Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein zentrales Werkzeug zur Berechnung von bestimmten Integralen. Er verknüpft die Stammfunktion mit dem Integral und ermöglicht eine effiziente Flächenberechnung.

Beispiel: Für das Integral ∫(x²+x)dx von -1 bis 0 ergibt sich: F(x) = (1/3)x³ + (1/2)x² Integral = F(0) - F(-1) = 0 - (-1/6) = 1/6

Für komplexere Funktionen, wie ∫(x³-5x²+4x)dx, wird das gleiche Prinzip angewendet, wobei die Berechnung entsprechend umfangreicher wird.

Highlight: Der Grafikrechner (GTR) kann für die Berechnung von Integralen genutzt werden. In Klausuren ist es wichtig, den Rechenweg und das Ergebnis korrekt anzugeben.

Bei der Flächenberechnung mit Integralen ist zu beachten:

1. Positive Integrale entsprechen Flächen über der x-Achse.
2. Negative Integrale entsprechen Flächen unter der x-Achse.

Beispiel: Für f(x) = -x² + x + 6 im Intervall [-2, 3] ergibt sich eine Fläche von 20,83 Flächeneinheiten.

Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen ist es wichtig, die Schnittstellen zu bestimmen und das Integral der Differenzfunktion zu bilden.

Beispiel: Für f(x) = x² - x und g(x) = 3x im Intervall [0, 2] beträgt die Fläche zwischen den Graphen 8 Flächeneinheiten.

Die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung in Verbindung mit der Ober- und Untersumme sowie der Kenntnis über Stammfunktionen ermöglicht eine präzise Flächenberechnung in verschiedenen Kontexten der Analysis.