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Integralrechnung
23.1.2021
28152
2012
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INTEGRALRECHNUNG Die Berechnung von Integralen nennt man integration. Stammfunktionen und unbestimmte Integrate. Wenn man die Stammfunktion einer Funktion sucht, muss man integrieren (autleiten"). Das ist die Umkehr operation zum Ableiten". U f"(x) = f'(x) = f(x) → F(x) 2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunktion Stammfunktion F'(x) = f(x) →leitet man die Stammfunktion ab, erhält man die Ausgangsfunktion zu einer Funktion fcx) gehören unendlich viele Stammfunktionen F(x) + C. (cist eine konstante Zahl) Bsp. f(x) = 2x → F(x)= x² F(x) = x² + 7 x² - 4 F(x). = Schreibweise: (f(x) dx = F(x) + C ; CER Stammfunktion unbestimmtes Integral Integrationsvariable Ein unbestimmtes Integral ist die menge aller Stammfunktionen einer Funktion. Rechenregeln für unbestimmte Integrale in +1 Potenzregel. Sx dx =* X' n +^ + C CEIR ; Summenregel: ((f(x) + g(x)) dx = ffuxidx +fg(x) dx = F(x) + 6(x) Faktorregel: Sa f(x) dx = a. Sfcx) dx = 0·F(x); a EIR Sinus-und Cosinusregel: Ssinx dx = -cos x + c S f(x) = x² Sx²dx = x Cos x dx = Sin x + C 2+1 2+1 (es gilt immer: C EIR) Beispiele: a bestimmen: 0=2 innere Funktion: g(x)=2x +1 → g² (x) = 2 dg =2 dx dx = 1/2 dg außere Funktion: f(g) = g² → einsetzen: S(2x + 1)²³dx=Sg². 1/2 dg + G integrieren √(x² + 3x) dx = Sx³²dx + ³x dx = 1/3 x ² + ² x ² + G S²x²³ dx = ² · 5x²³ dx = 2 · 33 x ³+ c = 3...
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x ³ + a ↑ Sin COS - Sin -cos Sin h (x) = (²x + 1)² = f(g(x)) = (2x + 1)² f(x) = 1x² = x 1/2 Sx² dx = x² +₁² +1 ableiten Substitutionsregel: flax+b) dx = 1.-F (ax+b); a, b&R, a‡0 Achtung, verkettete Funktion! a + G -X+C 1 = = 1/2 · Sg²dg » 1 · 1² g ³ + c = 4g +a 6 = 1 (2x + 1)²³ + G 6 bestimmte Integrale man spricht von einem bestimmten integral, wenn ein Integral Integrations grenzen besitzt. Ein bestimmtes Integral beschreibt einen Flächeninhalt, also kann man ein bestimmtes Integral berechnen und es ist ein Zahlenwert. ·obere Intervall grenze b Schreibweise: Sf(x) dx = [F(x)] = F(b) - F(a) a untere Intervallgrenze Ober summe Mit einem bestimmten Integral lässt sich die Fläche unter einem Graphen berechnen. a X # b -1 Intervall: [a, b] f(x) = x-2 2 [(x-2) dx = 7 (2) - 7 (-1) = [12 x ²-2×]² -1 Die Gesamtfläche verläuft nur unterhalb der x-Achse, daher ist die Gesamt fläche negativ. Untersumme -( 1²/22²-2-2) +(²126-13² - 2 - (-1)) F(b)=F(2) F(a)=F(1) = -2 A = - 12/1/20 7/ Rechenregeln für bestimmte Integrale Integral =0 Stimmen die obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0. a f(x) dx = 0 • Intervalladdivität nb Stordax + Stenax = Secvax f(x) f(x) dx f(x) Vorzeichenwechsel Vertauschung der Grenzen ändert das vorzeichen b "fox) dx = -ffcx b f(x) dx Faktorregel fe fcd dx = k. Samax f(x) f(x) dx a a a Summenregel "ftrldx +gwax = ftoax + Sgenax a a [૬] • 2. = 2. .43 2 Sex+3x0x + Siverax = f'le max dx 2 [4ײ+3×] + [4X²+3×] = [4ײ+3x] 19/2020 = 10 = 10 хах Beispiele: √²x = [x²] ₁1 1 = 1²-1² = 0 + 11 2 wla wla 10 1 2 √ x²dx = -f x²dx 2 (*) --B×1 7/3 =-(-3) -}/ √(x²+ 20 dx = x¹ax + √²x [3²*² + x²]² = [²]² + [ײ] ² 33 +3 3