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Stammfunktionen und Extremwertaufgaben leicht gemacht: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11

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Stammfunktionen und Extremwertaufgaben leicht gemacht: Übungen und Lösungen für Klasse 9 und 11
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Diese Klausur behandelt wichtige Themen der Integralrechnung und Extremwertaufgaben. Sie umfasst sowohl hilfsmittelfreie als auch Aufgaben mit Hilfsmitteln und deckt Konzepte wie Stammfunktionen bilden, ganzrationale Funktionen und Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen ab.

  • Der erste Teil enthält Aufgaben zur Berechnung von Integralen und zur Analyse von Funktionsgraphen.
  • Im zweiten Teil wird ein praktisches Problem zu einem Regenrückhaltebecken behandelt.
  • Die Klausur prüft das Verständnis grundlegender Konzepte sowie die Fähigkeit, mathematische Methoden auf reale Situationen anzuwenden.

11.2.2021

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A.2 a) [1;3] => Wasser läuft zu [3;9] => wasser lauff db ur! b) Am Anfang fließt 800m ³ hinzu und es wird immer weniger aber tar bis zu 3 St

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Seite 2: Fortsetzung Aufgabe A.2 und Beginn einer neuen Aufgabe

Diese Seite setzt die Aufgabe zum Regenrückhaltebecken fort und beginnt eine neue Aufgabe zur Funktionsanalyse.

Für das Regenrückhaltebecken: c) Der Zeitpunkt der stärksten Füllung wird als 3 Stunden nach Beginn identifiziert. d) Nach 9 Stunden wird der ursprüngliche Wasserstand wieder erreicht.

Vocabulary: Zuflussgeschwindigkeit - Die Rate, mit der Wasser in das Becken fließt, gemessen in m³ pro Stunde.

Die neue Aufgabe befasst sich mit der Analyse einer Funktion f(t):

  • Berechnung von f(4) zur Bestimmung eines lokalen Maximums
  • Untersuchung der Zuflussgeschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten

Definition: Lokales Maximum - Ein Punkt auf einer Funktion, der höher ist als alle benachbarten Punkte.

Die Aufgabe demonstriert die Anwendung von Extremwertaufgaben in praktischen Kontexten.

A.2 a) [1;3] => Wasser läuft zu [3;9] => wasser lauff db ur! b) Am Anfang fließt 800m ³ hinzu und es wird immer weniger aber tar bis zu 3 St

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Seite 3: Integralrechnung und Flächenberechnung

Diese Seite enthält Aufgaben zur Integralrechnung und Flächenberechnung. Die Schüler müssen verschiedene Integrale lösen und die Ergebnisse interpretieren.

Aufgabe 1 umfasst drei Teilaufgaben: a) Integration einer ganzrationalen Funktion b) Integration einer Bruchfunktion c) Integration der Funktion f(x) = x von -√A bis √A

Example: Für Aufgabe 1a: ∫(4x³ - 6x² + 1)dx = x⁴ - 2x³ + x + C

Die Lösungen zeigen detaillierte Schritte zur Bildung von Stammfunktionen und zur Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Highlight: Die Aufgabe 1c erfordert eine anschauliche Begründung des Ergebnisses anhand des Funktionsgraphen.

Diese Aufgaben testen das Verständnis grundlegender Konzepte der Integralrechnung und die Fähigkeit, mathematische Ergebnisse zu interpretieren.

A.2 a) [1;3] => Wasser läuft zu [3;9] => wasser lauff db ur! b) Am Anfang fließt 800m ³ hinzu und es wird immer weniger aber tar bis zu 3 St

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Seite 4: Aufgabenstellung zum Regenrückhaltebecken

Diese Seite präsentiert die vollständige Aufgabenstellung zu einem Regenrückhaltebecken, das Teil II der Klausur bildet. Die Aufgabe kombiniert Integralrechnung mit praktischen Anwendungen.

Schlüsselelemente der Aufgabe:

  • Ein Regenrückhaltebecken mit 2000 m³ Wasser
  • Ein Ablaufrohr zum nahe gelegenen Fluss
  • Ein plötzlich einsetzender Platzregen

Vocabulary: Regenrückhaltebecken - Ein Bauwerk zur vorübergehenden Speicherung von Regenwasser zur Entlastung der Kanalisation.

Die Aufgabe enthält einen Graphen, der die Zuflussrate in m³ pro Stunde in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Teilaufgaben: a) Bestimmung der Zeitintervalle für Zu- und Abfluss b) Begründung für den erhöhten Wasserstand nach 5 Stunden c) Ermittlung des Zeitpunkts der maximalen Füllung d) Begründung für die Rückkehr zum Ausgangswasserstand nach 9 Stunden

Highlight: Diese Aufgabe erfordert die Anwendung mathematischer Konzepte auf eine realistische Situation im Wassermanagement.

Die Schüler müssen den Graphen interpretieren und ihre Erkenntnisse begründen, was kritisches Denken und die Anwendung von Extremwertaufgaben erfordert.

A.2 a) [1;3] => Wasser läuft zu [3;9] => wasser lauff db ur! b) Am Anfang fließt 800m ³ hinzu und es wird immer weniger aber tar bis zu 3 St

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Seite 5: Lösungsansatz für eine Extremwertaufgabe

Diese Seite zeigt einen detaillierten Lösungsansatz für eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen. Die Aufgabe befasst sich mit der Optimierung einer Funktion A(u) unter bestimmten Bedingungen.

Schritte der Lösung:

  1. Aufstellen der Ausgangsformel A(u) = (2-u) · f(u)
  2. Einsetzen der gegebenen Funktion f(u) = u² + 1
  3. Ableiten der Funktion A(u) zur Bestimmung der notwendigen Bedingung

Definition: Notwendige Bedingung - Eine Voraussetzung, die erfüllt sein muss, damit ein Extremwert vorliegen kann.

  1. Anwendung der pq-Formel zur Lösung der Gleichung A'(u) = 0
  2. Überprüfung der hinreichenden Bedingung durch Berechnung der zweiten Ableitung

Vocabulary: Hinreichende Bedingung - Eine Bedingung, die sicherstellt, dass tatsächlich ein Extremwert vorliegt.

Die Lösung demonstriert die Anwendung von Differentialrechnung zur Bestimmung von lokalen Extrema und zeigt, wie man zwischen Maxima und Minima unterscheidet.

Highlight: Diese Aufgabe ist ein typisches Beispiel für Extremwertaufgaben mit Lösungen, wie sie oft in der Oberstufe behandelt werden.

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Seite 6: Hilfsmittelfreie Aufgaben zur Integralrechnung

Diese Seite enthält den ersten Teil der Klausur mit hilfsmittelfreien Aufgaben zur Integralrechnung und Funktionsanalyse.

Aufgabe 1 fordert die Berechnung von Integralen mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: a) Integration einer ganzrationalen Funktion b) Integration einer Bruchfunktion c) Integration von f(x) = x im Intervall [-√A, √A]

Example: Für Aufgabe 1a: ∫(4x³ - 6x² + 1)dx

Aufgabe 2 präsentiert den Graphen einer Funktion f und erfordert die Analyse einer Stammfunktion F von f. Die Schüler müssen Aussagen über F als wahr oder falsch bewerten.

Highlight: Diese Aufgabe testet das Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion.

Themen, die abgedeckt werden:

  • Monotonieverhalten von Stammfunktionen
  • Extremstellen und Wendepunkte von Stammfunktionen
  • Nullstellen von Stammfunktionen

Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt.

Diese Aufgaben sind typische Beispiele für Stammfunktion bilden Übungen mit Lösungen und Integralrechnung Aufgaben, die das grundlegende Verständnis der Integralrechnung testen.

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Seite 1: Aufgabe A.2 - Regenrückhaltebecken

Diese Seite enthält den ersten Teil der Aufgabe A.2, die sich mit einem Regenrückhaltebecken befasst. Die Aufgabe untersucht den Wasserzu- und -abfluss über einen bestimmten Zeitraum.

Highlight: Die Aufgabe verbindet mathematische Konzepte mit einer realen Anwendung in der Wasserwirtschaft.

Die Teilaufgaben umfassen: a) Bestimmung der Zeitintervalle für Wasserzu- und -abfluss b) Begründung für den höheren Wasserstand nach 5 Stunden c) Ermittlung des Zeitpunkts der maximalen Beckenfüllung

Example: In den ersten 3 Stunden fließt Wasser zu, danach fließt es für 6 Stunden ab.

Die Lösungen beinhalten Erklärungen zur Wassermengendynamik und zur Interpretation des Graphen.

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Die Lösung demonstriert die Anwendung von Differentialrechnung zur Bestimmung von lokalen Extrema und zeigt, wie man zwischen Maxima und Minima unterscheidet.

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