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Integralrechnung, Rotationsvolumen, Exponentialfunktion
16.11.2021
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![INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FnaTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
![INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FnaTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
![INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FnaTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
![INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FnaTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
![INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FnaTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_image_page_5.webp&w=2048&q=75)
INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A. unterhalb der x-Achse f(x)=(x-1) ²²-1 A = √(x-1)^-^) dx | - | [ ³x²³x²]| -A -|(3-2²-2²)-(3-0²-0²)|-|- · 3) A, oberhalb und unterhalb der x-Achee f(x)=x ³-x A = | √(x²-x) dx | - | [ ² x ² - 2 x ² ] | 4 1 ·|(²^²-4-4)-(4-0°-1-0) |· |-4-4-4-4 . (4) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen f(x) = -(x-1)² + 2,5 gCx) = (x-2) ² gal=(-(x-1)² + 2,5) - (x-2)² →→> -axª +6x - 2,5 2.5 [tܡA& +E+%An{ܦܘܐ A=(-2x+6x-2,5 ldx = [- £ × ³+ 3x²- 2,5׸ A₁ A₂ to 0,5 = (- 3 · 2,5 ³ + 3·2,5²- 2,5-2,5) - (- ·95³ +3.05ª. 2,5-0,5) = TE "Sfax ldx = [FGx1]" î ↓ ↑ · F(b)- F(a) Betragestriche = der Betragsstrich wird in Funktionen eines Integrals eingesetzt, wenn das Ergebnis negativ ist (->wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt A= • 1 f fardx | + |_ [faldx | A₁ A₂ Bei einer symmetrischen Funktion, reicht es, nur eine Hälfte & berechnen and diese dann zu verdoppeln. L> 2. "JfGx) dx oder 2: f(x) dx XA Differenzfunktion: +1-g(x). h(x) = f(x) - ROTATIONS. VOLUMEN Bei der Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [a,b] ein Körper mit dem Volumen V = πT. "J (f(x))*² dx f(x) Beispiel f(x) = x-1 1= [0₁2] Ableiten V= π•°³] (x-1³²dx = π·•√√ x²-2×+^ • µ· [...
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§x³- ^xª+^x ]° IT Binomische Formel! • TT. F(2)- F(0) • π · ( 3 ·(²) ³- 4- (2) ² + 4·(2)) - ( § (0) ³-1 (01²+ 1 (0)) *T() (0) TT. (for) ist der Flächeninhalt der Querschwillefläche an der Stelle x 2,09 EXPONENTIOLTUNKTION. f(x)= a.b*. Anfangsbestand/ Schnidstelle mit der g-Achee f(x)=e* fuxl.e-* -Wachstumsfaktor NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION DES gilt 3. f'al=e* Beispiel a) faxl-e* +1 b) fal·e* + x² + x +^ f'(x)=e* f'(x)=e* + 2x + 1 faxl.e f'(x)= k·ekr f(x)=e* Beispiel f(x)=e³x+5 f'(x)=3e³x+5 faxl=ekx+m f(x)= k·ekx+m ARLEITUNG NATÜRLICHE EXPONEN Je kx + m dx = 1ekx + ·3x+7 dx = 3e Je ³x+ -strengmonotonwachsend D.R · W.R*/{0} lim e* 00 ·½ ³4+7 f'(x)=e* - f'(0) = 1 · fe* dx=e*+C - lim e* = 0 -> waagerechte Asymptotex-Achse *x->00 c) f(x) = e¯* + 3 f'(x)=e** Wiederholung Logarithmus +C *+c=\_°√ (e²¹ +2²) dx = [â£e ª² + ax ]°m = F(0) - F(-1) ⠀ X. 109 2 (8) 3 Logarithmus von 8 zur Basis 2 diejenige zani mit der man 2 potenzieren muss um 8 zu erhalten TION ARLEITUNG MIT HILFEDERS f(x1= 6* f'(x)=(n (b). b* Beispiel f(x) = 2.3* f'(x)= 2.0 (3) 3* NATÜRLICHE 20 | faxl=e*. 5- 3. 2- ^- rou (410) f(x)=3*- e* f'(x) en (3) 3*-e* Beispiel a) e * = 2/en () x = ln (2 x = 0₁7, f(x+ln(x)* b) e^³x - 2 = 0 (+2 A.5x e 1,5x 1,5x = (n (2) en (2) A₁5 X= ITINIK AS F -0,46% • D -Qim On (x)=-00 •Spiegelung von e² an der 1. Winkelhalbierenden Umkehrfunktion von et INKTION - lim n(x) = +00 strengmonoton wachsend -D.R*1203 •W=R -0<x< 1.en (x) KETTENREGELI f(x)= u(v(x)) f'(x)= a (v(x)). v'(x). Beispiel f(x)=e+²+5x²² a(x)=e* v(x)= x³ + 5x² a'al=e* vx)= 3x² + 40x f'(x)=e*³+5¹² · (3xª³+ 10× PRODUKTREGEL. f(x) = u(x). v(x) f'(x)= u(x)•v(x) +v'(x). u(x) Beispiel f(x)= (5x-α²).ex a(x) = 5x-2 a '(x) = 5 f'&l=5·e* + e** (5x-2) Nullstellen f(x1=0 v(x)= e** v'G) =e** Extremetellen: f'(x)=0 ↓ f(x)= (3-X²²)³ u(x)= x³ v6x1=3-x²² a '(x)= 3x² v'(x) = -2x f'(x)=3-(3-x²)² (2x), f(x) = (₂x+1).e^** u(x1=2x+1 √(x)=e^-* a'(x) = 2 v'(x)= x f'(x)=2·e (2x+1) · @^-* Ergebnisse in f'(x) seteen (z.B f" (2).... ) L> negatives Ergebnis - HP positives Ergebnis = TP ↓ in fox) einsetzen um x zu bekommen Werdestellen f"(x)=0 f"(x1+0. f(x)=10.x²²e-0₁2²x a(x) = 10.x²² v(x)=e-Onix a²(x)=20x v²Gxl=e-02²4 f'(x)=20x-e-0₁2²x + 10.x²²e-0,2x. dann erst wendestelle