R) und einer Stammfunktion F von f gelten folgende Zusammenhänge. Nullstelle von f 2 Nullstellen von f Im in Fig. 1 dargestellten Beispiel hat die Funk- tion f bei x₁-2 eine Nullstelle mit einem VZW (Vorzeichenwechsel) von - nach +. Also hat F bei x₁ = -2 ein Minimum (Fig. 2). Bei x₂-1 hat f eine Nullstelle ohne VZW. Also hat F dort eine Sattelstelle. Stammfunktio der Bußeren Funktion WAZ ZAWAZ (innere) Extremstelle von f ZAWAZ 346 Wendestelle von F Änderung des Krümmungsverhaltens des Graphen von F stelle a). Fläche zwischen dem A 2 VAZ [ A= $ f(x) dx b). Fläche zwischen zwei İZ f(x) dx obere stelle - =) (f(x)-g²x) dx •Differenz Strategie. • obere Funktion " • Strategie: Intervall [a,b]. . gibt es eine. Nullstelle, im. Intervall? Berechne die Integrale. über den Teilintervallen Addiere die. Teilflächen also die Beträge y = fax) yaga) រ gcx) untere " dx Graphen und. 6. Integral und Flächeninhalt Grafen untere Funktion " der. a a K f(x) dx orientierte Flächen- inhalt <0 x-Achse f(x) dx >0 ! A = b f(x) (f(x) - gcx)) dx y = f(x) Š 5° fear dr. + 15. gear dal gex) f(x) <o C! A= √ f(x) dx · [√° f(x) dx 1. + A₂