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542
•
4. Feb. 2026
•
lea :)
@lea_lqzi
Integrale sind ein wichtiges Werkzeug der Mathematik, um Flächen unter... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve wie f(x) = x² berechnen. Archimedes hatte eine geniale Idee: Er teilte die Fläche in schmale Streifen auf und näherte sich so der exakten Lösung an.
Die Untersumme berechnest du, indem du Rechtecke verwendest, die alle unter der Kurve liegen. Die Obersumme hingegen nutzt Rechtecke, die teilweise über die Kurve hinausragen. Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung.
Das Coole daran: Das arithmetische Mittel aus Ober- und Untersumme gibt dir schon eine ziemlich gute Näherung für die echte Fläche. Mit der allgemeinen Formel kannst du diese Berechnungen für beliebig viele Streifen durchführen.
Merke dir: Die Breite jedes Streifens hängt vom gewählten Intervall und der Anzahl der Streifen ab!
Hier wird's richtig spannend: Wenn du die Anzahl der Streifen gegen unendlich laufen lässt, verschmelzen Ober- und Untersumme zu einem exakten Wert. Das nennt man Grenzwertbildung.
Bei unbestimmten Integralen suchst du die Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x) – das ist das Gegenteil vom Ableiten. Wichtige Regeln sind die Summenregel, Faktorregel und Substitutionsregel.
Bestimmte Integrale haben konkrete Grenzen und berechnen die Fläche zwischen zwei x-Werten. Die Formel ∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a) ist dein wichtigstes Werkzeug.
Tipp: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte haben – das bedeutet, die Fläche liegt unterhalb der x-Achse!
Die Intervalladditivität zeigt dir, dass du große Intervalle in kleinere aufteilen kannst. Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich nur das Vorzeichen – super praktisch für Rechnungen!
Beim Anfangswertproblem suchst du eine spezielle Stammfunktion, die durch einen bestimmten Punkt verläuft. Du bildest zuerst die allgemeine Stammfunktion und bestimmst dann die Konstante C durch Einsetzen des gegebenen Punktes.
Die Produktregel und Kettenregel brauchst du, wenn komplexere Funktionen abgeleitet werden müssen. Diese Ableitungsregeln sind das Gegenstück zur Integration.
Erfolgsrezept: Erst Stammfunktion bilden, dann Punkt einsetzen, danach C ausrechnen – so löst du jedes Anfangswertproblem!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
lea :)
@lea_lqzi
Integrale sind ein wichtiges Werkzeug der Mathematik, um Flächen unter Kurven zu berechnen. Die Grundidee stammt von Archimedes' Streifenmethode und ist heute ein zentrales Thema im Leistungskurs Mathe.
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve wie f(x) = x² berechnen. Archimedes hatte eine geniale Idee: Er teilte die Fläche in schmale Streifen auf und näherte sich so der exakten Lösung an.
Die Untersumme berechnest du, indem du Rechtecke verwendest, die alle unter der Kurve liegen. Die Obersumme hingegen nutzt Rechtecke, die teilweise über die Kurve hinausragen. Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung.
Das Coole daran: Das arithmetische Mittel aus Ober- und Untersumme gibt dir schon eine ziemlich gute Näherung für die echte Fläche. Mit der allgemeinen Formel kannst du diese Berechnungen für beliebig viele Streifen durchführen.
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Hier wird's richtig spannend: Wenn du die Anzahl der Streifen gegen unendlich laufen lässt, verschmelzen Ober- und Untersumme zu einem exakten Wert. Das nennt man Grenzwertbildung.
Bei unbestimmten Integralen suchst du die Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x) – das ist das Gegenteil vom Ableiten. Wichtige Regeln sind die Summenregel, Faktorregel und Substitutionsregel.
Bestimmte Integrale haben konkrete Grenzen und berechnen die Fläche zwischen zwei x-Werten. Die Formel ∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a) ist dein wichtigstes Werkzeug.
Tipp: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte haben – das bedeutet, die Fläche liegt unterhalb der x-Achse!
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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich der Stammfunktion, unbestimmten Integrale, Potenzregel, Summenregel, Faktorenregel und der linearen Kettenregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Regeln in der Differential- und Integralrechnung.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, einschließlich des Hauptsatzes der Integralrechnung, der Flächenberechnung zwischen Graphen und der Mittelwertregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Integrationsregeln und deren Anwendungen in der Mathematik. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe GK Klausuren.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integrale, einschließlich unbestimmter und bestimmter Integrale sowie der Regeln der Integration. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das unbestimmte Integral, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und spezifische Integrationsregeln. Ideal für Schüler der 12. Klasse, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Techniken der Integralrechnung, einschließlich Ober- und Untersummen, partielle Integration und Flächenberechnung zwischen Graphen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Stammfunktion und zur Berechnung bestimmter Integrale. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheErfahren Sie, wie man bestimmte Integrale berechnet und die Flächenbilanz zwischen Graphen und der x-Achse ermittelt. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integralrechnung, Stammfunktionen und deren Anwendung zur Bestimmung von Beständen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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