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Diana Seibel
@dianaseibel
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Die Grundlagen der Integralrechnung Definition umfasst die Berechnung von Flächeninhalten unter Funktionsgraphen. Das Integral dient als Werkzeug zur Lösung des Flächenmaßproblems bei krummlinig begrenzten Flächen.
24.5.2022
9055
Das bestimmte Integral stellt die exakte Lösung des Flächenmaßproblems dar. Es wird wie folgt notiert:
∫[a,b] f(x) dx
Dabei bezeichnet man:
Definition: Das bestimmte Integral gibt den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b] an.
Bei der Berechnung können auch negative Grenzwerte auftreten. Die Orientierung des Integrals spielt dabei eine wichtige Rolle für die Interpretation des Ergebnisses.
Bei krummlinig berandeten Flächen, wie der Normalparabel, lässt sich der Flächeninhalt nicht mehr auf elementargeometrischem Weg berechnen. Stattdessen wird die Fläche durch Teilflächen angenähert.
Methode: Die Fläche wird in n gleich breite Streifen unterteilt. Durch Berechnung von Unter- und Obersummen erhält man eine Abschätzung des Flächeninhalts.
Für die Normalparabel über dem Intervall [0,1] ergibt sich bei einer Unterteilung in 5 Streifen:
Highlight: Je mehr Streifen verwendet werden, desto genauer wird die Abschätzung. Für n → ∞ nähern sich Unter- und Obersumme dem tatsächlichen Flächeninhalt an.
Bei der Integralschreibweise werden folgende Bezeichnungen verwendet:
Formel: Das bestimmte Integral wird geschrieben als: ∫a,b f(x) dx
Die Integralrechnung hat ihren Ursprung in der Berechnung von Flächeninhalten. Sie ermöglicht die Bestimmung der Fläche, die durch einen Funktionsgraphen begrenzt wird.
Definition: Das Flächenmaßproblem beschreibt die Aufgabe, das Maß der Fläche zu bestimmen, die der Graph einer stetigen Funktion f mit der x-Achse über einem Intervall [a,b] einschließt.
Die gesuchte Funktion zur Lösung dieses Problems wird als unbestimmtes Integral oder Stammfunktion bezeichnet. Die Berechnung des Integrals nennt man Integration.
Highlight: Die Integration ist die Umkehrung der Differenziation. Eine zuvor durchgeführte Ableitung kann durch "Aufleiten" wieder rückgängig gemacht werden.
Für verschiedene Funktionstypen ergeben sich unterschiedliche Flächenformen:
Beispiel: Für eine konstante Funktion f(x) = c über dem Intervall [a,b] ergibt sich die Fläche A = c * (b-a).
Das bestimmte Integral ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten auch bei negativen Grenzwerten. Es ist ein mächtiges Werkzeug der Integralrechnung, das in vielen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung findet.
Vocabulary: Bestimmtes Integral: Ein Integral mit festgelegten Integrationsgrenzen, das einen konkreten Zahlenwert liefert.
Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt durch die Bildung von Ober- und Untersummen und deren Grenzwertbetrachtung für eine unendlich feine Unterteilung des Integrationsintervalls.
Highlight: Das bestimmte Integral ist ein zentrales Konzept der Integralrechnung und bildet die Grundlage für viele weiterführende mathematische Methoden.
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Highlight: Je mehr Streifen verwendet werden, desto genauer wird die Abschätzung. Für n → ∞ nähern sich Unter- und Obersumme dem tatsächlichen Flächeninhalt an.
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Formel: Das bestimmte Integral wird geschrieben als: ∫a,b f(x) dx
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Definition: Das Flächenmaßproblem beschreibt die Aufgabe, das Maß der Fläche zu bestimmen, die der Graph einer stetigen Funktion f mit der x-Achse über einem Intervall [a,b] einschließt.
Die gesuchte Funktion zur Lösung dieses Problems wird als unbestimmtes Integral oder Stammfunktion bezeichnet. Die Berechnung des Integrals nennt man Integration.
Highlight: Die Integration ist die Umkehrung der Differenziation. Eine zuvor durchgeführte Ableitung kann durch "Aufleiten" wieder rückgängig gemacht werden.
Für verschiedene Funktionstypen ergeben sich unterschiedliche Flächenformen:
Beispiel: Für eine konstante Funktion f(x) = c über dem Intervall [a,b] ergibt sich die Fläche A = c * (b-a).
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Vocabulary: Bestimmtes Integral: Ein Integral mit festgelegten Integrationsgrenzen, das einen konkreten Zahlenwert liefert.
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