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Integralrechnung
11.1.2021
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Allgemeines Vorgehen Bsp: f(x) = x² - 4x Integral rechnung (1) Nullstellen bestimmen. • fid=0 *²(x²²-4)=0 x=O oder -x₁=--2 X₂ O ¹*3=2 x²-4=0·1+4. x² = 4 X =12 (2) Teilintervalle 1. [-210] [₂02] fax)=x²-4x² F(x)=x-x² Jausklammern Stammfunktion Hochzahl + 1 = neue Hochzah!. & unten in Bruch vor x Zahl vor x = oben im Bruch. 4) Integrieren A₁ = ₂√ fix) dx. = -2°5 (x² - 4x²) dx -- [*³-**] 1 . (3·0²-0³) - (4·(2) 5- (-2)³) To 4,27 ·|-4-27/" 4,27 FE. 5) Teilflächen addieren. • Ages = A₁ + A₂ = 4,27 + 4,2F. - 8,54 F.E. . A₂- 4.27 F.E. Ally Bestimmung der Flacho zus 2 Funksionsgraphen a) mit Angabe eines Intervalls [a,b] b) ohne Angabe eines Intervalls →Gesamtfläche zw. den Graphen' a) Ja Aufteilen in Teil intervalle •[ae] [e;b]. (1) Schneiden sich die Graphen auf dem Intervall [a;b]? Vorgehen überprufen," ob es auf [a,b] eine Schnitt- stelle gibt: fix) = g(x) b) Nein 2: Funktion h (x) bilden f(x) = g(x) = h(x) Stamm funktion H (x) bilden oder. 3a A= A₁ + A₂ = + ²[n[x]dx | + | bf h{x) dx " . A = ` | 25*h(x) dx | übernehmen [a, b]. Merke: Schneiden sich die Graphen häufiger als 1mal auf [a; b]] So wird [a, b] auf die entsprechende Anzahl von Teilintervallen aufgespalten. Apa Schnittstellen der Graphen mehr als 2 Schnittstellen Vorgehen f(x) = g(x) für Schnittstellen ·1· a) Betrachte die Schnittstellen & bilde Teilinter calle *[xi; xa ] [x₂iXs]* 2. Funktion h(x) bilden f(x) = g(x) - h(x) ↳ Stamm funktion # (x) bitten oder A» A₁ +. A₂. = [**Sh(x)dx | + | Shrx)dx/ 2 Schnittstellen b). Betrachte die Schnittstellen x & X₂ als [x₁jX₂] 3b ·A=·|*Sh(x)...
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dx | Merke. Gibt es mehr als. 3. Schnittstellen, so werden mit. diesen die entsprechende. Anzahl von. Teilintervallen Stammfunktion allgemein: Hochzahl + 1 = neue Hochzahl & unten im Bruch vor x Zahl vor x = oben im Bruch Bsp: f(x) = F(x)=x² X. 3 Beispiel 1 f(x)=x²³-4x+3 g(x) = 4x +3 <=> x³8x <=> x (x².-8.) ✓. x = 0 [-5;2] 1. Schneiden sich die Graphen auf [-3; 2]?¨ Vorgehen: fix) = g(x) => X³-4x +3 |-4x-3 1x ausklammern oder Schnittstellen: (=> f(x)= x. F(x) = 24 x₁ = 2,83 x₂ = 0 x3 = 2.83 4x +3 x²-8=0 = 8 ==± √ x ±2,83. } liegen wichtig ・pq Formel 1 ± √ (²)² =q^' · Schnittstellen bestimmen durch: f(x) = g(x) (1. Schritt) •h(x) bilden: f(x)-g(x) • Brüche • Wurzeln . ·|+8 15 => [-3; -2183] [-2183;0] [0₁2] im Intervall 2)h(x) bilden f(x)-grx) •Siehe => h²x) = x ³ - 8x H(X)==-xª-4x² 3. Ages A = A₁ + A₂+ A3. hid+ Shixidx | + | 2,83 = 0,25 F.E. Sh(x) dx A₁²| [4x² - 4x²²¹²³ = | ( 4 (-2,83) “ - 4 - (-2,33 )³ ) - ( € (-3) 4 - 4 - (-3) ²) | =| -16 (-15,75) | = | - 0125 | Integrale 2x = [2x] = (Q2:3) = (2:1) = 4. Wurzeln f(x)=√x²=x² F(x) = Hoch Zahl +1 ·+/x 12 f(x)=√x = X F(x) = ₂ ·x²³² = 1·².. FM) = 47 f(x) = ³√x³² = (x Fx)=x²=1² ix Bij 815 Brüche $√x³dx = [â·×³]£ →→ 31/12 ..X. f(x) = ³√2¹ × ³ = (2x³) ³ = 2³. (x³) ³. जर 2. $.x.%. H - (-5) - (2·3¹) 14.83656 ܘܢܝܪ 'X Stammfunktion Stammfunktion F einer Funktion t, ist eine Funktion, deren Ableitung F! der Function of entspricht. Es gibt F₁(x) = f) / Aufleitung von f anbestimmtes. Integrall Sfix)dx einer Funktion & ist die Menger aller Stamm- funktionen von f. Sie unterscheiden sich nur durch einen konstanten Summanden c. bestimmtes Integral So f(x) dx. lst durch 2 Grenzen a&b bes chrieben. Entspricht nach dem Hauptsatzt der Integralrechnung der Differenz der Funktionswerte der intercall- grenzen a & b einer beliebigen Stammifunction von f fix) = 2x² - 4x + 1 F(x) <4-1x² + 1x gra)= 3x³ G(x)