ganzrationale Funktionen

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= -x²1 - = ✓ (✓) SAdx = F(-1) - F(-2) =-4-(-4) = ( 4 : 4)-(-4·( 4 ))) = 1-2 3-1 f(x) = x √x dx = F(A) - FC-A) = 0,5-0,5 = 0 → Begründung: F(x) = 0,5x² ✓ _^ -4 -4:4 -1 74 11 -444 =1 A 12 1 ^ = 2 Wenn man jeden Wert in f(x) einsetzt, kommt immer für een die y-koordinate dieselbe Zahl wie & raus. f(x)=x ist eine konstante, welche en keine Nullstellen besitzt und somit der Flächeninhalt o ergibt, also es gibt keinen! (₁ 4 ( Teil II: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 2 Am Rande eines Naturschutzgebietes befindet sich ein kleineres Regenrückhaltebecken. Die- ses ist mit 2000 m³ Wasser bis zur Unterkante eines seitlich gelegenen Ablaufrohres teilweise gefüllt. Durch das Rohr kann das Wasser in einen nahe gelegenen Fluss abfließen. Bei einem plötzlich einsetzenden Platzregen steigt der Wasserstand im Becken, da das Ab- laufrohr die Wassermassen nicht bewältigen kann. Die nachfolgende Grafik zeigt die Zufluss- rate in m³ pro h in Abhängigkeit von der Zeit in h. a. Zuflussrate in m³/h C. m³/h 900 800 700 600 500 400 300 200 A 100 -100 -200 -300 460 | A₂ (4+4+4+4=16 Punkte) Sta) Zeit in h Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zuläuft und die Intervalle, in denen Was- ser abläuft. (4 Punkte) b. Begründen Sie, warum fünf Stunden nach Beginn des Platzregens die Wassermenge im Becken größer ist als vorher. (4 Punkte) Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt das Becken am stärksten gefüllt ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. (4 Punkte) d. Begründen Sie, dass neun Stunden nach Beginn des Platzregens in etwa der alte Wasser- stand erreicht ist. (4 Punkte) 3 al F G H fxz Ausgan Ausgangsformel Alu) = (2-u) f(u) ✓ f(u) einse in eins. • A(u) = (2-u)- (u²+1 (✓) = 26²²-0³-2-4 =-03t2uz-ut2 6²/A²lu) = -3u²+44-1 notwendige Bed. A'(u) = 0 4 2 unie = -(불) (목) - 좋 4 I 0=-34² +4u- 1 1: (-3) 0 = u ² - 54 + 3 |pq- Formel 14 4 =3-79 = 2/3 + 4/² Nebenbedingung f(x)=x² +1 1 3 XIU f(u)= 0² +1 ✓ ✓ oder GTI! U₁ = ³ + 3 = ¾ = √_^ ₂ - 3 - 4 - 5 / =^ ил 2 3 3 hinreichende Bed A" (u) -- bu +4 Aª (1)-6-174 =-644 =-2 <0 Allw)=0₁ A" () #0 A'(a)=0 A ² ( ²3 ) = − 6 = 1/² +4 A (4)=(-4)²+2-3-31² <= 50 = 2 20 lokales Minimum TPA) lokales Maximum HPC1 1 2 1 / AC₁) # 1², 12-1²-1+2√ (1₁ =2 Teil I: Hilfsmittelfreie Aufgaben (max. 25 min) Aufgabe 1 (4+4+7=15 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (d.h. durch Aufstellen und Verwenden einer geeigneten Stammfunktion): a. (4x³ - 6x² + 1)dx Aufgabe 2 In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Mit F wird im Folgenden eine Stammfunktion von f bezeichnet. A B b. dx (Tipp: Verwende = a¹ für eine beliebige reelle Zahl a ‡ 0.) ₁₁x dx. Begründen Sie das Ergebnis anschaulich anhand des Graphen der Funktion f(x) = x. Kreuze jeweils an, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. (Eine richtige Antwort gibt einen Punkt, eine falsche einen Minuspunkt. Dabei kann in dieser Aufgabe keine negative Gesamtpunktzahl erreicht werden, d.h. die minimale Punktzahl ist 0! Im Zweifel sollte man also auf eine Antwort verzichten.) Aussage F ist in I = [0; 1] streng monoton steigend. F hat bei x = 2 eine Extremstelle. F muss in I = [-0,25; 0,25] eine Nullstelle besitzen. F hat bei x = 1 eine Wendestelle C C. D -0.25 1.5 1.25 1 0.75 05 0.25 0 -4.25 f-05 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 F wahr falsch XX x (4 Punkte) X 1 Viel Erfolg! 6 Q1.1 MGK - 2. Klausur (Erwartungshorizont) Erwartete Lösung: Der Prüfling ... (gleichwertige Lösungen zählen entsprechend) Teil I Hilfsmittelfreier Teil 1a. 1b. 1c. 2 2a. 2b. 2c. Teil II mit Hilfsmitteln 2d. 3a. 3b. berechnet das Integral mithilfe einer Stammfunktion. 3c. S.O. S.O. begründet anhand des Graphen das Ergebnis. gibt jeweils an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. gibt die gesuchten Zeitintervalle an. begründet, wieso nach fünf Stunden die Wassermenge im Becken zugenommen hat. gibt den Zeitpunkt der stärksten Füllung an und begründet das Ergebnis. begründet, dass nach neun Stunden der alte Wasserstand erreicht ist. (orientierte Flächeninhalte) bestimmt den Funktionsterm mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems. berechnet die Koordinaten der Achsenschnittpunkte berechnet die Extrempunkte. begründet, dass der beschriebene Zeitraum länger als 7 Stunden dauert. 3d.(1) weist nach, dass F eine Stammfunktion von f' ist. 3d.(2) berechnet den Inhalt der gesuchten Fläche und interpretiert das Ergebnis im Sachzusammenhang. 3e.(1) berechnet die Wassermenge, die innerhalb der ersten zwei Stunden zufließt. 3e.(2) ermittelt einen rechnerischen Ansatz und beschreibt kurz den Lösungsweg. erreichbare Punkte 19 4 4 3 4 4 4 4 4 4 12 4 10 4 3 6 6 | 5 erreichte Punkte 11 4 3 4 0 0 69 4 4 4 12 3 10 1 3 4 0 6 L65 /48 67 48 200 1/ 512 164 8 1 128 II - 32. I TO010144 01 00 0 148200 0 128 8 1 128 10 144 3 оо ОИ O (C = 144 128 b + 8c+d=128 3 128-6 +8·144 +0 = 128 (vereint. 128 b + 1152 =1281-1152 128 b -1024 | (138) I 16=-24 486 +2b=0 16 einsetzen. 48 a +2.(-24)=0 \vereinfachen 489-48-0148 480=48:48 a=D 3 f(x) = x ²³ - 24x²³² +144x d und eins. f(t)=+³_24ť²2 +144€ 0=+²³=24€+ ² +/44+ 0=€1 €²-24+ +144) is nächste Seite: toor Verwendy des GTR erla Super! (1) Šfit)dt = F(2) - F(0) = 228-0 228 (2) D Antwort: die aufließt, Die Wassermenger beträgt 222² innerhalb der ersten zwei Stunden. D+ ✓ 3 f(t)= t³-24t² + 144t f(t) = 3t² - 48+ +144 t ✓ 2 3t²-48€ +144 dt = 0. mamã Wenn man die erste Ableitung gleich hull setzt, weiß man, dass die Flache zwischen dem Graphen und der X-Achse 0 befrägt, somit können wir herausfinden, bitt Ø von wann bis wann die von wann bis wann die größte Wassermenge zuflich Die erste Ableitung # zeigt die steigung des Ausgangsgraphen an einer x- Stelle an, f(01=0 (531) pa-formel €²-24€ +144-0 ²2₁3 = -(-=-²4 ) + √(-24)²-144 = 12 ± √ 144-144 = 12-то =12=0 +₁=12 +3=12 doppelte Wellstelle ✓ f(t) = (²³-24t² +144 f(0) = 144 P(0/144) € (12) = - 1584 AC 121-1584) f' (t)=3t² - 48+ +144 notwendige Bed: f'(t) =0 0 = 3t² -48€ +144 1:3 3=t² - 16€ +48 pg-Formel: £₁,2 =-(-16)+ √(-16) ²-48 - 8 = √64-48 = 8 ± √16 =8±4 t₁ = 8+4=12₁=₂=8-4=4 hinreichende Bed: f(t)=0 f"(#0 f"(t) = 6€ -48 f" (12)=6-12-48 =72-48 =24 >0 lokales 4 Minimum TPC1210) f(12) = 18³-24/12² +144-12 und die Fläche von 3 bis ungefähr einmal I eter bish -220 zweimal eht und einer bis -250 (Rechted) vom Intervall [5;7]. Wenn man siehe Abbildung mit A₂ subtrahiert kommt auf dem der stan alte Wasserstand Blatt raus. 4.3 Ansate. f(x) = ax² tbx texto Aloro) f(x) = 3ax ² f 2 bx tc f(x)=6ax₂+2b P.(8/128) 48 2000 512 64 8 1 128 I f(0) = a⋅0²³tbo²tcold=0 π f(0) = 3·a·0²+2·6·0+c=144 ✓ Il f(8) = 0·8³ tb.8²tc.8td=128 ✓ IV f" (8) = 6-0·8+2b =0 MA1000 070144 соло Id=0 I C = 144 III 512a +64b78c+d=128 TV 489 +26 =0 148 WAS V V 101010 the 00011441 0 14 8 128 & 680 ONO ✓ 1451264841881-23 17 x Flacheninhalt, da der Graph dic x-Achse nicht berührt. MARA S X Randwerte. дар 0,5) =1 A" (2) = -8 Aª (0) = 4 A(0), A(2) Totalbetragen A ( 1 ) = ( − 1)²³ + 2 + 1 -1 + 2 =2 Antwort: Die Fläche des Rechtecks beträgt 2 dm² als größtmöglichen. Flächeminhalt. ✓ lae Aufgabe 3 (12+14+4+9+11=50 Punkte) Der Graph einer ganzrationalen Funktion fdritten Grades hat im Ursprung des Koordinatensystems die Steigung 144. P(8 |128) ist der Wendepunkt des Graphen. a) Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm mit Hilfe eines geeigneten Gleichungssystems. (12 Punkte) Benutzen Sie im Folgenden: f (t) = t³ - 24 t² + 144 t. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte und die lokalen Extrempunkte des Graphen von f. (14 Punkte) Die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Stausee einer Bergregion lässt sich in den ersten 12 Stunden nach sehr starken Regenfällen näherungsweise durch die obige Funktion f, deren Graph auf der nächsten Seite abgebildet ist, beschreiben. [t: Zeit in Stunden (h), f(t): Zuflussgeschwindigkeit in m³ h m³ c) Begründen Sie mit Hilfe des Graphen und geeigneter Funktionswerte, dass der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit mindestens 120 - beträgt, länger als 7 Stunden ist. (4 Punkte) h d) (1) Weisen Sie nach, dass es sich bei der Funktion F mit F(t) = ¹tª − 8 t³ + 72 t² um eine Stammfunktion von f handelt. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der t-Achse zwischen t = 0 undt = 12 einschließt. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (9 Punkte) (1) Berechnen Sie die Wassermenge, die innerhalb der ersten 2 Stunden zufließt. (2) Bestimmen Sie das zwei Stunden umfassende Zeitintervall, in dem die größte Wasser- menge zufließt. Ermitteln Sie dazu einen rechnerischen Ansatz, mit dem das gesuchte Intervall bestimmt werden kann. Beschreiben Sie (kurz) den Lösungsweg. Eine Durch- führung der Rechnungen ist nicht erforderlich. (11 Punkte) 4a. 4b. bestimmt den Funktionsterm unter Angabe von Ausgangsformel und Nebenbedingung. bestimmt rechnerisch die Maße und Fläche des größtmöglichen Rechtecks. Gesamtpunkte Note: Durchschnittsnote (Kurs): 6 9 100 6 8 80 gut (+) 5,0 (Punkte) / 4,0 (Note) Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den ersten 12 Stunden: Af(t) 5: Aufgabe 4 Aus einer rechteckigen Glasscheibe der Länge 5dm und der Breite 2dm ist ein Stück parabelförmig herausgebrochen. Die Gleichung der Parabel lautet f(x) = x² + 1. Aus dem Reststück (das Stück ,,unterhalb" der Parabel) wird auf die dargestellte Art ein Rechteck herausgeschnitten. a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm A(u), der die Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit vom gewählten Start- punkt u beschreibt. Geben Sie dabei die Ausgangsformel und Nebenbedingungen an. (6 Punkte) [Zur Kontrolle: A(u) = -u³ + 2u² − u + 2] b) Bestimmen Sie rechnerisch die Maße und die Fläche des Rechtecks mit dem größtmöglichen Flächeninhalt. (9 Punkte) 5 st 4 3 2 1 0 1.5. (6+9=15 Punkte) 2dm f(x) Plul flu)) U 1 2 15dm Viel Erfolg!