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Integralrechnung, Rotationsvolumen, Exponentialfunktion
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Jule
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Integralrechnung, Rotationsvolumen, Exponentialfunktion
![INTEGRALRECHNUNG
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1) ³² + 1
A-JC-Cr-A) ² + 1) dx = [- $₁²+x² ]
A=
8
= (- §³ · 2²³ + 2 ² ) - ( - ¼ · 0²³](https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/naTiTLCUqCKPGIMGJnvJ_PREVIEW_SMALL.webp)
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INTEGRALRECHNUNG 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1) ³² + 1 A-JC-Cr-A) ² + 1) dx = [- $₁²+x² ] A= 8 = (- §³ · 2²³ + 2 ² ) - ( - ¼ · 0²³ + 0 ²³ ) = 3 TE ₁ (2) A. unterhalb der x-Achse. f(x)= (x-1) ³²-1 2 A = √(₁-1)²-₁) dr || [ $₁²-I| · | ( §· 2²³-2ª ) - ( § · 0²-0² -0²-0² ) | - | - | - | F E ₁ 3) A, oberhalb und unterhalb der x-Achee f(x) = x ³ x A = | ~ √(x²-x) dx | - | [ ² × ² - 1 × 2 X ax ·|-²-4-4)-(4-0²-2-0)|- |-|-4-4-4 1 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen f(x) = -(x-1) ² + 2,5 g(x) = (x-2) ² gurl= (-(x-1) ª +2,5) - (x−2)² → - 2x² + 6x - 2,5 2,5 A =^"] (-2x²+6x-2,5 ) dx = [¹ §x²+ 3x²- 2,5x 125 J 0,5 0,5 L ->X A₁ FE, ->X =(-2,5³ +3.2.5-2.5-2,5)-(-·95³ +3.95² 2.5.0.5) - FE₂ ->x ->X →> [faxldx = [F(x)] ↑ 个 = F(b) - F(a). Betragestriche 8 = der Betragestrich wird in Funktionen eines Integrals eingesetzt, wenn das Ergebnis negativ ist (-> wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt A = | | faldx | + |_ [faldx | Ал A₂ Bei einer symmetrischen Funktion, reicht es, nur eine Hälfte zu berechnen und diese dann zu verdoppeln. ↳> 2. JfGxldr oder of: JfGx) dx XA Differenzfunktion: hax) = f(x)-g(x) ROTATIONSVOLUMEN Bei der Rotation der Fläche zwischen dem Graphen...
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von f und der x-Achse über [a,b] ein Körper mit dem Volumen V= TT. • J (f(x)) ² f(x) 4 ->x X Beispiel: dr f(x)= x-1 1= [0₁2] Ableiten V= πT•°³][(x-AÏ%dx = π•°³√x²-2x+^ • M· [ 3x³- ^x*+^x ]°³ 3. I Binomische Forme!! = πT. F(2) - FCO) ² π · ( ĝ · (2) ³ - ^· (2) ª² + 1· (2)) - ( ¹ (0) ³ - 1 (0)² + 1·60)) ²π·( ) - (0) T. (f(x)) ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche an der Stellex • 2,09 EXPONENTIOLTUNKTION f(x)= a.b*-Wachstumsfaktor / Anfangsbestand/ Schnittstelle mit der ·y-Achse NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION gilt f(x)=ex f(x1=e** f'Gl=e* f(x)=ek.x f'(x) = k·ekr f(x)=e* Beispiel f(x1=e³x+5 f'(x)= 3e3+5 -strengmonotonwachsend D. R - WW=R* / {0} lim : 00 Beispiel a) f(x)=e*+1 b) faxl=e* + x² + x +1 c) f(x)=²* +3 f'(x)=ex f'(x)=e* + 2x + 1 f'(x)= ex kx+m faxl=etx. f'(x)= kekx+m - f'(x)=e+ - f'(0) = 1 • Sexdx=e* +C - lim e*- 0 -> waagerechte Asymptotex-Achse -X-00 ARLEITUNG NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION kx+m dx = 1ekx+m wiederholung Logarithmus X = 8 +C ²³ 3x+7 Se ²³x+7 dx = ¾e ³*+* +C √(e²ª* +2²) dx = [£e ª² + ax] ²°₁ F(0)-F(-1) 8 X 109 2 (8) 3 Logarithmus von 8 zur Basis 2 diejenige zanı mit der man 2 potenzieren muss um 8 zu erhalten ARLEITUNG MIT HILFE DER & FUNKTION f(x)=6* f'(x) = (n (b). b* Beispiel f(x) = 22.3* 8 f'(x)= 22. en (3)-3* NATÜRLICHE LOGARITHMUSTUNKTION | faxl=et 6- 5- 2- hous (110) f(x)=3*-e* f'(x) en (3). 3*-e* Beispiel a) ex = 2/en () x = ln (2 0₁7/ f (x)=(n(x) • 4 b) e 1.5x X= ·2=0| +2 e 1,5x = 2 |en () 1,5x = en (2₂) -0,46% en (2) A₁5 ·lim On (x)=-00 lim en (x)=+∞0 strengmonoton wachsend -D.R* / 203 -W=R -0<x< 1:en (x) von et an der 1. Winkel halbierenden Spiegelung Umkehrfunktion von ex KETTENREGEL f(x)= a(v(x)). f'(x) = a₁¹(v(x)). v'(x) Beispiel f(x)=e+ ² + 5x²² 3 a(x)=e* v(x)= x ³ + 5x² a'(x)=e* v'(x) = 3x² + 10× f'(x)=ex ³ + 5+² · (3x² + 10x PODUKTREGEL. f(x1= u(x). v(x) f'(x)=u²(x) • v(x) +v'(x). u(x) Beispiel f(x) = (5x-2).ex u(x)=5x-2 a '(x) = 5 f'Gl=5.e-* + e*-(5x-2) Nullstellen f(x)=0 )/, v(x)= ex v'(x) =e** Extremetellen: f'(x)=0 ↓ f(x)= (3-x²)³ a(x)=x3 v6x1=3-x²² a '(x) = 3x²² v'(x) = 2x - f'(x). 3. (3-x²) ². (-2x), f(x) = (₂x+1). e^-2 u(x)=2x+1 √(x)=e^-* u'(x) = 2 v'(x)=e^- · f '(x) = 2 ·e^-*・ (2x+1). e^-* Ergebnisse in f(x) seteen (z.B f" (2).... ) · negatives Ergebnis = HP positives Ergebuis = тр in f(x) einsetzen um x zu bekommen Wendestellen f"(x)=0 f" (x1 +0 -0,2x a(x)= 10.x²² v(x) = e =0,02x a'(x) = 20x viaxl=e-0,22x +10.+².e-0,2+ f(x)=10.x².e f'(x)=20x²·e·0₁2x dann erst wendestelle
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INTEGRALRECHNUNG 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1) ³² + 1 A-JC-Cr-A) ² + 1) dx = [- $₁²+x² ] A= 8 = (- §³ · 2²³ + 2 ² ) - ( - ¼ · 0²³ + 0 ²³ ) = 3 TE ₁ (2) A. unterhalb der x-Achse. f(x)= (x-1) ³²-1 2 A = √(₁-1)²-₁) dr || [ $₁²-I| · | ( §· 2²³-2ª ) - ( § · 0²-0² -0²-0² ) | - | - | - | F E ₁ 3) A, oberhalb und unterhalb der x-Achee f(x) = x ³ x A = | ~ √(x²-x) dx | - | [ ² × ² - 1 × 2 X ax ·|-²-4-4)-(4-0²-2-0)|- |-|-4-4-4 1 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen f(x) = -(x-1) ² + 2,5 g(x) = (x-2) ² gurl= (-(x-1) ª +2,5) - (x−2)² → - 2x² + 6x - 2,5 2,5 A =^"] (-2x²+6x-2,5 ) dx = [¹ §x²+ 3x²- 2,5x 125 J 0,5 0,5 L ->X A₁ FE, ->X =(-2,5³ +3.2.5-2.5-2,5)-(-·95³ +3.95² 2.5.0.5) - FE₂ ->x ->X →> [faxldx = [F(x)] ↑ 个 = F(b) - F(a). Betragestriche 8 = der Betragestrich wird in Funktionen eines Integrals eingesetzt, wenn das Ergebnis negativ ist (-> wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt A = | | faldx | + |_ [faldx | Ал A₂ Bei einer symmetrischen Funktion, reicht es, nur eine Hälfte zu berechnen und diese dann zu verdoppeln. ↳> 2. JfGxldr oder of: JfGx) dx XA Differenzfunktion: hax) = f(x)-g(x) ROTATIONSVOLUMEN Bei der Rotation der Fläche zwischen dem Graphen...
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von f und der x-Achse über [a,b] ein Körper mit dem Volumen V= TT. • J (f(x)) ² f(x) 4 ->x X Beispiel: dr f(x)= x-1 1= [0₁2] Ableiten V= πT•°³][(x-AÏ%dx = π•°³√x²-2x+^ • M· [ 3x³- ^x*+^x ]°³ 3. I Binomische Forme!! = πT. F(2) - FCO) ² π · ( ĝ · (2) ³ - ^· (2) ª² + 1· (2)) - ( ¹ (0) ³ - 1 (0)² + 1·60)) ²π·( ) - (0) T. (f(x)) ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche an der Stellex • 2,09 EXPONENTIOLTUNKTION f(x)= a.b*-Wachstumsfaktor / Anfangsbestand/ Schnittstelle mit der ·y-Achse NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION gilt f(x)=ex f(x1=e** f'Gl=e* f(x)=ek.x f'(x) = k·ekr f(x)=e* Beispiel f(x1=e³x+5 f'(x)= 3e3+5 -strengmonotonwachsend D. R - WW=R* / {0} lim : 00 Beispiel a) f(x)=e*+1 b) faxl=e* + x² + x +1 c) f(x)=²* +3 f'(x)=ex f'(x)=e* + 2x + 1 f'(x)= ex kx+m faxl=etx. f'(x)= kekx+m - f'(x)=e+ - f'(0) = 1 • Sexdx=e* +C - lim e*- 0 -> waagerechte Asymptotex-Achse -X-00 ARLEITUNG NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION kx+m dx = 1ekx+m wiederholung Logarithmus X = 8 +C ²³ 3x+7 Se ²³x+7 dx = ¾e ³*+* +C √(e²ª* +2²) dx = [£e ª² + ax] ²°₁ F(0)-F(-1) 8 X 109 2 (8) 3 Logarithmus von 8 zur Basis 2 diejenige zanı mit der man 2 potenzieren muss um 8 zu erhalten ARLEITUNG MIT HILFE DER & FUNKTION f(x)=6* f'(x) = (n (b). b* Beispiel f(x) = 22.3* 8 f'(x)= 22. en (3)-3* NATÜRLICHE LOGARITHMUSTUNKTION | faxl=et 6- 5- 2- hous (110) f(x)=3*-e* f'(x) en (3). 3*-e* Beispiel a) ex = 2/en () x = ln (2 0₁7/ f (x)=(n(x) • 4 b) e 1.5x X= ·2=0| +2 e 1,5x = 2 |en () 1,5x = en (2₂) -0,46% en (2) A₁5 ·lim On (x)=-00 lim en (x)=+∞0 strengmonoton wachsend -D.R* / 203 -W=R -0<x< 1:en (x) von et an der 1. Winkel halbierenden Spiegelung Umkehrfunktion von ex KETTENREGEL f(x)= a(v(x)). f'(x) = a₁¹(v(x)). v'(x) Beispiel f(x)=e+ ² + 5x²² 3 a(x)=e* v(x)= x ³ + 5x² a'(x)=e* v'(x) = 3x² + 10× f'(x)=ex ³ + 5+² · (3x² + 10x PODUKTREGEL. f(x1= u(x). v(x) f'(x)=u²(x) • v(x) +v'(x). u(x) Beispiel f(x) = (5x-2).ex u(x)=5x-2 a '(x) = 5 f'Gl=5.e-* + e*-(5x-2) Nullstellen f(x)=0 )/, v(x)= ex v'(x) =e** Extremetellen: f'(x)=0 ↓ f(x)= (3-x²)³ a(x)=x3 v6x1=3-x²² a '(x) = 3x²² v'(x) = 2x - f'(x). 3. (3-x²) ². (-2x), f(x) = (₂x+1). e^-2 u(x)=2x+1 √(x)=e^-* u'(x) = 2 v'(x)=e^- · f '(x) = 2 ·e^-*・ (2x+1). e^-* Ergebnisse in f(x) seteen (z.B f" (2).... ) · negatives Ergebnis = HP positives Ergebuis = тр in f(x) einsetzen um x zu bekommen Wendestellen f"(x)=0 f" (x1 +0 -0,2x a(x)= 10.x²² v(x) = e =0,02x a'(x) = 20x viaxl=e-0,22x +10.+².e-0,2+ f(x)=10.x².e f'(x)=20x²·e·0₁2x dann erst wendestelle
So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!