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Entdecke die Welt der Integrale: Spannende Regeln und Übungen

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Jennifer

22.5.2021

Mathe

Wassertank-Aufgabe zur Integralrechnung

Entdecke die Welt der Integrale: Spannende Regeln und Übungen

Die Integralrechnung zur Berechnung der Wassermenge in einem Tank wird erläutert, mit Fokus auf die Gesamtänderung Integral und die Rekonstruktion von Funktionen mit Integral.

  • Ein mathematisches Modell beschreibt die Zuflussrate eines Wassertanks über einen Zeitraum von 8 Stunden.
  • Die Gesamtänderung der Wassermenge wird mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet.
  • Die durch das Rohr geflossene Wassermenge wird durch Berechnung des Integrals als orientierter Flächeninhalt ermittelt.
...

22.5.2021

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Philipp, iOS User

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Lena, iOS Userin

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Mathe

429

22. Mai 2021

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Entdecke die Welt der Integrale: Spannende Regeln und Übungen

J

Jennifer

@04_jenniferh.

Die Integralrechnung zur Berechnung der Wassermenge in einem Tank wird erläutert, mit Fokus auf die Gesamtänderung Integral und die Rekonstruktion von Funktionen mit Integral.

  • Ein mathematisches Modell beschreibt die Zuflussrate eines Wassertanks über einen Zeitraum von 8 Stunden.
  • Die... Mehr anzeigen
Integralrechnung: Wassertank
17:13
17.03.21
Math.Modell: f(t)= 0,1t³-1,14+²+3,053+, 0<t≤8
,t=Zeit & f(t)= 1/Stunde (Zuflussrate)
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Integralrechnung: Analyse eines Wassertanks

In diesem Beispiel wird die Integralrechnung angewandt, um die Wassermenge in einem Tank über einen bestimmten Zeitraum zu analysieren. Das mathematische Modell für die Zuflussrate wird durch die Funktion f(t) = 0,1t³ - 1,14t² + 3,053t dargestellt, wobei t die Zeit in Stunden und f(t) die Zuflussrate in Litern pro Stunde angibt.

Berechnung der Gesamtänderung

Um die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank zu bestimmen, wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet.

Definition: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt einen Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration her und ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen.

Folgende Schritte werden durchgeführt:

  1. Eine Stammfunktion F(t) wird gebildet: F(t) = 0,025t⁴ - 0,38t³ + 1,5265t²
  2. Das bestimmte Integral wird berechnet: ∫₀⁸ f(t)dt = F(8) - F(0) = 5,536

Highlight: Die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank während des Untersuchungszeitraums beträgt 5,536 Liter.

Ermittlung der Durchflussmenge

Um die Durchflussmenge Rohr zu berechnen, wird der Graph der Funktion analysiert und die Nullstellen bestimmt.

Vocabulary: Nullstellen sind die Punkte, an denen eine Funktion den Wert Null annimmt.

Die Nullstellen werden mit einem Grafikrechner (GTR) ermittelt: t₀ = 0, t₁ = 4,3, t₂ = 7,1

Anschließend wird das Integral in drei Teilen berechnet:

  1. Von 0 bis 4,3: 6,56 Liter
  2. Von 4,3 bis 7,1: -2,09 Liter (Rückfluss)
  3. Von 7,1 bis 8: 1,05 Liter

Example: Die Durchflussmenge Wasserleitung wird durch Addition der Absolutwerte berechnet: |6,56| + |-2,09| + |1,05| = 9,7 Liter

Highlight: Insgesamt sind etwa 9,7 Liter Wasser durch das Rohr geflossen.

Diese Analyse zeigt, wie Integralrechnung verwendet werden kann, um komplexe Probleme im Bereich der Flüssigkeitsdynamik zu lösen. Die Methode kann auch auf andere Bereiche angewendet werden, wie z.B. die Berechnung von Durchflussmengen in Wasserleitungen oder die Analyse von Durchflussmengen in 1 Zoll Rohren.

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Stefan S

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Sudenaz Ocak

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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