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24. Jan. 2026
•
Sina 0302
@sina0302
In der Integralrechnung lernst du, wie man Flächen unter Kurven... Mehr anzeigen
![# Mathe Klausur
- Integralrechnung-
Ober-und Untersumme
BSP.: Gegeben ist die Funktion/x-1-
Skizziere den Graphen im Intervall [0,1] und](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FqkYijWHtKmPvVIgbhyjA_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Bei der Integralrechnung geht es um die Berechnung von Flächeninhalten unter Funktionsgraphen. Mit Ober- und Untersummen kannst du eine Fläche näherungsweise berechnen, indem du sie in Rechtecke zerlegst.
Die Untersumme verwendet dabei den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall, während die Obersumme den größten Funktionswert nutzt. Zum Beispiel erhält man für die Funktion f(x) = 1-x im Intervall [0,1] bei vier gleich großen Teilintervallen die Untersumme U₄ = 0,53 und die Obersumme O₄ = 0,78.
Die Stammfunktion F(x) ist der Gegenspieler zur Ableitung. Bei der Potenzregel gilt: f(x) = xⁿ → F(x) = xⁿ⁺¹/. Für komplexere Funktionen wie f(x) = 2x³ + 4x² - 5x + 1 wendest du die Summenregel an und berechnest jede Stammfunktion einzeln.
💡 Merkhilfe: Beim bestimmten Integral gilt: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a). Du bewertest die Stammfunktion einfach an den Grenzen und ziehst die Werte voneinander ab!
![# Mathe Klausur
- Integralrechnung-
Ober-und Untersumme
BSP.: Gegeben ist die Funktion/x-1-
Skizziere den Graphen im Intervall [0,1] und](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FqkYijWHtKmPvVIgbhyjA_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Die partielle Integration ist ein wichtiges Werkzeug, wenn du Integrale mit Produkten berechnen musst. Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten und funktioniert nach der Formel: ∫u(x)·v'(x)dx = u(x)·v(x) - ∫u'(x)·v(x)dx.
Praktische Beispiele hierzu sind Funktionen wie f(x) = x·e^x, wo du eine Variable als u(x) und die andere als v'(x) festlegst. Du erhältst dann ∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C.
Bei der Flächenberechnung unterscheidet man zwei wichtige Fälle: Die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet man mit ∫|f(x)|dx. Hierbei musst du aufpassen, ob die Funktion im betrachteten Intervall das Vorzeichen wechselt.
🔑 Wichtig: Für die Fläche zwischen zwei Funktionen musst du zuerst die Schnittpunkte berechnen! Dann bestimmst du, welche Funktion in welchem Intervall oben liegt und integrierst die Differenz: ∫dx.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Sina 0302
@sina0302
In der Integralrechnung lernst du, wie man Flächen unter Kurven berechnet und Stammfunktionen findet. Diese wichtigen Konzepte werden in der Mathematik ständig gebraucht und sind grundlegend für Anwendungen in Physik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen.
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Bei der Integralrechnung geht es um die Berechnung von Flächeninhalten unter Funktionsgraphen. Mit Ober- und Untersummen kannst du eine Fläche näherungsweise berechnen, indem du sie in Rechtecke zerlegst.
Die Untersumme verwendet dabei den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall, während die Obersumme den größten Funktionswert nutzt. Zum Beispiel erhält man für die Funktion f(x) = 1-x im Intervall [0,1] bei vier gleich großen Teilintervallen die Untersumme U₄ = 0,53 und die Obersumme O₄ = 0,78.
Die Stammfunktion F(x) ist der Gegenspieler zur Ableitung. Bei der Potenzregel gilt: f(x) = xⁿ → F(x) = xⁿ⁺¹/. Für komplexere Funktionen wie f(x) = 2x³ + 4x² - 5x + 1 wendest du die Summenregel an und berechnest jede Stammfunktion einzeln.
💡 Merkhilfe: Beim bestimmten Integral gilt: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a). Du bewertest die Stammfunktion einfach an den Grenzen und ziehst die Werte voneinander ab!
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Die partielle Integration ist ein wichtiges Werkzeug, wenn du Integrale mit Produkten berechnen musst. Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten und funktioniert nach der Formel: ∫u(x)·v'(x)dx = u(x)·v(x) - ∫u'(x)·v(x)dx.
Praktische Beispiele hierzu sind Funktionen wie f(x) = x·e^x, wo du eine Variable als u(x) und die andere als v'(x) festlegst. Du erhältst dann ∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C.
Bei der Flächenberechnung unterscheidet man zwei wichtige Fälle: Die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet man mit ∫|f(x)|dx. Hierbei musst du aufpassen, ob die Funktion im betrachteten Intervall das Vorzeichen wechselt.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Integrale, einschließlich unbestimmter und bestimmter Integrale sowie der Regeln der Integration. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das unbestimmte Integral, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und spezifische Integrationsregeln. Ideal für Schüler der 12. Klasse, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Stammfunktion, unbestimmten Integrale, Potenzregel, Summenregel, Faktorenregel und der linearen Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Regeln in der Differential- und Integralrechnung.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich des Hauptsatzes der Integralrechnung, der Flächenberechnung zwischen Graphen und der Mittelwertregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Integrationsregeln und deren Anwendungen in der Mathematik. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe GK Klausuren.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der Analysis für das Abitur 2024 mit diesem umfassenden Überblick über wichtige Konzepte wie Ableitungs- und Integrationsregeln, Kurvendiskussion, Exponential- und Potenzfunktionen sowie die Berechnung von Nullstellen und Extrempunkten. Ideal für Schüler, die sich auf die Prüfung vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheErforschen Sie die Streifenmethode des Archimedes und die Grundlagen der unbestimmten und bestimmten Integrale. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Integrationsregeln, wie die Summenregel, Faktorregel und Substitutionsregel, sowie Techniken zur Berechnung von Integralen. Ideal für Studierende der Analysis und Integralrechnung.
MatheErfahren Sie, wie man bestimmte Integrale berechnet und die Flächenbilanz zwischen Graphen und der x-Achse ermittelt. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integralrechnung, Stammfunktionen und deren Anwendung zur Bestimmung von Beständen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
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