Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

550

•

16. Nov. 2021

•

5 Seiten

Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Jule

@juleee.rg04

Integralrechnung und Exponentialfunktionen sind zentrale Themen der höheren Mathematik. Diese... Mehr anzeigen

INTEGRALRECHNUNG.
1) A, oberhalb der x-Achse
f(x) = (x-1)² + 1
A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²]
= (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6
(2) A

Rotational Volumes

This page focuses on calculating the volume of rotational solids formed by rotating a region bounded by a function and the x-axis around the x-axis.

Definition: The volume of a rotational solid is given by the formula V = π ∫ $f(x)$ ² dx, where f $x$ is the function being rotated.

The page provides a detailed example of calculating the rotational volume for the function f $x$ = x - 1 over the interval $0, 2$ .

Example: For f $x$ = x - 1, the volume is calculated using V = π ∫ $x - 1$ ² dx, which is then solved step-by-step.

Highlight: The formula π $f(x)$ ² represents the area of the circular cross-section at any given point x.

This concept is crucial for understanding Rotationskörper Aufgaben mit Lösungen PDF $rotational body problems with solutions PDF$ and Rotationsvolumen Rechner $rotational volume calculator$ applications.

Exponential Functions

This page delves into exponential functions, with a focus on the natural exponential function e^x.

Definition: The general form of an exponential function is f $x$ = a·b^x, where 'a' is the initial value and 'b' is the growth factor.

Key properties of the natural exponential function e^x are discussed:

f' $x$ = e^x $the derivative of e^x is itself$
It is strictly monotonically increasing
Its domain is all real numbers, and its range is all positive real numbers

Example: For f $x$ = e^x + 1, the derivative is f' $x$ = e^x.

The page also covers the Ableitung Exponentialfunktion $derivative of exponential function$ for various forms:

f $x$ = e^kx: f' $x$ = k·e^kx
f $x$ = e^ $kx+m$ : f' $x$ = k·e^ $kx+m$

Highlight: The natural exponential function is crucial in calculus due to its unique property of being its own derivative.

This section is particularly useful for understanding Ableitung Exponentialfunktion Beweis $proof of exponential function derivative$ and Ableitung Exponentialfunktion Rechner $exponential function derivative calculator$ concepts.

Derivatives of Exponential Functions

This page expands on the derivatives of exponential functions, focusing on the natural logarithm and general exponential functions.

Definition: For a general exponential function f $x$ = b^x, the derivative is f' $x$ = ln $b$ · b^x.

The page provides examples of finding derivatives for various exponential functions:

f $x$ = 2 · 3^x: f' $x$ = 2 · ln $3$ · 3^x
f $x$ = 3^x - e^x: f' $x$ = ln $3$ · 3^x - e^x

Vocabulary: The natural logarithm $ln$ is the inverse function of e^x and plays a crucial role in exponential derivatives.

The page also includes a brief review of logarithms and their properties, which is essential for understanding ableitung exponentialfunktion a^x herleitung $derivation of exponential function a^x derivative$ .

Highlight: The natural logarithm function ln $x$ is the inverse of e^x and has important properties such as lim $x→0+$ ln $x$ = -∞ and lim $x→+∞$ ln $x$ = +∞.

This information is particularly useful for solving problems related to Ableitung Exponentialfunktion ohne e $derivative of exponential function without e$ and understanding the Ableitung Exponentialfunktion Graph $graph of exponential function derivative$ .

Advanced Derivative Rules

This final page covers advanced derivative rules, specifically the chain rule and product rule, which are essential for differentiating complex exponential and logarithmic functions.

Definition: The chain rule states that for f $x$ = u $v(x$ ), the derivative is f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$ .

Definition: The product rule states that for f $x$ = u $x$ · v $x$ , the derivative is f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + v' $x$ · u $x$ .

The page provides several examples applying these rules to exponential and logarithmic functions:

Chain Rule Example: f $x$ = e^ $x³ + 5x²$
Product Rule Example: f $x$ = $5x - 2$ · e^x

Example: For f $x$ = e^ $x³ + 5x²$ , using the chain rule, f' $x$ = e^ $x³ + 5x²$ · $3x² + 10x$

The page also covers finding critical points, including:

Zeros: f $x$ = 0
Extrema: f' $x$ = 0
Inflection points: f'' $x$ = 0

Highlight: These advanced rules are crucial for solving complex problems involving Rotationskörper Integral Aufgaben $rotational body integral problems$ and Fläche zwischen zwei Graphen Aufgaben mit Lösungen $area between two graphs problems with solutions$ .

This section provides valuable insights for tackling advanced calculus problems and understanding the behavior of complex functions.

Integral Calculus: Area Calculations

This page introduces various methods for calculating areas using integral calculus. It covers areas above and below the x-axis, as well as areas between two function graphs.

Definition: The area between two functions can be calculated using the integral of the difference between the functions.

The page presents four main scenarios for area calculations:

Area above the x-axis
Area below the x-axis
Area both above and below the x-axis
Area between two function graphs

Example: For the area between two function graphs, the formula A = ∫ $f(x) - g(x)$ dx is used, where f $x$ and g $x$ are the two functions.

Highlight: When dealing with areas below the x-axis, absolute value signs are used in the integral to ensure a positive result.

Vocabulary: "Betragsstriche" $absolute value signs$ are used in integrals when the result would be negative, typically for areas below the x-axis.

The page also mentions that for symmetric functions, calculating half the area and doubling the result can be an efficient approach.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Mathe

•

550

•

16. Nov. 2021

•

5 Seiten

Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

Jule

@juleee.rg04

Integralrechnung und Exponentialfunktionen sind zentrale Themen der höheren Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Integralrechnung unterhalb der x-Achse, Volumen durch Rotationskörper berechnen und die Kettenregel bei natürlichen Exponentialfunktionen.

Integralrechnung wird für Flächenberechnungen über und unter der x-Achse... Mehr anzeigen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Rotational Volumes

This page focuses on calculating the volume of rotational solids formed by rotating a region bounded by a function and the x-axis around the x-axis.

Definition: The volume of a rotational solid is given by the formula V = π ∫ $f(x)$ ² dx, where f $x$ is the function being rotated.

The page provides a detailed example of calculating the rotational volume for the function f $x$ = x - 1 over the interval $0, 2$ .

Example: For f $x$ = x - 1, the volume is calculated using V = π ∫ $x - 1$ ² dx, which is then solved step-by-step.

Highlight: The formula π $f(x)$ ² represents the area of the circular cross-section at any given point x.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Exponential Functions

This page delves into exponential functions, with a focus on the natural exponential function e^x.

Definition: The general form of an exponential function is f $x$ = a·b^x, where 'a' is the initial value and 'b' is the growth factor.

Key properties of the natural exponential function e^x are discussed:

f' $x$ = e^x $the derivative of e^x is itself$
It is strictly monotonically increasing
Its domain is all real numbers, and its range is all positive real numbers

Example: For f $x$ = e^x + 1, the derivative is f' $x$ = e^x.

The page also covers the Ableitung Exponentialfunktion $derivative of exponential function$ for various forms:

f $x$ = e^kx: f' $x$ = k·e^kx
f $x$ = e^ $kx+m$ : f' $x$ = k·e^ $kx+m$

Highlight: The natural exponential function is crucial in calculus due to its unique property of being its own derivative.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Derivatives of Exponential Functions

This page expands on the derivatives of exponential functions, focusing on the natural logarithm and general exponential functions.

Definition: For a general exponential function f $x$ = b^x, the derivative is f' $x$ = ln $b$ · b^x.

The page provides examples of finding derivatives for various exponential functions:

f $x$ = 2 · 3^x: f' $x$ = 2 · ln $3$ · 3^x
f $x$ = 3^x - e^x: f' $x$ = ln $3$ · 3^x - e^x

Vocabulary: The natural logarithm $ln$ is the inverse function of e^x and plays a crucial role in exponential derivatives.

Highlight: The natural logarithm function ln $x$ is the inverse of e^x and has important properties such as lim $x→0+$ ln $x$ = -∞ and lim $x→+∞$ ln $x$ = +∞.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Advanced Derivative Rules

This final page covers advanced derivative rules, specifically the chain rule and product rule, which are essential for differentiating complex exponential and logarithmic functions.

Definition: The chain rule states that for f $x$ = u $v(x$ ), the derivative is f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$ .

Definition: The product rule states that for f $x$ = u $x$ · v $x$ , the derivative is f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + v' $x$ · u $x$ .

The page provides several examples applying these rules to exponential and logarithmic functions:

Chain Rule Example: f $x$ = e^ $x³ + 5x²$
Product Rule Example: f $x$ = $5x - 2$ · e^x

Example: For f $x$ = e^ $x³ + 5x²$ , using the chain rule, f' $x$ = e^ $x³ + 5x²$ · $3x² + 10x$

The page also covers finding critical points, including:

Zeros: f $x$ = 0
Extrema: f' $x$ = 0
Inflection points: f'' $x$ = 0

Highlight: These advanced rules are crucial for solving complex problems involving Rotationskörper Integral Aufgaben $rotational body integral problems$ and Fläche zwischen zwei Graphen Aufgaben mit Lösungen $area between two graphs problems with solutions$ .

This section provides valuable insights for tackling advanced calculus problems and understanding the behavior of complex functions.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Integral Calculus: Area Calculations

This page introduces various methods for calculating areas using integral calculus. It covers areas above and below the x-axis, as well as areas between two function graphs.

Definition: The area between two functions can be calculated using the integral of the difference between the functions.

The page presents four main scenarios for area calculations:

Area above the x-axis
Area below the x-axis
Area both above and below the x-axis
Area between two function graphs

Example: For the area between two function graphs, the formula A = ∫ $f(x) - g(x)$ dx is used, where f $x$ and g $x$ are the two functions.

Highlight: When dealing with areas below the x-axis, absolute value signs are used in the integral to ensure a positive result.

Vocabulary: "Betragsstriche" $absolute value signs$ are used in integrals when the result would be negative, typically for areas below the x-axis.

The page also mentions that for symmetric functions, calculating half the area and doubling the result can be an efficient approach.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

Rotational Volumes

Exponential Functions

Derivatives of Exponential Functions

Advanced Derivative Rules

Integral Calculus: Area Calculations

Ähnliche Inhalte

Exponentielles Wachstum

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Abitur 2023 Mündliche Zusammenfassung aller Themen Prüfung GK NRW

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5

Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Rotational Volumes

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Exponential Functions

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Derivatives of Exponential Functions

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Advanced Derivative Rules

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Integral Calculus: Area Calculations

Ähnliche Inhalte

Exponentielles Wachstum

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Abitur 2023 Mündliche Zusammenfassung aller Themen Prüfung GK NRW

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5