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Integralrechnung
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Anwendungen der Integralrechnung 1. Fläche unter Kurven a) Gesucht ist der Inhalt des rechts abgebildeten mar- kierten Flächenstücks A. b) Wie groß ist der Inhalt der Fläche A, die vom Gra- phen der Funktion f(x)=-x² + 4x-3 und der x-Achse umschlossen wird? 2. Flächen zwischen Kurven Der Graph von f(x)=x² - 6x + 10 und die Gerade g(x) = x beranden gemeinsam ein Flächenstück A. Be- stimmen Sie die Schnittpunkte von f und g. Fertigen Sie dann eine Skizze an. Berechnen Sie anschließend den Inhalt von A. 3. Tunnel Ein 10m langer Fußgängertunnel aus Beton hat die eingezeichneten Maße. Die innere Berandungsparabel hat die Gleichung g(x) = -10x² + 1/ a) Bestimmen Sie die Gleichung der äußeren Beran- dungsparabel f. b) Wie viel m³ Beton werden für den Bau des Tunnels benötigt? 3m-> 2,5m-> t: Zeit in Jahren; w'(t): Wachstumsgeschwindigkeit der Population zur Zeit t in Wölfen/Jahr. a) Wie viele Wölfe kommen in den ersten zehn Jahren hinzu? b) Nach 20 Jahren besteht die Population aus 172 Wöl- fen. Wie viele Tiere waren es zu Beginn? 3m 4m 4. Wolfspopulation Ein Rudel Wölfe hat sein Revier auf einer abgelegenen Halbinsel in Alaska gefunden. Die Wolfspopulation vermehrt sich nun mit der Wachs- tumsgeschwindigkeit w'(t) = -0,0241² +0,12t +9,8. 5. Rekonstruktion einer Bestandsfunktion Ein Heißluftballon befindet sich in 2000 m Höhe, als der Pilot die Landung einleitet. Die Sinkgeschwindigkeit kann durch die Funktion v (t) = 0,0015t² -0,3t...
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Alternativer Bildtext:
erfasst werden. t: Zeit in Sekunden; v (t): Geschwindigkeit in m/s. a) Wie lautet die Gleichung der Funktion h (t), welche die Höhe des Ballons beschreibt? b) welcher Höhe ist der Ballon nach zwei Minuten? Wie schnell sinkt er dann? c) Die Landung erfolgt weich, d. h. die Sinkgeschwindigkeit ist dann gleich null. Nach welcher Zeit und in welcher Höhe erfolgt die Landung? 2 1). P Anwendung der Integral technung ASP/ Fläche wiiter Kurve > વ) f(x) = x³ - 1x² - 1× 3 e 1 = [-1-1] F(x) = 4 x² - 4 x²³ - 4 ² ឬ A=$- fox S A = S 3 ✔ fox dx = √ (x³ - 2² f(x) = 0 f(x) == x² + 4x-3 F(x) = -1 x ²³ + 2x² - 3x ल 14 3 - 70₁ = 1 1 = [13] R x² + 4x-3 x² + 1x 1,67 FE ✓ A=| fonder] dx = $ хоч 1/ 1 3 = [ ²² x ²4 - 2 - ³ - 1 x ² + 1x] K ✓ = 3 ✓ ~1,33 FE 2 (-x² + 4x-3) 2 ✓ 12 [-3 +3 + 2x²-3x] +1) 11.06.2021 313 515 6 2) ► 3) Anwendungen der Integraliechnung P 2 fux) = x² - 6x + 10 fax) = g(x) x² - 6x +10 A = XA 。 S 17 ONS g(x) ✓ 1 = [25] 2 gun = дах - hundx (a) A 4,5 FE (1 fun gcx) in(x) = x²-7-x + 10 x * x₂ A = √(²-3x+³) 2/1 fo (x² - 7x + 10) = 9✓ 2 10 x² + a 5 LIN 5 X* 2 P. (210) P₂(-210) P₂ (013) fcx) = -ax² +bx+c ✓ ✓ 4 3 0 gux)=x * f(2)= 2² -6.2 +10 y = 2 gcs) = 5 피 S. (212) a = - ³ 4 S. (615) LGS I O=_a·2² +b·2+c 0=-α (2)² + 6⋅(2) + c III 3 = -α-0² + b⋅0+c+6²³ b = 0 C = 3 11.06.2011 2 fcx) == 3x² + 3√ - 4 414 313 (3) 4 Anwendungen der Integralechnung 1=[-2:2] 1=0-15-1,8] fox / gcx g(x) (b) A von fux) / Af - Ag Af Ag A A A → B TT C S₁-3 2 SC-48 x² + 51² [ S2 - 46 6²] Ag = SC-1 ) = [S. X 10-x3] 2 27 -1.5 11 = A c - Ag 8 3 Beton . => AWS: Für 3 + ² + 3) dx = [ - = x³ + 3x] е V B = A B = 3m² B = 30m³ m² ✓ S 30m³ F(x) = God=5x 10 m s - 1³ Y 1 = 10m : 2 x3 27 10 den Bau des Tunnels werden Behon benötigt 11.06.2021 616 Anwendungen der w' (t) = -0,024 +² + 0.12+ + 9,8 Ein Jahren Wölfe /Jahr (a) 1 = [0:10] wit) = -0,008. f³ +0,06 +² +9₁8.6 46 I wit) dt ✓ 14 S. (-0,024 1² + 0,12€ + 9.8 => AWS: Nach 10 Jahren gekommen 6) + ₂0 = 172 w(to) 172 172 (¹ 11 2 t₂ = 0 C = 16 Wachs asmsgeschl T 96 e(t) -0,008-20²³ +0.06.20 sind 96 Tiere dazu- +C N 313 +9₁8-20 + C Isolve ✓ => AWS: Zu Beginn waren es 16 Tiere 313 3). Anwendungen vet) = 0,0015-1²-034 c) h(t) = ? | v(t) (b) h(t) = 0,0005.13-0.15.7² + 2000 2 min пого Th = 120 sele h (120) = 0,000$. 120 ³-0, 15. 120² + 2000. = 1296 m Höhe = 2000 - 1296. n = 704 m. + = sch v(t) = m/s S 2 2000 m =) nach 2 Minuten befindet sich der Ballon aut einer Hölle von 704 m. 1/2 412