Fächer
Bedeutende Theaterstücke der deutschen Literatur
Deutsche Kulturelle Identität
Deutsche Dichter und Lyrik
Deutsche Bildungsliteratur
Goethes Hauptwerke
Deutsche Kunstströmungen und Bewegungen
Deutsche Kurzgeschichten der Nachkriegszeit
Deutsche Sprachgrundlagen
Kafkas Hauptwerke
Moderne Deutsche Familienstrukturen
Alle Themen anzeigen
Neuronale Kommunikationssysteme
RNA-Biologie und Genexpression
Zellulärer Energiestoffwechsel
Autotrophe Energieprozesse
Membranumschlossene Organellen
Ökologische Systeme und Wechselwirkungen
DNA-Replikation und -Reparatur
Organsysteme des Menschen
Vererbungsmuster und Vererbungsprinzipien
Enzymstruktur und -regulation
Alle Themen anzeigen
Classic and Contemporary Novels
Literary Character Analysis
Verb Forms and Functions
Classic Dramatic Literature
Thesis Development and Structure
Rhetorical Theory and Practice
Evidence Analysis and Integration
Common Expression Pairs
English Language Components
Reading Analysis and Interpretation
Alle Themen anzeigen
Eigenschaften von Funktionsgraphen
Quadratische Ausdrücke und Formen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen
Grundlegende Ableitungsregeln
Lineare Gleichungen und Graphen
Methoden der Funktionsoptimierung
Flächenberechnungsmethoden mit Integralen
Geometrische Systeme und Modelle
Ableitungen und Anwendungen
Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen
Alle Themen anzeigen
Nationalsozialismus und Holocaust 1933-1945
Deutsche Sozialbewegungen und gesellschaftlicher Wandel
Moderne Demokratische Revolutionen
Weltkriege und Friedensverträge
Europäische Monarchen und Staatsmänner
Globale Spannungen im Kalten Krieg
Die Europäische Renaissance und Aufklärung
Historische Quellen und Dokumentation
Die Ära der Weltkriege und ihre Auswirkungen
Moderne Militärische Konflikte
Alle Themen anzeigen
3.894
•
30. Jan. 2026
•
Merle Riemer
@studywithme._
Ableitungen sind ein zentrales Thema in der Analysis - sie... Mehr anzeigen
Die Kettenregel brauchst du immer dann, wenn eine Funktion in einer anderen "steckt" - wie bei Klammern, die potenziert werden. Das Prinzip ist einfach: Du teilst die Funktion in eine äußere und eine innere Funktion auf.
Typische Beispiele findest du bei Klammern wie f(x)=⁴, bei Sinus-Funktionen wie f(x)=sin oder bei e-Funktionen wie f(x)=e^. Die Formel lautet: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x).
So gehst du vor: Bestimme zuerst die äußere Funktion u(v) und ihre Ableitung u'(v). Dann findest du die innere Funktion v(x) und leitest sie ab zu v'(x). Zum Schluss multiplizierst du beide Ableitungen miteinander.
Merktipp: Bei der Kettenregel arbeitest du dich von außen nach innen vor - erst die äußere Ableitung, dann die innere!
Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Autofahrt. Die Formel dafür ist /, und das Ergebnis zeigt die mittlere Änderungsrate.
Viel interessanter ist der Differentialquotient: Er gibt die Steigung genau an einem Punkt an - deine Momentangeschwindigkeit sozusagen. Mathematisch ist das der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn x₁ gegen x geht.
Die praktische h-Methode macht das Rechnen einfacher: lim(h→0) /h. Mit dieser Formel kannst du jede Ableitung berechnen, auch wenn es manchmal etwas aufwändig wird.
Praxistipp: Die h-Methode brauchst du meist nur für Beweise - im Alltag nutzt du die fertigen Ableitungsregeln!
Die e-Funktion f(x)=eˣ ist etwas Besonderes - ihre Ableitung ist sie selbst! Das bedeutet: Die Steigung entspricht überall genau dem Funktionswert. Die Eulersche Zahl e ≈ 2,7183 ist dabei die Basis.
Wichtige Eigenschaften: Die e-Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, wird nur positiv und steigt streng monoton. Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote - der Graph nähert sich ihr für x→-∞ immer mehr an.
Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x). Damit kannst du Gleichungen mit e lösen - wenn eˣ = 24, dann ist x = ln(24) ≈ 3,178. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.
Wichtig für Klausuren: Bei verketteten e-Funktionen wie e^ brauchst du zusätzlich die Kettenregel!
Potenzfunktionen haben die Form f(x) = a·xⁿ, wobei der Vorfaktor a die Steilheit bestimmt und bei negativen Werten für Spiegelung an der x-Achse sorgt. Der Exponent n prägt das Aussehen des Graphen.
Bei positivem geraden Exponenten entstehen Parabeln, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Sie fallen für x < 0 und steigen für x > 0. Positive ungerade Exponenten erzeugen punktsymmetrische Graphen zum Ursprung.
Negative Exponenten schreibst du als Bruch: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Diese Hyperbelfunktionen haben Asymptoten bei beiden Koordinatenachsen und keine Nullstellen. Je nach Vorzeichen des Exponenten ändern sich Symmetrie und Monotonieverhalten.
Merkhilfe: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie!
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Die Formel lautet: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Du leitest also den ersten Faktor ab und lässt den zweiten stehen, dann umgekehrt.
Bei der Quotientenregel teilst du zwei Funktionen durcheinander. Die Formel ist etwas komplizierter: f'(x) = /[h(x)]². Merke dir: "Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, alles durch unten zum Quadrat."
Achte darauf, dass du bei beiden Regeln oft noch zusätzlich die Kettenregel brauchst, wenn die einzelnen Funktionen selbst verkettete Funktionen sind. Am Ende solltest du immer versuchen, das Ergebnis zu vereinfachen.
Tipp: Prüfe bei Brüchen immer erst, ob du kürzen kannst, bevor du die Quotientenregel anwendest!
Exponentialfunktionen f(x) = a·bˣ beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse. Wenn b > 1 ist, hast du exponentielles Wachstum; bei 0 < b < 1 exponentiellen Zerfall. Der Anfangswert a verschiebt den Graphen nach oben oder unten.
Die e-Funktion f(x) = c·eˣ ist ein Spezialfall mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis. Ihr Grenzverhalten ist charakteristisch: Für x→∞ geht sie gegen unendlich, für x→-∞ gegen null. Bei Produkten wie x·eˣ dominiert immer die e-Funktion.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist f'(x) = a·ln(b)·bˣ. Bei der e-Funktion wird es einfacher: Die Ableitung von c·eˣ ist einfach c·eˣ - sie bleibt also bis auf den Vorfaktor unverändert.
Praxistipp: e-Funktionen findest du überall in der Natur - von Bakterienwachstum bis Radioaktivität!
Maßeinheiten umrechnen ist wichtig für Textaufgaben. Bei Längen multiplizierst/dividierst du mit 10, bei Flächen mit 100 und bei Gewichten meist mit 1000. Die binomischen Formeln helfen beim Vereinfachen: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² und = a²-b².
Für Extremwertaufgaben gehst du systematisch vor: Erst bildest du die erste Ableitung f'(x), dann suchst du die Nullstellen mit f'(x) = 0. Diese Stellen sind deine Kandidaten für Extremwerte.
Um zu prüfen, ob es Maximum oder Minimum ist, berechnest du die zweite Ableitung f''(x). Ist f''(x) > 0, hast du ein Minimum; ist f''(x) < 0, ein Maximum. So findest du systematisch alle Hoch- und Tiefpunkte.
Wichtig: Bei Textaufgaben vergiss nicht, deine mathematische Lösung zu interpretieren und auf Sinnhaftigkeit zu prüfen!
Lineare Funktionen f(x) = mx + b sind die einfachsten - m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt. Bei quadratischen Funktionen unterscheidest du zwischen allgemeiner Form ax² + bx + c und Scheitelpunktform a² + e.
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ ändern ihr Verhalten je nach Exponent. Ganzrationale Funktionen sind Polynome verschiedener Grade - typisch sind Funktionen 3. und 4. Grades für Kurvendiskussionen.
Wurzelfunktionen kannst du als Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten schreiben: ⁿ√x = x^. Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen, beschreiben Wachstumsprozesse.
Überblick behalten: Jeder Funktionstyp hat charakteristische Eigenschaften - lerne diese Muster zu erkennen!
Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du daran, dass f(x) = f gilt - wie bei f(x) = x². Der Graph sieht links und rechts der y-Achse identisch aus. Typisch für gerade Exponenten bei Potenzfunktionen.
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn f = -f(x) ist - wie bei f(x) = x³. Drehst du den Graphen um 180° um den Ursprung, sieht er genauso aus. Das findest du bei ungeraden Exponenten.
Asymptoten sind Linien, denen sich der Graph immer mehr nähert, ohne sie zu berühren. Sie entstehen oft bei Brüchen, wenn der Nenner null wird - das sind die Polstellen. Achte darauf, dass immer ein x im Nenner stehen muss.
Erkennungstrick: Gerade Exponenten = meist achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = meist punktsymmetrisch!
Lineare Funktionen f(x) = m·x + b erkennst du an der konstanten Steigung m. Ist m > 0, steigt die Gerade; ist m < 0, fällt sie; bei m = 0 ist sie waagerecht. Die Steigung berechnest du mit Δy/Δx zwischen zwei Punkten.
Lineare Gleichungssysteme löst du mit drei Hauptverfahren: Beim Gleichsetzungsverfahren setzt du beide Gleichungen gleich. Das Additionsverfahren addiert geschickt umgeformte Gleichungen. Das Einsetzungsverfahren löst eine Gleichung nach einer Variable auf.
Das Gauß-Verfahren nutzt du bei größeren Systemen mit mehr als zwei Variablen. Du bringst das System in Stufenform und löst dann von unten nach oben auf - das ist besonders bei drei oder mehr Unbekannten praktisch.
Strategietipp: Wähle das Verfahren, das bei deinem konkreten System am schnellsten zum Ziel führt!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Merle Riemer
@studywithme._
Ableitungen sind ein zentrales Thema in der Analysis - sie zeigen dir, wie steil eine Funktion an jedem Punkt verläuft. Mit verschiedenen Ableitungsregeln kannst du praktisch jede Funktion ableiten und damit Extremwerte finden oder Wachstumsprozesse analysieren.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Die Kettenregel brauchst du immer dann, wenn eine Funktion in einer anderen "steckt" - wie bei Klammern, die potenziert werden. Das Prinzip ist einfach: Du teilst die Funktion in eine äußere und eine innere Funktion auf.
Typische Beispiele findest du bei Klammern wie f(x)=⁴, bei Sinus-Funktionen wie f(x)=sin oder bei e-Funktionen wie f(x)=e^. Die Formel lautet: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x).
So gehst du vor: Bestimme zuerst die äußere Funktion u(v) und ihre Ableitung u'(v). Dann findest du die innere Funktion v(x) und leitest sie ab zu v'(x). Zum Schluss multiplizierst du beide Ableitungen miteinander.
Merktipp: Bei der Kettenregel arbeitest du dich von außen nach innen vor - erst die äußere Ableitung, dann die innere!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Autofahrt. Die Formel dafür ist /, und das Ergebnis zeigt die mittlere Änderungsrate.
Viel interessanter ist der Differentialquotient: Er gibt die Steigung genau an einem Punkt an - deine Momentangeschwindigkeit sozusagen. Mathematisch ist das der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn x₁ gegen x geht.
Die praktische h-Methode macht das Rechnen einfacher: lim(h→0) /h. Mit dieser Formel kannst du jede Ableitung berechnen, auch wenn es manchmal etwas aufwändig wird.
Praxistipp: Die h-Methode brauchst du meist nur für Beweise - im Alltag nutzt du die fertigen Ableitungsregeln!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Die e-Funktion f(x)=eˣ ist etwas Besonderes - ihre Ableitung ist sie selbst! Das bedeutet: Die Steigung entspricht überall genau dem Funktionswert. Die Eulersche Zahl e ≈ 2,7183 ist dabei die Basis.
Wichtige Eigenschaften: Die e-Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, wird nur positiv und steigt streng monoton. Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote - der Graph nähert sich ihr für x→-∞ immer mehr an.
Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x). Damit kannst du Gleichungen mit e lösen - wenn eˣ = 24, dann ist x = ln(24) ≈ 3,178. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.
Wichtig für Klausuren: Bei verketteten e-Funktionen wie e^ brauchst du zusätzlich die Kettenregel!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Potenzfunktionen haben die Form f(x) = a·xⁿ, wobei der Vorfaktor a die Steilheit bestimmt und bei negativen Werten für Spiegelung an der x-Achse sorgt. Der Exponent n prägt das Aussehen des Graphen.
Bei positivem geraden Exponenten entstehen Parabeln, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Sie fallen für x < 0 und steigen für x > 0. Positive ungerade Exponenten erzeugen punktsymmetrische Graphen zum Ursprung.
Negative Exponenten schreibst du als Bruch: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Diese Hyperbelfunktionen haben Asymptoten bei beiden Koordinatenachsen und keine Nullstellen. Je nach Vorzeichen des Exponenten ändern sich Symmetrie und Monotonieverhalten.
Merkhilfe: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Die Formel lautet: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Du leitest also den ersten Faktor ab und lässt den zweiten stehen, dann umgekehrt.
Bei der Quotientenregel teilst du zwei Funktionen durcheinander. Die Formel ist etwas komplizierter: f'(x) = /[h(x)]². Merke dir: "Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, alles durch unten zum Quadrat."
Achte darauf, dass du bei beiden Regeln oft noch zusätzlich die Kettenregel brauchst, wenn die einzelnen Funktionen selbst verkettete Funktionen sind. Am Ende solltest du immer versuchen, das Ergebnis zu vereinfachen.
Tipp: Prüfe bei Brüchen immer erst, ob du kürzen kannst, bevor du die Quotientenregel anwendest!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Exponentialfunktionen f(x) = a·bˣ beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse. Wenn b > 1 ist, hast du exponentielles Wachstum; bei 0 < b < 1 exponentiellen Zerfall. Der Anfangswert a verschiebt den Graphen nach oben oder unten.
Die e-Funktion f(x) = c·eˣ ist ein Spezialfall mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis. Ihr Grenzverhalten ist charakteristisch: Für x→∞ geht sie gegen unendlich, für x→-∞ gegen null. Bei Produkten wie x·eˣ dominiert immer die e-Funktion.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist f'(x) = a·ln(b)·bˣ. Bei der e-Funktion wird es einfacher: Die Ableitung von c·eˣ ist einfach c·eˣ - sie bleibt also bis auf den Vorfaktor unverändert.
Praxistipp: e-Funktionen findest du überall in der Natur - von Bakterienwachstum bis Radioaktivität!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Maßeinheiten umrechnen ist wichtig für Textaufgaben. Bei Längen multiplizierst/dividierst du mit 10, bei Flächen mit 100 und bei Gewichten meist mit 1000. Die binomischen Formeln helfen beim Vereinfachen: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² und = a²-b².
Für Extremwertaufgaben gehst du systematisch vor: Erst bildest du die erste Ableitung f'(x), dann suchst du die Nullstellen mit f'(x) = 0. Diese Stellen sind deine Kandidaten für Extremwerte.
Um zu prüfen, ob es Maximum oder Minimum ist, berechnest du die zweite Ableitung f''(x). Ist f''(x) > 0, hast du ein Minimum; ist f''(x) < 0, ein Maximum. So findest du systematisch alle Hoch- und Tiefpunkte.
Wichtig: Bei Textaufgaben vergiss nicht, deine mathematische Lösung zu interpretieren und auf Sinnhaftigkeit zu prüfen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Lineare Funktionen f(x) = mx + b sind die einfachsten - m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt. Bei quadratischen Funktionen unterscheidest du zwischen allgemeiner Form ax² + bx + c und Scheitelpunktform a² + e.
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ ändern ihr Verhalten je nach Exponent. Ganzrationale Funktionen sind Polynome verschiedener Grade - typisch sind Funktionen 3. und 4. Grades für Kurvendiskussionen.
Wurzelfunktionen kannst du als Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten schreiben: ⁿ√x = x^. Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen, beschreiben Wachstumsprozesse.
Überblick behalten: Jeder Funktionstyp hat charakteristische Eigenschaften - lerne diese Muster zu erkennen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du daran, dass f(x) = f gilt - wie bei f(x) = x². Der Graph sieht links und rechts der y-Achse identisch aus. Typisch für gerade Exponenten bei Potenzfunktionen.
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn f = -f(x) ist - wie bei f(x) = x³. Drehst du den Graphen um 180° um den Ursprung, sieht er genauso aus. Das findest du bei ungeraden Exponenten.
Asymptoten sind Linien, denen sich der Graph immer mehr nähert, ohne sie zu berühren. Sie entstehen oft bei Brüchen, wenn der Nenner null wird - das sind die Polstellen. Achte darauf, dass immer ein x im Nenner stehen muss.
Erkennungstrick: Gerade Exponenten = meist achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = meist punktsymmetrisch!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Lineare Funktionen f(x) = m·x + b erkennst du an der konstanten Steigung m. Ist m > 0, steigt die Gerade; ist m < 0, fällt sie; bei m = 0 ist sie waagerecht. Die Steigung berechnest du mit Δy/Δx zwischen zwei Punkten.
Lineare Gleichungssysteme löst du mit drei Hauptverfahren: Beim Gleichsetzungsverfahren setzt du beide Gleichungen gleich. Das Additionsverfahren addiert geschickt umgeformte Gleichungen. Das Einsetzungsverfahren löst eine Gleichung nach einer Variable auf.
Das Gauß-Verfahren nutzt du bei größeren Systemen mit mehr als zwei Variablen. Du bringst das System in Stufenform und löst dann von unten nach oben auf - das ist besonders bei drei oder mehr Unbekannten praktisch.
Strategietipp: Wähle das Verfahren, das bei deinem konkreten System am schnellsten zum Ziel führt!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
66
Smart Tools NEU
Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Erfahren Sie, wie man Graphen von Potenzfunktionen skizziert, zuordnet und beschreibt. Dieser Überblick behandelt Transformationen, Symmetrieeigenschaften und den Funktionsverlauf von geraden und ungeraden Exponenten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheVertiefte Lernhilfe zu Exponentialfunktionen, einschließlich exponentiellem Wachstum und Abnahme, Ableitungen natürlicher Exponentialfunktionen sowie Anwendung der Produkt- und Kettenregel. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Ableitungen, einschließlich der Produktregel, Kettenregel und partiellen Integration. Lernen Sie, wie man e-Funktionen ableitet und integriert, sowie Zerfallsprozesse analysiert. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheEntdecke die wichtigsten Konzepte zu Exponentialfunktionen, Integralen und Logarithmen in dieser Q1 Mathematik Klausur. Analysiere Wachstums- und Zerfallsfaktoren, berechne Integrale und verstehe die Bedeutung von Ableitungen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen. (14 Punkte)
MatheDieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften und Ableitungen natürlicher Exponentialfunktionen, einschließlich der Eulerschen Zahl und der Anwendung von Differentiationsregeln. Er enthält Beispiele zur Lösung von Gleichungen mit natürlichen Exponentialfunktionen und deren Ableitungen. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen mit negativen und natürlichen Exponenten. Diese Zusammenfassung behandelt die Symmetrie, Wachstumsverhalten, Graphenverschiebungen und Transformationen von Potenzfunktionen. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis für die Eigenschaften und Anwendungen von Potenzfunktionen entwickeln möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch