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1.481
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12. Dez. 2025
•
Fabian
@_fabian_
Exponential- und Logarithmusfunktionen begegnen dir überall - vom Zinseszins bis... Mehr anzeigen
Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = c · aˣ und sind echte Alleskönner in der Mathematik. Wenn a > 1 ist, beschreibst du exponentielles Wachstum - wenn a < 1 ist, modellierts du exponentiellen Zerfall.
Die Euler'sche Zahl e ≈ 2,71828 ist dabei besonders wichtig, weil sie eine einzigartige Eigenschaft hat: Die Funktion f(x) = eˣ ist ihre eigene Ableitung! Das macht Berechnungen super praktisch.
Bei der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = eˣ funktioniert das Ableiten nach gewohnten Regeln. Vergiss nur nicht die Kettenregel bei zusammengesetzten Funktionen - wie bei f(x) = 5e⁻²ˣ wird f'(x) = -10e⁻²ˣ.
Merktipp: eˣ bleibt beim Ableiten immer eˣ - nur eventuelle Vorfaktoren aus der Kettenregel kommen dazu!
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist dein Schlüssel zum Lösen von Exponentialgleichungen. Er ist quasi das "Gegenteil" der e-Funktion - mathematisch gesagt ihre Umkehrfunktion.
Die wichtigsten Eigenschaften sind e^ln(b) = b und ln = c. Diese helfen dir beim Vereinfachen von Ausdrücken wie ln = ln(e⁻¹) = -1.
Exponentialgleichungen löst du, indem du beide Seiten logarithmierst. Aus e²ˣ = 5 wird durch Anwenden des ln: 2x = ln(5), also x = ln(5)/2. Achte darauf, dass eˣ immer positiv ist - Gleichungen wie eˣ = -1 haben keine Lösung!
Der Graph der e-Funktion hat die x-Achse als Asymptote - er nähert sich ihr an, berührt sie aber nie. Das ist wichtig für Grenzwertbetrachtungen und Funktionsanalysen.
Praxistipp: Faktorisieren hilft oft bei komplizierteren Exponentialgleichungen - wie bei e²ˣ - 3·eˣ = 0!
Bei der Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen gehst du systematisch vor: Erst ableitst du (manchmal bis zur dritten Ableitung), dann suchst du Nullstellen der Ableitungen für Extrem- und Wendepunkte.
Für f(x) = 8x·e⁻ˣ findest du durch f'(x) = 0 die Extremstelle x = 1. Das Vorzeichenkriterium mit f''(1) < 0 zeigt dir, dass es ein Maximum ist. Wendepunkte suchst du über f''(x) = 0.
Grenzwertverhalten ist bei Exponentialfunktionen besonders spannend: Die e-Funktion "gewinnt" immer gegen Polynome. Für x → ∞ gilt x^n/e^x → 0, egal wie groß n ist.
Funktionsscharen entstehen, wenn Parameter wie t im Funktionsterm stehen. Jeder Wert von t ergibt eine andere Funktion der Schar - perfekt für Modellierungen in der Realität.
Wichtig: Bei Symmetrieuntersuchungen prüfst du f = f(x) für Achsensymmetrie und f = -f(x) für Punktsymmetrie!
Die Logarithmusfunktion g(x) = ln(x) ist das Spiegelbild der e-Funktion an der Winkelhalbierenden. Ihr Definitionsbereich ist R⁺ (nur positive Zahlen!), während der Wertebereich ganz R umfasst.
Ihre Ableitung ist g'(x) = 1/x - diese Formel brauchst du ständig! Die ln-Funktion hat bei x = 0 eine senkrechte Asymptote und schneidet die x-Achse bei (1|0).
Wachstumsvorgänge modellierst du mit wichtigen Kenngrößen: Der Wachstumsfaktor a = f/f(t) bleibt konstant, die Wachstumskonstante k = ln(a). Verdopplungszeit und Halbwertszeit berechnest du über T = ln(2)/k.
Beschränktes Wachstum folgt dem Modell f(t) = S - c·e⁻ᵏᵗ. Hier nähert sich der Wert einer Schranke S an - typisch für Lernkurven oder Sättigungsprozesse in der Natur.
Anwendungstipp: Beschränktes Wachstum erkennst du daran, dass ein Grenzwert existiert, dem sich die Funktion asymptotisch nähert!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Fabian
@_fabian_
Exponential- und Logarithmusfunktionen begegnen dir überall - vom Zinseszins bis zum radioaktiven Zerfall. Diese mathematischen Werkzeuge helfen dir dabei, natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse zu verstehen und zu berechnen.
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Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = c · aˣ und sind echte Alleskönner in der Mathematik. Wenn a > 1 ist, beschreibst du exponentielles Wachstum - wenn a < 1 ist, modellierts du exponentiellen Zerfall.
Die Euler'sche Zahl e ≈ 2,71828 ist dabei besonders wichtig, weil sie eine einzigartige Eigenschaft hat: Die Funktion f(x) = eˣ ist ihre eigene Ableitung! Das macht Berechnungen super praktisch.
Bei der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = eˣ funktioniert das Ableiten nach gewohnten Regeln. Vergiss nur nicht die Kettenregel bei zusammengesetzten Funktionen - wie bei f(x) = 5e⁻²ˣ wird f'(x) = -10e⁻²ˣ.
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Der natürliche Logarithmus ln(x) ist dein Schlüssel zum Lösen von Exponentialgleichungen. Er ist quasi das "Gegenteil" der e-Funktion - mathematisch gesagt ihre Umkehrfunktion.
Die wichtigsten Eigenschaften sind e^ln(b) = b und ln = c. Diese helfen dir beim Vereinfachen von Ausdrücken wie ln = ln(e⁻¹) = -1.
Exponentialgleichungen löst du, indem du beide Seiten logarithmierst. Aus e²ˣ = 5 wird durch Anwenden des ln: 2x = ln(5), also x = ln(5)/2. Achte darauf, dass eˣ immer positiv ist - Gleichungen wie eˣ = -1 haben keine Lösung!
Der Graph der e-Funktion hat die x-Achse als Asymptote - er nähert sich ihr an, berührt sie aber nie. Das ist wichtig für Grenzwertbetrachtungen und Funktionsanalysen.
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Für f(x) = 8x·e⁻ˣ findest du durch f'(x) = 0 die Extremstelle x = 1. Das Vorzeichenkriterium mit f''(1) < 0 zeigt dir, dass es ein Maximum ist. Wendepunkte suchst du über f''(x) = 0.
Grenzwertverhalten ist bei Exponentialfunktionen besonders spannend: Die e-Funktion "gewinnt" immer gegen Polynome. Für x → ∞ gilt x^n/e^x → 0, egal wie groß n ist.
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Die Logarithmusfunktion g(x) = ln(x) ist das Spiegelbild der e-Funktion an der Winkelhalbierenden. Ihr Definitionsbereich ist R⁺ (nur positive Zahlen!), während der Wertebereich ganz R umfasst.
Ihre Ableitung ist g'(x) = 1/x - diese Formel brauchst du ständig! Die ln-Funktion hat bei x = 0 eine senkrechte Asymptote und schneidet die x-Achse bei (1|0).
Wachstumsvorgänge modellierst du mit wichtigen Kenngrößen: Der Wachstumsfaktor a = f/f(t) bleibt konstant, die Wachstumskonstante k = ln(a). Verdopplungszeit und Halbwertszeit berechnest du über T = ln(2)/k.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie praxisnahe Anwendungsaufgaben zu exponentiellen Funktionen, einschließlich Wachstums- und Zerfallsprozessen. Diese Zusammenstellung behandelt wichtige Konzepte wie die natürliche Exponentialfunktion, logarithmische Beziehungen und deren Anwendung in biologischen Systemen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Konzepte des exponentiellen Wachstums und der exponentiellen Abnahme, einschließlich der Halbwertszeit, Verdopplungszeit und der prozentualen Wachstums- und Abnahmerate. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Veranschaulichung der Exponentialfunktionen.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Mathematik in der 10. Klasse, einschließlich Exponential- und Logarithmusfunktionen, deren Eigenschaften, Transformationen und Verhaltensweisen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten. Themen: Exponentialfunktionen, Logarithmen, trigonometrische Funktionen, und mehr.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen von Exponentialfunktionen und Logarithmen. Diese Zusammenfassung behandelt lineares und exponentielles Wachstum, die Lösung von Exponentialgleichungen sowie die Anwendung in der Finanzmathematik. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis für Wachstums- und Zerfallsprozesse entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der e-Funktionen und ln-Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Eigenschaften, Ableitungen, Asymptoten und Anwendungsbeispiele, um das Verständnis für natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und der Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Wachstumsfaktoren und graphische Darstellungen. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Klassenarbeiten vorbereiten oder ihr Wissen über exponentielles Wachstum vertiefen möchten.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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