Integralrechnung und Stammfunktionen

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man eine Stamm funktion ableitet, erhält man die Ausgangsfunktion: Ableiten Ableiten Stammfunktion F(x) Es gilt: F'(x) = f(x) negative Steigung positive Steigung Zusammenhänge zwischen Stammfunktion und Ausgangsfunktion: Stammfunktion F(x) | Ausgangsfunktion f(x) Wendepunkt Hoch-/Tiefpunkt Sattelpunkt Hoch-/Tiefpunkc+ & gleichzeitig NST Hoch/Tiefpunkt Ausgangsfunktion f(x) Bilden von Stammfunktionen: Allgemein: F(x)=x² n+1 mit x hoch den Exponenten + 1. Beispiele: f(x)= 4x³ ⇒ F(x)=√ √ √ · 4x² = 1² x 6 Nullstelle negative Functionswerte positive Funktionswerte f(x) F(x) → man dividiert also 1 durch den Exponenten + 1 und multipliziert diesen Bruch Skizzieren von Stammfunktionen: f(x) gegeben, F(x) gesucht TWH X Ableitung f'(x) f(x)=-3x²+4 → F(x)= 7₁ - 3׳ = − ³x³ Das Vorgehen: f(x) hat ein Extremum → be F(x) muss dort ein wendepunict vorliegen. 2 f(x) liegt zuerst unter und dann über der X-Achse → bei F(x) muss ein Wechsel von negativer zu positiver Steigung vorliegen, also ein Tiefpunkt. 3 f(x) liegt zuerst über und dann unter der X-Achse → bel F(x) muss ein Wechsel von positiver zu negativer Steigung vorliegen, also ein Hochpunct. -Integrale mithilfe des Hauptsatzes berechnen. 1.Beispiel: gegeben ³ √(x²+x)dx Rechnung² √ [3₁x³+4·x²] = F(0) - FC-1) = 3·0³+¹ ¼·0² - ( §· (-1)³ + ¼ · (-1)²) = 0 − (- § + 4) = -4 Stammfunktion 3 2. Beispiel: gegeben: 5²(x²- 5x³+4x) dx Rechnung: [[ 2x² + 2² -5x ² + 1 ·4x²] = F(-1)-F(-2) = 2 · (-1) + ¹4-5-(-4) ²+¹ ¼· 4 ·C-11² - ( § ·C·21³ +⦷ ·5·6-2† + 4·4·621³² = 3 -Integrale mit dem GTR. Was muss angeklickt werden? → Menü → Pun+ 4 = PUNKA 2 - Beispiel: f(x)=x² +4₁ [0₁2] Was muss ich auf den Klausur bogen schreiben? → Angeben: 8,89 → Bestimmen: (x²+4)dx GTR 18,89 → Berechnen: (x²+4 dx) = [âײ³4×] = F(2)-F(0) 67²8,89 -Flächenberechnung mit dem Integral. Errinnerung Integral >0 Integral <0 Beispiel 1: gegeben: f(x) = -x²+x+6 Nullstellenberechnung für die Intervallgrenzen: GTR f(x)=0 x=-2vx=3 A = | }(-x²+x+6) dx | = | [-3x³+4x²+6×]1=1 FC3)-F(-2)} | 20,83) = 20,83 [F] (² Flächeneinheiten -2 •Betragsstriche → alles dazwischen ist positiv, denn Flächen können nie negativ sein! Beispiel 2: gegeben: g(x)=x²³-4x NST: g(x)=0>x==2₁vx=0₁_vx=2 A = 1 {{(x²-4x)dxl +1 }(x²-4x]dx1 = ( [4x4-2x²][+1 [4x²-2₂2²]| = | G(0)-6(-2) 1+1 GC2) - GCC) 1979| 4/+1-41=4+4=8[FE] -Fläche zwischen zwei Graphen berechnen gegeben: f(x)=x²-x g(x)=3x 1) Schnittstellen für Grenzen: f(x)=g(x) <=> f(x) - g(x) = 0 3 (=) x³ x -3x=0 - => ²³-4x = 0 dcx) GTR (= x= -2, x=0₁₁ x=2 (2) Fläche berechnen: 2 -11.02 A = 1/₂dxdx1+1 √d(x)dx1 = ICâ×¹-2x²] + 1[âx“- 2x²1 = ID(0)-DC-2)1+1DC2) - D(0)| GTR | 41 +1-41 = 8[FE] 8.01 -8.16 y 12(x)=3•x ² f1(x)=x²³₁ 13.23