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Integralrechnung

Integralrechnung

 Hauptsatz und Stammfunktionen
Hauptsatz:
b
fixidx [2x] = Ftb). Fla)
(untere (obere
Grenze)
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wichtige Stammfunktionen
f(x)
F(x)
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Charlotte Marie Schwarzfeller

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Hauptsatz und Stammfunktionen Hauptsatz: b fixidx [2x] = Ftb). Fla) (untere (obere Grenze) 1 wichtige Stammfunktionen f(x) F(x) с X x² X-² Sin (x) Cos(x) grenze) xm Wurzeln: x=x 1 4 Fx=x X I wichtig: Polenzgesetze x". "= xnt ・n-m X F(x)=2+1 · X X C. X ²2x² 3x³ 4x4 H -x-1 b -cos(x) sinx 2+1 F(x): Stammfunktion von flx) 4aufleiten Eine Funktion heißt Stammfunktion, wenn gilt: F'(x) = f(x) Faktorregel [{e ] " c.fix) dx = C. F(x) F(b)-c. F(a) = c.F(b)-F(a) f(x) dx Flächenberechnung im Integral 1.Schnitpunkte der Funktionen bestimmen b 2. Prüfen welcher Graph oberhalb verläuft 3. Bestimmung der einzel Flächen Summenregel [P(x) + good dix [Fix) + 6(x1 ] * glx) Flb)+ 6(b)-(Fla)- G(a)) = F(b) + 6(b)- Fla)- G(a) = F(b)- Fla) + 6(b)- 6(a) b b Sfix) dx g(x) dx • glxl-fix) dx Merkregel: obere Funktion - untere Funktion Integral funktion Die Funktion f sei auf einem Integral stetig. integrat zu jeder Zahl ue I heißt die Funktion mit lufficiat mit x & I Integral funktion von f 2ur unteren Grenze u Eigenschaften von Integralfunktionen lulu) = 0 + ly hat Hoch/Tiefpunkt f hat eine Nullstelle ly ist Stammfunktion von f hnung Ober und Untersumme von Integralen Beispiel: [0,b] Un= Å · (0 + f(17) + f (2·-Å)+ £ 13·Å ) + ... + f(n-1 · Å) ↳ Die Untersumme betrachtet die untere grenze °₂³ñ· (f (1) + f (2 · Å) + f 13. A) + f(n² % ) a ↳ Die Obersumme betrachtet die obere grenze b f(x1dx=A₁-A₂ vollständige Induktion n.(n+1) Beweis: 1+2+3...+n=- 1. Indunktionsanfang n=1 = 1= KLAUSUR 30.11.2020 1. (^+^) = ^ V 2 (Gauß'sche summenformel) 2.Indunktionschritt man nimmt an das die Aussage auch für n+1 gilt. 1+2+3... +n+n+₁ = n+₁ ·((n+1) +1] 2 =n·(n+₁) + (n+1) = n+1-((n+^+^) 2 2 =n·(n+^) + 2(n+1) = n² +3n+2 2 2 2 =...

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n² +3n+2 = n² +3n+2 2 2 q.e.d Tipps vollständige Induktion. - erweitern von Brüchen - Zusammenfassen -Pascaleches Dreieck Uneigentliche Integrale Bei der Untersuchung von unbegrenzten Flächen von unbegrenzten Flächen auf einen Inhalt untersucht man integrale mit einer variablen 2 und einer festen Grenze wie: frixidx oder [fixidx auf einen grenz- lim ffix dx bzw. Ilm 2900 200 2 wert für z→+00 bzw. 20, falls für x²0 eine Definitionslücke hat. f fuxi dix Mittelwert b Die Zahl - affix) dx heißt Hittelwert der Funktion f [a,b] b-a a Stammfunktion und Ausgangsfunktion • F(x) = Extremstelle flx) = Nullstelle • Flxd= Wendepunkt = f(x)= Hochpunkt Vergleichszeichen > größer als < kleiner als s kleiner gleich > größer gleich das größere wird vom kleineren aufgegessen

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