Integralrechnung: Analyse eines Wassertanks
In diesem Beispiel wird die Integralrechnung angewandt, um die Wassermenge in einem Tank über einen bestimmten Zeitraum zu analysieren. Das mathematische Modell für die Zuflussrate wird durch die Funktion f(t) = 0,1t³ - 1,14t² + 3,053t dargestellt, wobei t die Zeit in Stunden und f(t) die Zuflussrate in Litern pro Stunde angibt.
Berechnung der Gesamtänderung
Um die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank zu bestimmen, wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet.
Definition: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt einen Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration her und ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen.
Folgende Schritte werden durchgeführt:
- Eine Stammfunktion F(t) wird gebildet: F(t) = 0,025t⁴ - 0,38t³ + 1,5265t²
- Das bestimmte Integral wird berechnet: ∫₀⁸ f(t)dt = F(8) - F(0) = 5,536
Highlight: Die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank während des Untersuchungszeitraums beträgt 5,536 Liter.
Ermittlung der Durchflussmenge
Um die Durchflussmenge Rohr zu berechnen, wird der Graph der Funktion analysiert und die Nullstellen bestimmt.
Vocabulary: Nullstellen sind die Punkte, an denen eine Funktion den Wert Null annimmt.
Die Nullstellen werden mit einem Grafikrechner (GTR) ermittelt:
t₀ = 0, t₁ = 4,3, t₂ = 7,1
Anschließend wird das Integral in drei Teilen berechnet:
- Von 0 bis 4,3: 6,56 Liter
- Von 4,3 bis 7,1: -2,09 Liter (Rückfluss)
- Von 7,1 bis 8: 1,05 Liter
Example: Die Durchflussmenge Wasserleitung wird durch Addition der Absolutwerte berechnet: |6,56| + |-2,09| + |1,05| = 9,7 Liter
Highlight: Insgesamt sind etwa 9,7 Liter Wasser durch das Rohr geflossen.
Diese Analyse zeigt, wie Integralrechnung verwendet werden kann, um komplexe Probleme im Bereich der Flüssigkeitsdynamik zu lösen. Die Methode kann auch auf andere Bereiche angewendet werden, wie z.B. die Berechnung von Durchflussmengen in Wasserleitungen oder die Analyse von Durchflussmengen in 1 Zoll Rohren.
