Integralrechnung und Stammfunktionen

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Stamm funktionen F(x) +C, wobei C die Integrations- konstante ist. Wenn man eine Stamm funktion ableitet, erhält man die Ausgangsfunktion Ableiten Ableiten Stammfunktion F(x) Es gilt: F'(x) = f(x) Wendepunk+ Sattelpunkt Hoch/Tiefpunict Zusammenhänge zwischen Stammfunktion und Ausgangsfunktion: Stammfunktion F(x) negative Steigung positive Steigung TY Ausgangsfunktion f(x) Ausgangsfunktion f(x) Hoch-/Tiefpunkt Hoch-/Tiefpunic+ & gleichzeitig NST Nullstelle negative Functionswerte positive Funktionswerte Bilden von Stammfunktionen: n+1 Allgemein: F(x)=²4+ ₁ x^² mit x hoch den Exponenten + 1. 4 Beispiele: f(x)= 4x³ + F(x) = ² · 4x² = 11x6 f(x)=-3x²+4 → F(x) = 4²₁-3x³ = -√²/2 x ²³ f(x) Skizzieren von Stammfunktionen: f(x) gegeben, F(x) gesucht T WH Ableitung f'(x) F(X) man dividiert also 1 durch den Exponenten + 1 und multipliziert diesen Bruch Das Vorgehen: Ⓒ1 f(x) hat ein Extremum → bei F(x) muss dort ein wendepunct vorliegen. f(x) liegt zuerst unter und dann über der X-Achse → bei F(x) muss ein Wechsel von negativer zu positiver Steigung vorliegen, also ein Tiefpunkt. (3) f(x) liegt zuerst über und dann unter der X-Achse → bei F(x) muss ein Wechsel von positiver zu negativer Steigung vorliegen, also ein Hochpunkt. -Integrale mithilfe des Hauptsatzes berechnen. 1.Beispiel gegeben: (x²+x) dx Rechnung: ₁x³+4x²¹ - F(0) - FC-1) = 3·0²³+ ¼·0² - ( §· (-1)³ + ¼ · (-1)²) = 0 − (- § + 4 ) = -4 =₁ Stammfunction 2. Beispiel gegeben: (x³-5x³+4x) dx Rechnung: [[x²+2-5x²44= T(-1)-F(-2) 3-6-10²4-5-6-1) 4+1-4 6-11²-C (-21° +4-5-6-21° + 4-4-6-21²-3 -Integrale mit dem GTR- was muss angeklickt werden? → Menü → Punk+ 4 → PUNKA 2 Beispiel: f(x)=x² +4₁ [0₁2] 1 Was muss ich auf den Klausur bogen schreiben? → Angeben: 8,89 - → Bestimmen: $(x²+4) dx GR 8,89 → Berechnen: (3x²+4 dx) = [áx³4x) = F(2)-FCO) 8,89 -Flächenberechnung mit dem Integral. Errinnerung Integral >0 Integral <0 Beispiel 1: gegeben: f(x) = -x²+x+6 Nullstellenberechnung für die Intervallgrenzen: GTR f(x)=0= x=-2vx=3 3 Flächeneinheiten A = | }(-x²+x+6) d× 1 = 1 [− 3x³+4x²+6×] 1 = 1 FC3)-F(-2) | R| 20,83) = 20,83 [Fế] GIR -Betragsstriche alles dazwischen ist positiv, denn Flächen können nie negativ sein! Beispiel 2: gegeben: g(x)=x²-4x NST: g(x)=0 <=> x = -2₁ √ x=0₂₁₁ x=2 A = = 1 {(x²-4x)dx\ +1 }(x²-4x]dxI=\ [4x4-2ײ]1+1 [ âxª-2ײĴ1 = | G(0)-6(-2)|+| G(2)- GCC) |CT|4|+1-41=4+4=8[FE] -Fläche zwischen zwei Graphen berechnen gegeben: f(x)=x²-x g(x)= 3x Schnittstellen für Grenzen: f(x) = g(x) <=> f(x) = g(x)=0 (=) x²-x - x -3x=0 (-) =>x² - 4x = 0 dcx) GTR (= x= 2√x=0v x=2 -11.02 (2) Fläche berechnen: A=1dx)x1+1 dcxaxl 00 = IC$x*-2x² + 1[$x*- 2x²1 = ID(0)-DC-2) 1+1 DC2) - D(0)1 GTR | 41 +1-41 = 8 (FE] 8.01 y -8.16 /f2(x)=3+x +11(x)=x²³_ 13.23