Integralrechnung

Alternativer Bildtext:

der Differenziation; eine zuvor durchgeführte Ableitung einer Fkt kann durch eine anschließende "Auflei- tung" wieder rückgängig gemacht werden. PROBLEME BEI FLÄCHENINHALTEN: Ao (6)= 1·b·mb = 2.mb² ↑Y Intervall [ab] f mit der Aa (6) 3 LINEARE FUNKTIONEN F(X)=MX+N MIT M,N>0 Über dem Intervall [0i6] ergibt sich ein Trapez. Mittelparallele Höhe Intervall [Dib] лу Ao (b) D Ao(b) = c.b Aa (b)- Ao (b)-A₂ (a) = 1 mb ² - 1 ma² ·1·m. (6²-a²) Intervall [oib] Ao (b) a C TY y=fon A A Ao (6) = n. (mb+n) · b = (n + 1/2 mb). b = nb + 1mb² a Intervall [a,b] b Aa (b) b 0 Aa (b)= Ao(b)-Ao(a) = c⋅b-c·a = c. (b-a) 2 PROPORTIONALE FUNKTION F(X)=MX MIT M₂0 Über dem Intervall [0;b] ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck Grundseite Höhe y intervall [ab] Aa (6) 6 Aa (6) Ao(b)-Ao (a) = nb + · mb²-(na + £.ma²) FLACHENINHALTSPROBLEM BEI DER NORMAL PRARABEL Für die Normalparabel betrachten wir zunächst das Intervall [oi]. Gesucht ist die Flächenmaß zahl A6 (1) der Fläche unter der Parabel über dem Intervall [0,1]. Als erste Nährung wählen wir eine Unterteilung in n=5 gleich breile Streifen. Und später dann allgemein n Streifen gleicher Breite. Ty Untere Treppenfläche TY obere Treppenfl. @TY 1 1 0,8 0,6 qu 9,₂ FLÄCHENINHALTSPROBLEM BEI KRUMMLINIG BERANDETEN FLÄCHEN recht grobe Der Flächeninhalt lässt sich nun nicht mehr auf elementargeometrischem Weg berechnen. Die Grundidee zur Lösung dieses Problems bestand darin, die zu berechnende Fläche durch Teilflächen auszuschöpfen. Die Unterteilung liefert jedoch nur Abschätzungen. 0,2 014 = 96 0,8 Untersumme bei zerlegung in 5 Str. Streifenbreile: =(3² (0²+1²+2+3² +4²) =) ³² (0²+1²+2²+3² +4²) 323 = 0,24 a: b: X Y Streifenhöhe: Minimaler Funktionswert in jedem Teilintervall Us (A) (fo)+ f() + £ (²3) + f(³³) + ( 3 ) ) = (0¹²+ ()² + (3) ²¹+ (¹) ¹²+ (Y)*) P x+x2 A6 (6) Ao (b)= A (b)-Ao (o) 363-0 1 0,8 = 0,6 qu Die Unterteilung der Fläche in 5 Streifen gleicher Breite liefert eine ung. Die gesuchte Flächenmaßzahl liegt somit zwischen 0,24 und 0,44. UNTERE INTEGRATIONDGRENZE OBERE INTEGRATIONSGRENZE 9,2 VERALLGEMEINERUNG AUF INTERVALLE DER FORM [AB] Fläche über dem Intervall [0;b] 0,2 04 96 0,8 Os (1) 3 (F3)+(3) + f(3) + f( \ ) + f(1) (()*+ (3)² + ( ) + (+1) = (3)² (1²+2²+3² +4² +5²) =) ³² (1²42²43²¹+4²+5') 55 = 0,44 Bei der Integralschreibweise verwendet man. fox): INTEGRAND f: INTEGRANDENFUNKTION X: INTEGRANTIONSVARIABLE [ab]: INTEGRATIONSINTERVALL Obersumme bei terl. in 5 Streifen Untersumme bei Zerlegung in n Str. Streifenbreite: 36³ untere Grenze Verallgemeinerung •folgende Bezeichnungen: obere Grenze Sf(x) dx (1. A) ² (2.21² (3.22((-1)-4)2) 1-4 2-1 3-1 (n-11-21 ₁ integrand - grobe Abschätt. Für die gesuchte Zahl kann man vermuten: A₂ (1) = 33. Streifenhöhe: Minimaler Funktionswert in jedem Teilintervall U₁₂ (₁1-(A) ³² (0²+ 1² + 2² + ... + (n-1)²) - (A)³ Fläche über dem Intervall [ab] Y htegrationsvariable Die Abschätzun aus wird etwas verbessert, indem man die Anzahl der Streifen erhöhen. Man merkt, dass sich die Werte der Unter- und Obersummen immer mehr stabilisieren und sich einander annähern. →n-*+00 x+x2 (1.1/² R² //² Aa (b) 1.4 2.// 3. // (0-1) 1 -7x Aa (b)= A (b)-A. (a) -363-³ Obersumme 0₂ (₁)-(+)² (1²+2²+...+n²) = (A)³₁² DAS BESTIMMTE INTEGRAL Bei der Berechnung von Ober- und Untersummen können auch negative Grenzwerte auftreten. Dabei wird festgestellt, welcher Zusam- menhang zur Flächenmessung besteht. BEISPIELE FLÄCHE VOLLSTÄNDIG UNTERHALB DER X-ACHSE Betrachtet wird die Funktion fix-x über dem Intervall [0ib]. Als gemeinsamer Grenzwert der Unter- und Obersumme ergibt sich: Ao (b) limun (b)= lim on (b) = -4b² <0. 14 1.1 2.1 n. =b 11+00 na too Dieser gemeinsame Grenzwert ist hier jedoch eine negative Zahl und kann somit nicht als Flächenmaß gedeutet werden. Der Grund dafür ist, dass uber dem betrachteten Intervall die Funktionswerte und alle. Teilsummen negativ sind. elementare Berechnung: 1. Grundseite Höhe- 1b. (+b) = 46² FLACHE TEILWEISE OBER- UND UNTERHALB DER X-ACHSE Betrachtet wird die Fkt fix +32-x über dem Intervall [0;5]. Als gemeinsamer Grenzwert ergibt sich: Für die Maße der ・sich: 1·2·2=2 für A₁ und £.3.3 = 1/2 für A₂ Dreiecksfläche ergibt. Der gemeinsame Grenzwert von Unter- und Obersumme kann als Differenz gedeutet werden: A₂ (5)= 2 - 1 - - 2 In beiden Beispielen lässt sich der gemeinsame Grenzwert nicht direkt als Flächenmaß deuten. DIE FLÄCHEN UNTERHALB DER X-ACHSE BESITZEN EINE NEGATIVE UNTER- UND OBERSUMME INTEGRALBEGRIFF UND INTEGRIERBARKEIT Az Ал Ao (5) = limun (s) = lim On (5) = -5/<0 na too WAS IST ÜBERHAUPT EIN INTEGRAL? Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes eine Funktion liefert. Die Integralrechnung ist motiviert durch die Berechnung von Frächen inhalten, die eine Das bestimmte Integral berechnet nämlich die Fläche zwischen dem Graphen einer Fkt und der x-Achse. krummlinige Grenze haben. Y I ANI b Dabei wurden durch die Unter- und Obersumme die Maßzahlen der Teilflächen, die oberhalb der x-Achse Liegen, positiv. die unterhalb der x-Achse liegen, dagegen negativ gezählt. Besitzen die Untersummen Un und die Obersummen On für n=+∞ einen gemeinsamen Grenzwert, so nennt man ihn INTEGRAL. BESTIMMTES INTEGRAL UND INTEGRIERBARKEIT Es sei f:(a;b)-> IR eine Funktion. Wenn die Grenzwerte der Untersummen und der Obersummen bei äquidistanten Unterteilungen des Intervalls (a;b) für wachsendes n existieren und übereinstimmen, so bezeichnet man diesen gemeinsamen Grenzwert bestimmtes Integral der Funktion f in den Grenzen von a bis b. In Zeichen: lim U = lim 0 = f(x) dx Die Funktion f heißt in diesem Fall integrierbar über dem Intervall (a;b) BEISPIEL: unter Verwendung der Integralschreibweise gilt: •√x²dx = A₂ (6)-A₂ (a) = 36³-42³ Berechne das Integral: c) √x² dx - [x²] = -(6³-3³)- 94,5 LE² INTEGRIERBARKEIT STETIGER FUNKTIONEN Ist f:(a;b) -> IR stetig, so existiert das Integral 4x) dx XX² I a Flächenberechnung Wir greifen unser · Ausgangsproblem der Berechnung von Flächen unterhalb eines • Funktiongraphen wieder auf. In manchen Anwendungssituationen interessiert der Wert des Integrals nicht nur an einer einzigen, sondern an verschiedenen oberen Grenzen aus einem Intervall [ab] IN Es wäre sehr aufwendig, mehrere Integrale zu berechnen, die sich lediglich durch ihre obere Grenze unterscheiden. Wir betrachten stattdessen das Integral "Sf (tidt und variieren xe [ab] beliebig. Für die feste untere Grenze a entsteht so eine Funktion mit der Variablen x als obere Integrationsgrense INTEGRALFUNKTION Sei f: (a;b) -> IR eine Funktion, die für jedes xe (a;b) auf (a;x) integrierbar ist. Dann heißt die Funktion Sf (t)dx mit xe [ab] 12:1 Integralfunktion mit der unteren Grenze a zur Integrandenfunktion f. GEOMETRISCHE DEUTUNG DER FUNKTIONSWERTE DER INTEGRALFUNKTION b Es lassen sich unendlich viele Integralfunktionen bilden, indem man für die untere Intervallgrenze unterschiedliche Werte wählt. " Der Funktionsterm lack) dex Integralfunktion gibt die Summe der vorzeichenbehafteten Inhalte der Flächen zwischen dem Graphen der Integranden funktion f und der waagerechten Achse von der Stelle a bis x an. la (x)= Summe cler Inhalte der Fl. A₁ und Az oberhalb der waager. Achse -Summe der Inhalte der Fl A₂ und Au unterhallo A A© Gf 4Ⓒ 0₁ INTEGRALFUNKTIONEN ZU BISHER BETRACHTETEN FUNKTIONEN KONSTANTE FUNKTION F(X)=C BEISPIEL: D 1_cx= √faldt = cx 10(x)= 3 QUADRATISCHE FUNKTION F(X)=X² A DE X b 1₂²x₁= √fax)dt = x³ BEISPIEL: X Xx2 →x a) f(x) = ²/²/x => a) Bedeutung ом Bedeutung 14 0 O a A D la Cx₁= "SfCtidt= X I *Ssin (t)dt +² cx-ca X b Xx2 1o (x)= +x Flächeninhalt der gekennzeich. Fläche in Integralschreibweise + Wert bestimmen: (A)=₁³fcx) dx = [x²] ²³ - ² (9-1) = 6 LE² 6 • Jf(t)dt = { mx ² + nx lack) = f(t)dt = x²³-₁³ eine Stammfunktion zu f, d.h die Funktion ist differenzierter und es gilt Tácx)= ("Sfctldt)' = f(x) A DER HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Die Funktion f sei in einem Intervall (a;b) stetig. Dann ist die zugehörige Integralfunktion la : [ǝ; b] → R₁ x fetide Fkt: 1 [2]R, X→ von ·10 (27): 1₂ ( 1²/2² 11 ) = A₁ - A₂ (Flächen) b) l'(x)=sin(x)-sin (0) = sin(x) 16 (π) = sin (π) = -1 von 16 (E71) für den Graphen der Funktion lo: Steigung der Tangente of Y Der Hauptsatz ist eine fundamentale mathematische Aussage, denn er stellt eine Verbindung zwischen den zwei Gebieten der Analysis, der Differenzial- und der Integralrechnung her. A₁ P 2 PROPORTIONALE FUNKTION F(X)=MX+N 42 n H A 20 lacx) = faldt 1 = ( 2 mx ² +nx) - (ma² + na) X 1 an den Graphen von lo an der Stelle $77. Stammfunktion bilden FUNKTION F(x) O xn nx n-A X 2x x² 3x² √x √√x 습 -²3 -A √x In(x) Sin (x) Cos (x) sin(x)2 tan (x) Stammfunktionen Um die Stammfunktion einer Funktion zu bilden, muss man diese aufleten" Die Ausgangsfunktion ist somit die Ableitung der Stammfunktion. Um eine Funktion aufzuleiten, erhöht man den Exponenten und dividiert den Vorfaktor der Variablen durch den neuen Exponenten: X²+₁ X²+1 O ^ << h+1 Xh+^ 1x² x² 3x3 x3 33 x ² ++X^+^ 2√x XP <X In 1x1 -x+ X. In (x) -cos(x) Sin(x) STAMMFUNKTION F(X) -In (cos(x)) Wenn n-1 (n+1) 2. (x-sin(x) cos(x)) Ausführliche Beispiele 1. f(x) == /²x³² +1 F(x) = -₁ +1. Vereinfachen F(x) = -4 ²+1 | zusammenfassen 4 x3+A 3+1 Fox)=√x + Ax 4 Da es sich um ein Polynom handelt, Ikann man die I. Regel anwenden 2. f(x) 6. (1-2x)² Klammer auflösen F(x)= 6.0 fox) 6. (1-4x + 4x²) 6. die Klammer XOTA 0+1 f(x) = 6-24x+24x² I Regel anwenden |I X^+^ x2+1 -24 +242 +1 Fax)= 6-244² +24. F(x)= 6x-12x²+ 8x³ I vereinfachen zusammenfassen BEISPIEL (STAMMFUNKTION ZUR GRUNDFUNKTION): 4. xn+1 I. fcx)= x F(x)= ^+^ REGELN ZUR BESTIMMUNG II. fox)= ex F(x)= ex III. fcx) = sin(x) F(x) = -cos (x) IV. fox) = cos(x) →→→ F(x)=sin(x) V. fax)= = → In (x) 3. fcx)=1-cos summandenweise berechnen Fax) = 1.1 - sin (x) lausrechnen Fox- 1x-sin(x) _f(x) = 7/²2 | Funktion umschreiben con * fox)=2x-2 |I. Regel anwenden Fax) = 2.+2+1 F(x) = -2x^ vereinfachen Fox)= 2 zusammenfassen STAMMFUNKTION: Sei f:D-> IR eine Funktion. Eine Funktion F:D -> IR heißt Stammfunktion von f, wenn F differenzierter und F=f ist. a) FR R₁ x 4x4 1st eine Stammfunktion von f: R=R₁ x+> x3, denn F ist in IR differenzierbar und es • gilt: F'(x) = (4x4) = 1. (x4) ₁ = 1 · (4x³) = x³ = f(x) STAMMFUNKTIONEN BILDEN „Aufleiten" F(x) ableiten aufleiten f(x) Stammfunktion Funktion -COS Integralrechnung POTENZREGEL: Sxdx= ableiten dufleiten Sin -sin x+1+c Funktion: fR → R₁ x →→ 2x²+1 FAKTORREGEL: Sa fondre a Sfoxidyr ・foxidx= BEISPIEL: ³dx=3x²¹x4 √x dx = 4+₁ x 4+1 = SUMMENREGEL Sefe+gox) dx = ffondx + √guidx f'(x) cos Eine Stammfunktion: F: R-R₁x3x³+x Ableitung Integralschreibweise: √(2x² +11dx = ¾x³+x BEISPIEL: S(x²+x")dx= √x³dx + √x"dx= x + x³ Scax² + 4x³dx= √3x²cdx + √²₂x³dx = x² + x² = x ² aufleiten ableiten BEISPIELE fx-3x-4 BEISPIEL: 2cecxdx - 2 cos Cody-2. sin cxl dx = √4xdx = 4√xdx= 4²4x² = 2x² LINEARE VERKETTUNGSREGEL: (ax+ß)dx= · [F(ax+ß)] Für 3,6 e R. 340 BEISPIEL: Cos (2x) dx = [-sin (2x-7)]* F(x)= 1,5x² - 4x f(x)= 3x³-2x²+x-2 f(x)=x²-3x²³+x²–2x Im Intervall [a,b] (falls + keine Nullstellen im Intervall besitzt: f(x) = -cos(x) F(x) = sin(x) f(x)=√x= x= F(x) = x ² = ₁. [-sin (²27) + sin (-2)] = -(-(-1)-1) = 0 BEISPIEL MIT SCHREIBWEISE: f(x)= x² F(x)=x+1 f(x)=sin(x) F(x) = cos(x) f(x)= cos(x) F(x) = sin(x) f(x)= 3x² = ²/3x-² F(x) = -x-1 J²+0dB²+x+6²+6-2² a DAS BESTIMMTE INTEGRAL UMKEHRREGEL: fondifol dx ADDITIONSREGEL: falde + caide - I folde = fox)dx b) BEISPIEL MIT SCHREIBWEISE: Trans - $3-$ (³²-9 = ERKLÄRUNG: Zu berechnen ist das Integral der Funktion f(x)=x² Intervall [30] Im ersten Schritt muss man die Stammfunktion berechnen (Potenzregel anwenden). Dann berechnet man das Integral nach dem Schema F(b) - F(a), d.h man setzt in der eben berechneten Stammfunktion für x die obere Integrationsgrenze (hier 0) ein und zieht davon die Stammfunktion ab, die sich ergibt, wenn man für x die untere Integrationsgrenze (hier -3) einsetzt: F(b) - FG) = 3·0²³² - 3 - (-3) ³ = 9. BEISPIEL: ANWENDUNG DER LINEAREN VERKETTUNGSREGEL a) f(x)= (1-2x)³ F(x)=(1-2x) (-)--/ - (₁-2 × 1² Aufl. der außeren. Korrekturfaktor für die inave Abl f(x)=√x=(1-x) ² F(x)=(1-x) (-1) = - ²2/23 (₁-x) ² = -²/3 √(1-x)² ^y H BEISPIEL: f(x)= x³ £4. . Flächenberechnung FLÄCHE IN EINEM VORGEGEBENEN INTERVALL BERECHNEN: "fonickx • [Fox] = F(b)- F(a) WEITERE BEISPIELE: f(x) In vielen Anwendungssituationen ist es üblich, den orientierten Flächeninhalt unter der Randfunktion f für das gesamte Definitionsintervall [aib] zu berechnen. So ergibt sich: la (b) = f(t)dt = F(b) - Fra) → Bestimmtes Integral a) Jx*dx = [x] = (424) - (4:1²) (b) • Diese Integralform liefert ein Verfahren, mit dem man bestimmte Integrale berechnen kann, wenn eine Stamm- funktion bekannt ist. offcx dx = 3 -3,75 FE = Wert der Stammfunktion F an der oberen Grenze b 2. Wert der Stammfkt F an der unteren Grenze a fc-idx= [Fcx] = F(6) - Fco) minus Die Einheit LE¹ oder FE darf bei der Berechnung f(x)=2x² → F(x) = x³ √₁x²dx = [x³] ³² = ¹ [3³²-1³] = — - (27 − 1) = 17 $ LE ² f(x) = sin(x) - F(x) = -cos (x) Schritte Fox) bilden + Grenzen ₂F(b)- F(a) Grenz. einsetzen s Zusammenfassen 1. Vertauschen der Grenzen: _~Sain(x) = [-cos(x)] = [cos (x)]²+ - [cos (7) - cos (7)] - -[-₁-0] = 졸 INTEGRALE, BEI DENEN DIE UNTERE GRENZE GRÖBER ALS DIE OBERE GRENZE IST Bei allen Integralen, die wir bisher berechnet haben, war die untere Grenze kleiner als die Obere. Für manche Anwendungen ist es aber auch nützlich, den Begriff des bestimmten Integrals zur Verfigung zu haben, wenn diese Bedingung nicht mehr erfüllt ist. „Sfoxidx = F(b) = f(a) = -F(a) + F(b) = -(F(a) - F(b) = -√ foodx MÖGLICHKEITEN ZUR BERECHNUNG: von Flächen nicht fehlen! Direkte Anwendung der Integralform √xdx = [x³] = [x³] ₁4 [1³-25] - η (-31)- - ¹ = IA A _^~√x dx = -√x "dx = - [ 3²x³²]²₁ - - ¹·[x³] ^ ² -4 · [2³-1ª] = − 4 · 31 - - -43 ^ ABSCHNITTSWEISES INTEGRIEREN Gemäß der geometrischen Festlegung des Integrals als summe der orientierten Flächeninhalte der einzelnen Teil flächen ergibt sich aus der Abbildung. • Sfondy + Sfoxidx = √foxidx 1st feine BEISPIEL: I ^ A (9) · stetige Funktion, so existiert eine Stammfunktion f und es gilt: 2 "Sfondx + √fcx)dx= [Fox] + [Fox)] (6) 3 C f(x)= (x-1)² g(x)= x+1 2. Differenzfunktion 3. Stammfunktion F(x)- 6(x)= 3x³ 3x² = (F(b)-F(a)) + (Fcc) - F(b)) = Fcc) - F(a) Sfoxidx f(x) · g(x)=(x-1)²-(x+1)= x²-3x Die dargestellte Fische gehört zu der Randfkt f(x) = , wenn OS XS 2 2≤x≤4 μ (A1- | ³√(x-1)² - (x+1) dx u BEISPIEL: ૩. fox) = g(x1 Schnitipkte berechnen, Fk+ gleichs. fcxl=ga) fcx)- · g(x) = O (x-1)²(x+1) = 0 4. Flächenberechnung: ^. Die Integrallgrenzen in die Formel einsetzen: M(A)= √fen-goxidx Obere-untere Betrogsstriche M (A) = √ √(x²-3x) dx | | M (A)= | [ 3 x ²³ - 22 x ²] || M(A)= |(33³-32-3²)-0|= 4₁5 FE x²2x+1-x-1=0 x²-3x = 0 X₁=0 Wenn der Klammer steht, ändern sich alle Vorzeichen in der klammer integrieren: Fox) bilden Intervallgrenzen obere Grenze- untere zur Berechnung des Flächeninhalts sind zwei Teilflächen zu betr.: "Standx= "50,5x³dx + √2dx = [4 x³] + [²x] » · [x³] +2·[×]* = ☎ · (2³- 0³)+ 2· (4-2) = € + 4 = 10 FLÄCHEN ZWISCHEN ZWEI GRAPHEN BERECHNEN: V x2=3 Intervallgrenzen einsetzen 1 1 1 ૩. An of V A₂ Sfaldx =M(A₁)-M(AL)+μ(A₂) 93 I AM b integrieren: Faxl bilden 4 Flächenberechnung 1 Sfaxidx M(A4)-M (AS) ! Sfaxidx =M(A₁)-(A₂)+(Az) + μ(Au) -μ (As) Schritte: ^ Schnittpunkte berechnen → Fkt gleichsetzen 2 Differenzfunktion As 1-Grenze einsetzen+ ausrechn. + zsmf. ... | Betragastriche sollten gesetzt werden um zum richtigen Ergebnis zu gelangen Bisher waren die Flächen, deren Inhalte berechnet wurden, durch einen Funktionsterm und die x-Achse begrenzt. Es lassen sich aber auch Inhalte von Flächen berechnen, die von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen werden. Bei der Differenzbildung braucht man die Reihenfolge nicht zu beachten, wenn man M(A) = | "S(fw-g(x) dx | Ein Betrag kann nie negativ werden. FLÄCHEN ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONSGRAPHEN Es seien f und g über dem Intervall (a;b) definierte stetige Funktionen. Besitzen f und g in )a;b( keinen Schnittounkt, so gilt für den Inhalt der Fläche A, die durch die Graphen von f und g über dem Intervall (a;b) berandet wird, M(A) = S(x)-g(x)) dx FUNKTIONSGRAPHEN OHNE SCHNITTPUNKTE Der Inhalt der Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen 64 und Gg lässt sich also unabhängig von der Lage der Fläche durch Integration der Differenzfunktion f-g berechnen. FUNKTIONSGRAPHEN MIT SCHNITTPUNKTEN Schneiden sich die beiden Graphen Gf und 6g innerhalb des Intervalls Ja; b[, so muss man das Intervall in Teilintervalle ohne innere Schnittpunkte zerlegen.. → M(A) = μ (A₂) = μ (A₂) + μ² M · M(A) = | "J(f(x)=g(x) dx | + ["f(f(x)= g(x) dx | + | √ (f(x)-g(x))dx || BEISPIELE: -3 A₁ zum Betrag übergeht: 1 6g fal=1/₁³-3x+3 g(x)= x A 1 4. 5 1. Schnittstellen von fung f(x)= f(x)- Gg+c 1- g(x) > 2. Differenzfket ・g(x)= 2. Stammfkt A₂ 1x³-3x +3=1/x x²-x+3 = 0 x³-7x+6=0 x=1V X=2vx= -3 A F(x)-6(x)=x-7√x² + 3x X₂ 1x³-3x+3-12x=212x³² - 37/x+3 abgelesen Gesamtfläche M(A) = μ(A₁) + μ(A₂) A3 b -1²² +2²=151-16 FE Gg Flächenberechnung M(A₁)= √( ²2x³² - 2x + 3) dx = /[x4 - ²³x² + 3x] ²₁ - | [(4-14 +24) - (81 - 120-22)] |= 128 Gf M(A₂)=1₁√(x³ - 2x + 3) dx | - [x4 - x² + 3x] ²) >[(2-7+6)-(4-1 BEISPIEL: Flachen die oberhalb und untuhalb des X-Achse liegen f(x)=x²-3x²+2x Nullstellen berechnen: x ³-3x²+2x-O FLÄCHEN ZWISCHEN GRAPHEN UND X-ACHSE BERECHNEN: Schritte: Nullstellen berechnen 2 Stammfkt bilden. M(A1= MC · 1 = M(A₁) + μM (A₂) = 1 0 ²√(x ²³- 3 x ² + 2x) dxl+ [²√(x³ 3x² + 2x) dx l -[4x4x³+x²] + [4 x ²" - x ²³ + x²] ² / / -|(4·14-1³ +1²)| + |(4.24 -8 +2²³) 0,25 +0,25 = 0₁5 FE far →X₁=₁ X₂=1₁ X3 = 2 → es ergeben sich 2 verschiedene Flächen A=A₁+A₂ Fläche zw Graph und x-Achse -a Fläche zwischen zwei Graphen SYMMETRIE ZUR Y-ACHSE ÜBERSICHT 64 NA АЛ AL = 2:μ (Аг) = 2. ff(x)dx Nullstellen. "Sfox) dx + "Sfcwdx l Bei symmetrischen Fktographen kann man sich die Berechnung. jeweils gleich groß. ~_~√foxidx=_ "Sfaidx + "Sfoldx M (A₁) + M (A₂) INTEGRATION SYMMETRISCHER FUNKTIONEN 1 Schnittstellen berechnen →gleichsetzen 2 Von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren 3 Schauen, welcher Graph oben liegt! Einziger Unterschied zu den anderen: keine Intervallgrenz. gegeben ✓ Betragsstriche, falls negativ von • Integralen erleichtern. Die Inhalte μ(A₁) und μ(A₂) sind wegen der Symmetrie Ал Y N SYMMETRIE ZUM URSPRUNG Y A₂ 23+ _"foldx=_ Sfax)dx + √foldx =-μ (A₁) + μ(A₂) ==M(A₁) +M(A₁) = 0 DAS BESTIMMTE INTEGRAL fox) dx = [Fox] DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL Sfonds - F = F(b)-f(a) = F(x) +c ! FLÄCHE ZWISCHEN GRAPH UND X-ACHSE MAH! (for dx 1 M(A) bzw. M(A₁) + M(A₂) - 1 *[fundal - fordul M(A)= Hier sind keine Intervalle. gegeben. Müssen durch Nullstellen berechnet werden. FLÄCHE ZWISCHEN ZWEI GRAPHEN • 1 *[cfcx-g(x)dx | X₁ & XL sind die Schnittstellen der Fkt MITTELWERT m = (6-3) Jfcx) dx ROTATIONSVOLUMEN V= π cf(x))²¹ dx x=2 A A Diese Fläche wird berechnet 우* ," "' th KNAPPE ZUSAMMENFASSUNG Beispiel: A Азт Алкаг yof → x=b f(x)= x³, [1 2] √x³dx= [4x] = (4-2²)-(4-1) = 3,75 FE Beispiel: √2xdx = x² +c [x²dx= 3x³+c Scos (x)dx=sin(x)+c Beispiel: fax)=x²-3x²+2x NS XA-OV X₂-A; x3=2 M(A) = √(x²-3x²+2x) dx = [4x²-x²+x²] (4-1²-1³+13) Beispiel: f(x)= x+2₁ g(x)=x²+x+1 x+ 2 = x²+x |ausrechnen x=√x₁=-11×2=1 f(x) = g(x) = x+2-(x²+x+1) = -x²+1 Sex²+A)dx1 = 0,25 FE M (A₂)=√(x²-3x²+2x) dx [4x4x³+x]- 2 (4-24-2³ +2²) 70, 25 FE A=A₁ A₂ = 0₁5 FE Beispiel: fax)=-4x²+2x, [0, 2] 0²2²1m² 1¹√(-4x² + 2x)dx =4[x³+x²] = ₁ [-A2-2³+2¹] -1/2-(-3+ 4) = 5/ Schritte: Beispiel: Fox) bilden + Grenze 2. F(b)-F(a)→ Grenzen eins. 3 Zusammenfassen f(x)=x²+1, [^^] V=T. √(x² + 1)² dx = 71. S(x² + 2x-1)dx bin F. V= T. [3x³ + 3x³+x², nacion integriert = r. (4 + 3 + ₁) - (- 4 - 3-1) = 15 →Das unbestimmte Integra ist die Menge aller Stammfunktionen Schritte: "Nullstellen berechnen. 2 Fuxl bilden 1 Schritte: [-3³+x]|-|(-1³ + 1) - (- 3- (-1) + 1) | 이하륨봄 FE 2. 4 μ(A)& μ(A₂) berechnen zusammenfassen. 3 ¹ SP Schnittpunkte berech. gox, fon einsetzen integrieren: fox) bilden SP/ Grenzen einsetzen + z3mf. in Schritte: Intervalle a, b einsetzen. F(x) bilden L 1-Grenze eins + ausr. ausr. bzw zsm fassen Schritte: L Bin. Formel anwenden. integrieren Grenzen einsetzen ausrechnen