Analysis

Alternativer Bildtext:

+ x D=R* f(x)=\n(x²) f(x)= x. In (x) D = R + Umkehrfunktion Atle) mit Kettenregel ableiten .eencat) Logarithmusgesetze en(u.v) = en(u) + en (v) en ( ² ) = en(u) -en (v) en (uk): = k· en (u) normale Funktion f(x) y umkehrfunktion f(y)-DX /ex 1097 (7x) = 1097 (13) X. 1097 (7) = 1097 (13) 1:(092(7) X 1097 (13) 1097 (7) }ist 1 umuehrfkt für f(x)= ex ist f(x) = in (x) ' = a*, weil e en(x) A(e 11) een sich rauskürzt Ableitung In-Funktion f(x)=en(x) ; XER+ mit Ketten- ID= R\ {0} (keine 0) nur pos. Zahlen f'(x) = + regel begründ bar an winkel halbierende gespiegelt Funktionsscharen f(x) = ax² a€R f(x)= ex. (ex-t) → ist Parameter; t>0 Nullstellen Funktionsschar : |a=-2 ft(x)=0 <=> e* (ex-t) = 0 <=> ex-t=0 <=> e² = + <=> x = ln(t) =>Nullstelle ist abhängig vom Parameter t y-Achsenabschnitt Symmetrie ft(0)= lº· (e°-t) = 1-t =7 Sy(011-t) |f(-x)=f(x) 4₂ LPAchsensym. Extrempunkte f(x)= e(e-t) +e*·e² = 2e²*-e².t f(-x) = -f(x) ₁₂ Lapunkt Sym. ft'(x)=0 L=72ex-ext =0 L=72e²=t <=76² = + <=> x = en (1) f(x) = ue²x ext f" (en (£)) = 4. een) en (#) en). " it = 4. £. - £. = 4+²-22-42² - 24² - 2+² = £²70 => TP (en ( ) |- ) = →> Extrempunkte sind abhängig vom Parameter t Globalverhalten lim (ex. (ex-t)) = +∞0 X-D+∞0 100 /Q=1 e 10 a=² e700 } b lim (ex (ex-t)) = 0 X-D-00 → unabhängig vom Parameter t 100 = 0,01 1000 = 0,001 gegen O Ortskurve - des Tiefpunkts TP (en (²)| - #1/2) - abhängig von t 1.Schritt: x-Koordinate vom TP umformen nach t x=en ( =) lec en (*) 1.2 e² = = /2 2et 2.Schritt: t einsetzen in y-koordinate des Tiefpunkts 2 (2e+)2 4 чегу 4 => TP liegt auf der Ortskurve y=-e²x y= -e²x == kurvenschar Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte --7X einer gegebenen Schar, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen in Kurvendiskussion- en werden naufig die Ortskurven von Extrempunkten und wendepunkten gesucht. ortskurve der TP Wendepunkte f₁" (x) = 0 L=7 4e²x-ext=0 ex(4e* -t)=0 et #0 4e²-t=01+t 4e² = +1:4 ex = len Ortskurve wp x=en(t) x=ln(t) le" xx f(x)=8e²x-e f₂" (en (#)) = 8. een ti. entientit -8. .-.t-² - #² = - +/- ₂0 für alle to WP (en ( ) |-71²6+²) 3 2 @y=-16 ・・(4ex) ² ex=&=> +=e* = - 1²/6 · 16e²¹ y=-3e²x Gemeinsame Punkte einer Schaar ft₁ (x) = ft₂(x) L=7 e²(e²=t₁)= e²(e²+₂) t₁ #t₂ e²-t₁ = ex-t₂ ausführliche Rechnung: e* (ext₁)= e(et₂) |-e* (ex-t₂) e* (e²-t₁)-e* (e-+₂) = 0 e* (ex-t₁-e* ++₂) =0 ex +0 Wendetangente 3.2 t₁ = t₂ = keine gemeinsamen Punkte e²-t₁-e²+t₂ = 0 -t₁+t₂ = 0 t₂ = t₁ => keine gemeinsamen Punkte 16 y=mx+b Pen(t) |- 76t²) mt=f₂' (en(t)) -- +² -t²-t².en()+6 1-6 -6²-b=-t² en (#) | + √²6+² 3 2 Itt, => widerspruch zu t₁ ‡t ₂ - b = -3².en(t) + ²/6 +² 1. (₁) b = ten(t)-² b=²(en (&)-²2) =7y=-t²x ++² (en (#) - ³) Tangentensteigung: mran = f'(x) Normalensteigung: - fi(x) mnor = bestimmtes Integral →liefert zanlenwert unbestimmtes Integral → liefert Funktion a Sfond Integrale b Aa Integral dient zur Berechnung von Flächeninhalten (in FE!) Bestimmtes Integral berechnet Fläche zwischen Graph & x-Achse Bezeichnungen ·b [ f(x) dx →„das Integral über f(x) im Intervall [a,b]" • mat. Zeichen für Integral ist S dx gibt die variable an, über die integriert wird • a und b heißen integrationsgrenzen (a: untere; b: obere) Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung b √°f(x) dx = [F(x)] = F(b) - F(a) Orientierte Flächen (Integral) }; Betragsflächen Laman möchte die Ge- samte Fläche ohne neg. G₁: A₁+ | A₂l+A3 •pos. & neg. Flächen möglich 42 Lp Gesamtänderung Zwischen den Grenzen neg. Integrale müssen pos. werden also Betrag Rechenregeln von Integralen obere Grenze= untere Grenze: f(x)dx=0 Additivitätseigenschaft: ${cx) dx + √√f(x) dx = f(x)dx Linearitätseigenschaft: √² [ f(x) = g(x)] = [tex]dx ± √(x) dx Umkehren der Grenzen: Stcx) dx = -√√(x)dx Faktor: [°c. f(x) dx = c. [ f(x)dx Monotonieeigenschaft: Für alle xe [a,b] gilt: f(x) = g(x) = S(x) dx = √g(x) dx Integralfunktion f(t)=1²-4t+3 F(t)= 3+³ - 2+¹²+ 3t Sf(t)dt = 3/ „SfCt]dt = [&t²³²- 2t³²+ 3+] = 3ײ³² 2ײ + 3×-0 7.3 = ³33x²³ - 2x² + 3x = 16(x) Ordnet einem beliebigen x-Wert den wert der orientierten Fläche (Integral) der Funktion f(x) von der unteren Integrations- grenze 0 bis zur oberen Integrationsgrenze x zu Stammfunktionen Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Flet. f auf einem Intervall I, wenn für alle XEI gilt: F'(x) = f(x) [+(x)dx= F(x) + ( mit CER LD ZU F kann man jede beliebige Zahl addieren und er- wieder eine Stammfunktion (konstante Zahl fällt beim Ableiten weg) Wichtige Stammfunktionen f(x) F(x) + C Sax ex en(x) sin(x) cos (x) kx ln (x) ett -x+x.en(x) -cos(x) sin (x) X Graphisches Aufleiten f(x) F(x) Nullstelle } HP / mit VZW TP. F(x)= (n (x) für x 20 F(x)= In(-x) für x ²0 Nullstelle ·Sattelpunkt onne VZW Extrem stelle } wendepict. HP + + H WP ТР IVE AVE fati ↓ 7x Potenzregel 1 f(x)= x² F(x) = Z+1 ··X Z+1 ;Z=-1 z.B₁ : f(x)=√x = x ²² F(x) = 1²/3₁ x 2²/2 f(x)= c.9(x) Z.B.: x) = 4x² La Potenz um 1 erhöhen alten Faktor durch neuen Exponenten teilen Summenregel f(x) = g(x) + n(x) Z.B.: f(x)= 3x² +5 Faktorregel F(x) = G(x) +H(x) 3 F(x)= x³ + 5x F(x)= C. G(X) 2 F(x) = 4.3x² verkettung hochzahl um 1 erhöhen→→ Klammer mit kehrwert von neuem Exponenten multiplizieren → Neutralisations- faktor (Ableitung Klammer) z.B. : f(x)=√3x = (3x)² →→F(x)= 7² · 3 · (3x)² f(x) = cos (2x-5) - F(X) = 1/2 · sin (2x-5) Lernzettel für Klausur nr. 4 Themen - Integralfunktion -Eingeschlossene Flächen - Rotationsvolumen - Unbegrenzte Flächen -Mittelwerte von Funktionen - Numerische Integration - Symmetrie - senkrechte und waagerechte Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen Sonstiges: -Polynomdivision - Gleichungssysteme - Graphen zuordnen - Funktionsscharen 157 161 165 168 170 173 186 188-194 S.213 überblick Integralfunktion I(X) heißt Integralfunktion I, (x) ordnet einem beliebigen x-Wert den Wert des Integrals beginnend bei 1 bis x zu I₁(x)= Š¤lt)dt = [ §¾+³² 2£²+ 3+]* = 3x²³- 2x² + 3x − (−2+3)= x²³- 2x² + 3x - 3 (f(t)dt = -√f(t)dt } deshar Allgemein: 1₂(x) = f(t)at deshalb kann I (X) nicht nur x20 haben gibt orientierten Flächeninhalt an BSP: In einem Behälter, aus dem Wasser ausläuft, sind zum Zeitpunkt t-5 min 6 Liter. Die Abflussrate wird durch a(t)=-beschrieben. Wie viel liter befinden sich zum zeit- punkt 10 min (2 min) in dem Behälter? I(x) = 6+√ act)dt = 6 + √(- ¼ )ªt = 6+ [-en(t)}}, = 6 + (-en(x)-(-en(s)) = 6-en(x) + en (5) = 6+en(s)-en(x) = 6 + en ( { ) 1(10) = 5,31 Liter I (2) = 6,92 Liter Integral und Flächeninhalt -eingeschlossene Flächen- Flächeninhalt kann nie negativ sein! A= {f(x) dx a A 9 b b A=- Šf(x) dx = | Šf(x) dx | a A= S f(x) dx - Sf(x) dx S S oder A= $f(x) dx + | Sf(x)dx | S Fläche zwischen zwei Graphen 9 A₁ hier ein Minus, da man normalerweise ja plus hier aber das Vorzeichen anders ist - 9 A= Sf(x) ax - Sgcx) dx = $(f(x)= g(x))dx a a a Wenn f(x) = g(x) auf [a; b] ist A₂ f(x)+d g(x) +d Beide Graphen um d nach oben ver- schieben Lybis vollstän- dig oberhalb Vorgehensweise: Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse in [a; b] 1. Nullstellen von f auf [a; 6] 2. • Welches Vorzeichen hat f(x) in den Teilintervallen? 3. Inhalte der Teilintervalle addieren Flächeninhalt zwischen 2 Graphen in [a; b] f(x)= g(x) für alle xe[a;b] dann: A={(f(x)-g(x))dx Alächen teilweise unterhalb und oberhalb der x-Achse 2 A= √₁ (x²2x]dx - √(x²- 2x]dx + H } (x²= 2 x ]dx = 3 + + 3 + 3 = 4 f(x)=x²2x C bei negativ kommt Betrag → Fläche zwischen 2 Graphen; Graphen schneiden sich nicht 3 3 gCx) f(x)= e =* = A= √ (g(x)-f(x)) dx = {(2^ e^^)dx f(x) g(x) = 2 = [ 2x + e^* ] ²³ = 6+e²³²³ (1)=5+e=³ 3 I[0;3] g(x) = f(x) → Fläche zwischen 2 Graphen; Graphen schneiden sich 1. Schnitt punkte a,b,c : f(x) = g(x) f(x) g(x) 2. [a, b] [bc] => Flächeninhalt einzelnd berechnen gilt f(x) zg(x) dann f(x)-g(x), sonst g(x)-f(x) 3. Summe der Integrale ergibt Ages Rotationsvolumen Fin Rotationskörper entsteht, wenn die von Graphen einer Funktion eingeschlossene Fläche im Intervall [a,b] um die x-Achse rotiert. b V=TT • Das Volumen beträgt: V = π• (f(x))²dx a in Volumeneinheiten Beispiel: Der Graph von f mit f(x)=√x²1' erzeugt bei Rotation um die x-Achse über [0;3] einen Rotationskörper 3 3 (1x²+1^²)² dx = πT² √(x²+1\dx = = 12TT Mittelwerte von Funktionen b m-b-a [fovidx a Beispiel: Ein Auto fährt für 0≤t ≤ 10 mit der Geschwindig keit v(t)= 36t. (20-t) (tin 5;vin m/s). →→ Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit ū ЛО V = 12-0 · √√(t) = 18 m/s oder: f(x)=4-x²; Mittelwert von, of auf [0;3] M = 3-0 (4-x²) dx = [ 4x² ² x ³ ] ³² = 1 Numerische Integration damit bestimmt man Näherungswerte (durch Rechtecks- summen Taschenrechner: -obere Grenze Σ f(x) dx untere Grenze Kontext: Bei Sachaufgaben wie mit den Produktions- kosten ist diese Methode genavel, da ja keine "halben" Maschinen hergestellt werden können Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale Intervall [4; 2 ] _A(2) = $(2) ∞ - [ - ² ] ² -를-(-2) =- 를 2 ==+2 Nach rechts unbegrenzte Fläche y = x² Nach oben unbegrenzte Fläche yer A=lim (-3/2+2) = 2 2-700 Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche ist 2. Intervall [7;3] A(Z) = . $( ²³ ) dx = [= ² ] ²₂ = -² -² (-1/2) - - 2 + 2 A= lim ( - ³/5 + 1²/13 ) = ∞kein endlicher Inhalt 2-10 Fläche, die nach oben unbegrenzt ist f(x)== // 270 2 A(z)= ( ( ²3 ) = [u√x ] ²2 = 4√2-472 ર A= lim (412-4√2)= 4√2 2-70 Ladie untersuchte Fläche hat den endlichen Inhalt 412 a wenn ein Integral der Form $f(x)dx oder Sf(x) dx einen Grenzwert für Z-P±00 hat, "so nennt man den Grenz- wert uneigentliches Integral. Es gibt den Inhalt der zugehörigen unbegrenzten Fläche an. Gebrochenrationale Funktionen -Definitionslücken und senkrechte Asymptoten- x² +1 Zähler X-2 D=R1{2} Nenner f(x)= Definitionslücke bestimmen: Nenner = 0 Lpf hat bei x=2 eine Definitionslücke, in der Umgebung dieser Stellen zeigen Graphen besonderes verhalten. verhalten der Funktion an seinen ID-Lücken: r-lim (x² +₂12) = 60 X²+1 l-lim (X²+1) X-2 X-42 = ·∞ X-2 ist die senkrechte Asymptote X=2 heißt Polstelle wenn der Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare 10-Lücke existiert, sind die Null- stellen des Nenners die ID-Lücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymp- tote genannt. Eine D-Lücke, in deren Nähe die Funktionswerte der Fict. gegen unendlich laufen, heißt Polstelle Peine gebr. rationale Flet besitzt an der Stelle to eine Polstelle wenn gilt: P(x) P(x) #0 Q(x) Q(x) =0 f(x)= Lp die Gerade x=x₂ ist die Senkrechte Asymptote andere Fälle wenn P(x.) nicht +0 ist : 1. Fall k(x)=x²-4 bei x=2 D-Lücke D=R1{2} für x=2 gilt sowohl x ²4 =0 als auch x-2=0 k(x)= (x-2)(x+2) (x-2) u. (k(x) = x+2 x²_4 2. Fall K(x) =(x-2)² bei x=2 D-Lücke D=R\{2} für x=2 gilt sowohl (x-2)²=0 als auch x²_4=0 (x-2)(x+2) x+2 k(x) = (x-2)² =x-2 => bei x=2 Polstelle Polstelle ohne VZW the Verhalten bei x=2 : e-lim f(x) = -0⁰ X-02 => Der Graph von k ist eine Gerade mit einer Lücke bei P(214). Bei x=2 D-licke aber keine Polstelle e-lim = 00 X-D1 übung: f(x) = 5. (x-1)² Polstelle mit VZW r-limf(x) = +∞o X-72 r-lim = ∞0 X-71 t 5. (x²=17² D=R\{₁} é »e to →Pastelle x=2 senk. ASY. VZW immer dann, wenn ·l-lim & r-lim gegen + und- oo gehen verhalten für ±∞0 und waagerechte Asymptoren man orientiert sich am Grad des Zählers und des Nenners 1. Fall f(x)=√x ZG < NG 2. Fall ZG = NG 2x+1 2.B. f(x)= 3x- 6 lim f(x)= 3/ X-Doo F waagerechte Asymptote bei y=0 = x(2+) 2+ & x(3+√ 1 = 3 + € für X#0 lim f(x1= 3/3 X-0-80 3. Fall ZG>NG x²-xx(x-1)/ X-1 f(x)=2x-1 x(2-1) 2- - Polynomdivision! (x²-x): (2x-1)= ½- 4 -(x²-1/2) höchste Potenz ausklammern + kürzen waagerechte Asymptote bei einem y wert #0 2x-1 X-4-4(2x-1) y = 3 (koeffizienten von *) höchste Potenz des Nenners ausklammern + kürzen lim f(x) = ∞0 X-700 * eim f(x)==∞0 X-V-00 schiefe Asymptote: y = ¼ - 4/1 ½ 1 -(-²+4) Lim (2x - 4 - ₁ x-4)= 1/2 x - 4 the X-7±00 04 Also das Verhalten einer gebrochenrationalen g(x2 Funktion f(x) = n(x) wird für x ±00 durch den ZG und NG bestimmt. Es gilt: wenn z≤n, strebt f(x) + 0; die x-Achse ist waag. As wenn z=n, strebt f(x)+c; die Gerade y=C ist waag. AS wenn zan, strebt f(x) →∞0 oder f(x)-00: Schiefe AS Beispiele schiefe Asymptote: f(x)= 7x²-x² + 2x 6 - 2x Lim f(x) = ∞ lim f(x)= ∞0 X-900 X-0-00 zin : x(7x²-x+2) x(-2) 186 (7x³_x²+ 2x); (−2×+6) = − ¾ x²10x − 31 + (−2x+6) -(7x²-21x²) O 20x² -(20x²-60x) 0 0 - 3x²+6× 62 X -(62x-186) O 186 f(x) = 3x¹ +6x = x²(3x²+ $ ) 3+ 3x² X-0±80 (3x+6x) (3x² + 3) = x²-1 -(3x² + 3x²) lim f(x) = -²2 x ²2-10×-31 ⇒y=-³x²10-31 = x² (3x²+) lim f(x) = 00 x² (2+3) x-080 7x²-x+2 -2 lim f(x)=00 X-7-00