Unbestimmte Integrale: Einfach erklärt mit Beispielen und Aufgaben

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deinelernzettel

23.1.2021

Mathe

Integralrechnung

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Integralrechnung

Integrationsregeln

Unbestimmte Integrale: Einfach erklärt mit Beispielen und Aufgaben

Integral calculus is a fundamental concept in mathematics, encompassing both unbestimmte Integrale (indefinite integrals) and bestimmte Integrale (definite integrals). This summary covers key aspects of integration, including:

Definition and properties of indefinite and definite integrals
Rules for calculating integrals
Applications in area calculation
Techniques such as substitution and integration by parts

Key points:

Integration is the inverse operation of differentiation
Indefinite integrals represent a family of antiderivatives
Definite integrals calculate the area under a curve
Various rules and techniques simplify integration processes

23.1.2021

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INTEGRALRECHNUNG
Die Berechnung von Integralen nennt man integration.
Stammfunktionen und unbestimmte Integrate.
Wenn man die Stammfunktion

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Rules for Indefinite Integrals

This page covers essential rules for calculating unbestimmte Integrale $indefinite integrals$ . These rules form the foundation for more complex integration techniques.

Vocabulary:

Potenzregel $Power Rule$

Summenregel $Sum Rule$

Faktorregel $Constant Multiple Rule$

Sinus- und Cosinusregel $Sine and Cosine Rule$

Substitutionsregel $Substitution Rule$

Each rule is presented with its mathematical formulation and examples of its application. The power rule, for instance, is given as ∫x^n dx = $x^(n+1$ )/ $n+1$ + C for n ≠ -1.

Example: Using the power rule, ∫x² dx = $1/3$ x³ + C.

The page also introduces the substitution rule for more complex integrals involving composite functions. This rule is crucial for solving integrals that cannot be directly solved using basic rules.

Highlight: The substitution rule is particularly useful for integrals of the form ∫f $g(x$ )g' $x$ dx, where a change of variable simplifies the integration process.

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Definite Integrals

This page introduces the concept of bestimmte Integrale $definite integrals$ and their geometric interpretation as the area under a curve.

Definition: A definite integral is an integral with specified upper and lower limits of integration, representing a specific area under a curve.

The notation for definite integrals is presented as ∫ $a to b$ f $x$ dx = $F(x)$ ^b_a = F $b$ - F $a$ , where a and b are the lower and upper limits of integration, respectively.

Example: The definite integral ∫ $-1 to 2$ $x-2$ dx is calculated step-by-step, demonstrating how to apply the fundamental theorem of calculus.

The page also illustrates the concept of upper and lower sums, which are used to approximate the area under a curve before introducing the definite integral as the exact area.

Highlight: Definite integrals can represent both positive and negative areas, depending on the function and the interval of integration.

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Rules for Definite Integrals

This final page covers important rules and properties specific to bestimmte Integrale $definite integrals$ , enhancing the understanding of their behavior and calculation methods.

Key rules presented include:

Zero integral when upper and lower limits are the same
Interval additivity
Sign change when swapping integration limits
Constant multiple rule
Sum rule

Example: The interval additivity rule is demonstrated: ∫ $a to b$ f $x$ dx + ∫ $b to c$ f $x$ dx = ∫ $a to c$ f $x$ dx

These rules are crucial for simplifying complex definite integral calculations and understanding the properties of definite integrals.

Highlight: The sign change rule, ∫ $a to b$ f $x$ dx = -∫ $b to a$ f $x$ dx, is particularly useful when dealing with integrals where the limits need to be swapped.

The page concludes with practical examples applying these rules, reinforcing their application in solving definite integral problems.

Vocabulary: Intervalladditivität $Interval Additivity$ - A key property of definite integrals that allows breaking down integrals over larger intervals into sums of integrals over smaller intervals.

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Definition and properties of indefinite and definite integrals
Rules for calculating integrals
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This page covers essential rules for calculating unbestimmte Integrale $indefinite integrals$ . These rules form the foundation for more complex integration techniques.

Vocabulary:

Potenzregel $Power Rule$

Summenregel $Sum Rule$

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Sinus- und Cosinusregel $Sine and Cosine Rule$

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Each rule is presented with its mathematical formulation and examples of its application. The power rule, for instance, is given as ∫x^n dx = $x^(n+1$ )/ $n+1$ + C for n ≠ -1.

Example: Using the power rule, ∫x² dx = $1/3$ x³ + C.

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Definite Integrals

This page introduces the concept of bestimmte Integrale $definite integrals$ and their geometric interpretation as the area under a curve.

Definition: A definite integral is an integral with specified upper and lower limits of integration, representing a specific area under a curve.

The notation for definite integrals is presented as ∫ $a to b$ f $x$ dx = $F(x)$ ^b_a = F $b$ - F $a$ , where a and b are the lower and upper limits of integration, respectively.

Example: The definite integral ∫ $-1 to 2$ $x-2$ dx is calculated step-by-step, demonstrating how to apply the fundamental theorem of calculus.

The page also illustrates the concept of upper and lower sums, which are used to approximate the area under a curve before introducing the definite integral as the exact area.

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Key rules presented include:

Zero integral when upper and lower limits are the same
Interval additivity
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Example: The interval additivity rule is demonstrated: ∫ $a to b$ f $x$ dx + ∫ $b to c$ f $x$ dx = ∫ $a to c$ f $x$ dx

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Introduction to Integral Calculus

This page introduces the concept of integral calculus and its relationship to differentiation. It explains the fundamental idea of finding antiderivatives, also known as indefinite integrals.

Definition: Integration is the process of calculating integrals, which is the reverse operation of differentiation.

The page illustrates the connection between derivatives and antiderivatives, showing how integrating $or "anti-differentiating"$ a function leads to its antiderivative.

Example: For the function f $x$ = 2x, the antiderivative F $x$ = x² + C, where C is a constant.

The concept of unbestimmte Integrale $indefinite integrals$ is introduced, emphasizing that there are infinitely many antiderivatives for a given function, differing only by a constant.

Highlight: The notation for indefinite integrals is ∫f $x$ dx = F $x$ + C, where C is an arbitrary constant of integration.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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