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Mathe
18. Dez. 2025
521
3 Seiten
lea :) @lea_lqzi
Integrale sind ein wichtiges Werkzeug der Mathematik, um Flächen unter Kurven zu berechnen. Die Grundidee stammt von Archimedes'... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve wie f(x) = x² berechnen. Archimedes hatte eine geniale Idee Er teilte die Fläche in schmale Streifen auf und näherte sich so der exakten Lösung an.
Die Untersumme berechnest du, indem du Rechtecke verwendest, die alle unter der Kurve liegen. Die Obersumme hingegen nutzt Rechtecke, die teilweise über die Kurve hinausragen. Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung.
Das Coole daran Das arithmetische Mittel aus Ober- und Untersumme gibt dir schon eine ziemlich gute Näherung für die echte Fläche. Mit der allgemeinen Formel kannst du diese Berechnungen für beliebig viele Streifen durchführen.
Merke dir Die Breite jedes Streifens hängt vom gewählten Intervall und der Anzahl der Streifen ab!
Hier wird's richtig spannend Wenn du die Anzahl der Streifen gegen unendlich laufen lässt, verschmelzen Ober- und Untersumme zu einem exakten Wert. Das nennt man Grenzwertbildung.
Bei unbestimmten Integralen suchst du die Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x) – das ist das Gegenteil vom Ableiten. Wichtige Regeln sind die Summenregel, Faktorregel und Substitutionsregel.
Bestimmte Integrale haben konkrete Grenzen und berechnen die Fläche zwischen zwei x-Werten. Die Formel ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) ist dein wichtigstes Werkzeug.
Tipp Das bestimmte Integral kann auch negative Werte haben – das bedeutet, die Fläche liegt unterhalb der x-Achse!
Die Intervalladditivität zeigt dir, dass du große Intervalle in kleinere aufteilen kannst. Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich nur das Vorzeichen – super praktisch für Rechnungen!
Beim Anfangswertproblem suchst du eine spezielle Stammfunktion, die durch einen bestimmten Punkt verläuft. Du bildest zuerst die allgemeine Stammfunktion und bestimmst dann die Konstante C durch Einsetzen des gegebenen Punktes.
Die Produktregel und Kettenregel brauchst du, wenn komplexere Funktionen abgeleitet werden müssen. Diese Ableitungsregeln sind das Gegenstück zur Integration.
Erfolgsrezept Erst Stammfunktion bilden, dann Punkt einsetzen, danach C ausrechnen – so löst du jedes Anfangswertproblem!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Stammfunktion, unbestimmten Integrale, Potenzregel, Summenregel, Faktorenregel und der linearen Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Regeln in der Differential- und Integralrechnung.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Techniken der Integralrechnung, einschließlich Ober- und Untersummen, partielle Integration und Flächenberechnung zwischen Graphen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Stammfunktion und zur Berechnung bestimmter Integrale. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheVertiefte Lerninhalte zur Analysis, einschließlich Ableitungen, Integrale, Eigenschaften von Funktionen und deren Anwendungen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren und das Verständnis von Integralfunktionen, e-Funktionen und logarithmischen Ableitungen. Themen umfassen: Integrationsregeln, Flächeninhalte zwischen Graphen, und das Verhalten von Funktionen im Unendlichen.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der Analysis für das Abitur 2024 mit diesem umfassenden Überblick über wichtige Konzepte wie Ableitungs- und Integrationsregeln, Kurvendiskussion, Exponential- und Potenzfunktionen sowie die Berechnung von Nullstellen und Extrempunkten. Ideal für Schüler, die sich auf die Prüfung vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheStreifenmethode des Archimedes Exakte Bestimmung der Ober- und Untersumme Integralrechnung
MatheErfahren Sie, wie man bestimmte Integrale berechnet und die Flächenbilanz zwischen Graphen und der x-Achse ermittelt. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integralrechnung, Stammfunktionen und deren Anwendung zur Bestimmung von Beständen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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lea :)
@lea_lqzi
Integrale sind ein wichtiges Werkzeug der Mathematik, um Flächen unter Kurven zu berechnen. Die Grundidee stammt von Archimedes' Streifenmethode und ist heute ein zentrales Thema im Leistungskurs Mathe.
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve wie f(x) = x² berechnen. Archimedes hatte eine geniale Idee: Er teilte die Fläche in schmale Streifen auf und näherte sich so der exakten Lösung an.
Die Untersumme berechnest du, indem du Rechtecke verwendest, die alle unter der Kurve liegen. Die Obersumme hingegen nutzt Rechtecke, die teilweise über die Kurve hinausragen. Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung.
Das Coole daran: Das arithmetische Mittel aus Ober- und Untersumme gibt dir schon eine ziemlich gute Näherung für die echte Fläche. Mit der allgemeinen Formel kannst du diese Berechnungen für beliebig viele Streifen durchführen.
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Hier wird's richtig spannend: Wenn du die Anzahl der Streifen gegen unendlich laufen lässt, verschmelzen Ober- und Untersumme zu einem exakten Wert. Das nennt man Grenzwertbildung.
Bei unbestimmten Integralen suchst du die Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x) – das ist das Gegenteil vom Ableiten. Wichtige Regeln sind die Summenregel, Faktorregel und Substitutionsregel.
Bestimmte Integrale haben konkrete Grenzen und berechnen die Fläche zwischen zwei x-Werten. Die Formel ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) ist dein wichtigstes Werkzeug.
Tipp: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte haben – das bedeutet, die Fläche liegt unterhalb der x-Achse!
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Die Intervalladditivität zeigt dir, dass du große Intervalle in kleinere aufteilen kannst. Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich nur das Vorzeichen – super praktisch für Rechnungen!
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Die Produktregel und Kettenregel brauchst du, wenn komplexere Funktionen abgeleitet werden müssen. Diese Ableitungsregeln sind das Gegenstück zur Integration.
Erfolgsrezept: Erst Stammfunktion bilden, dann Punkt einsetzen, danach C ausrechnen – so löst du jedes Anfangswertproblem!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Stammfunktion, unbestimmten Integrale, Potenzregel, Summenregel, Faktorenregel und der linearen Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Regeln in der Differential- und Integralrechnung.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Techniken der Integralrechnung, einschließlich Ober- und Untersummen, partielle Integration und Flächenberechnung zwischen Graphen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Stammfunktion und zur Berechnung bestimmter Integrale. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheVertiefte Lerninhalte zur Analysis, einschließlich Ableitungen, Integrale, Eigenschaften von Funktionen und deren Anwendungen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren und das Verständnis von Integralfunktionen, e-Funktionen und logarithmischen Ableitungen. Themen umfassen: Integrationsregeln, Flächeninhalte zwischen Graphen, und das Verhalten von Funktionen im Unendlichen.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der Analysis für das Abitur 2024 mit diesem umfassenden Überblick über wichtige Konzepte wie Ableitungs- und Integrationsregeln, Kurvendiskussion, Exponential- und Potenzfunktionen sowie die Berechnung von Nullstellen und Extrempunkten. Ideal für Schüler, die sich auf die Prüfung vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheStreifenmethode des Archimedes Exakte Bestimmung der Ober- und Untersumme Integralrechnung
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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