e-Funktion & Gleichungen

Kurvenverlauf & Asymptoten

Die Form des Schaubilds hängt von den Vorzeichen im Exponenten und vor dem $e$ ab.

• $e^x$ und $e^{-x}$: Steigen schnell an oder fallen gegen die waagrechte Asymptote $y=0$.
• Asymptote: Der Graph nähert sich dieser Linie an, erreicht sie aber nie.

Lösen mit Logarithmus

Isoliere den e-Term, um ihn dann mit dem natürlichen Logarithmus ($\ln$) aufzulösen.

Beispiel: $3e^{2x} = 6 \quad \vert :3$ $e^{2x} = 2 \quad \vert \ln \Rightarrow 2x = \ln(2) \Rightarrow x = \frac{\ln(2)}{2}$

💡 Tipp: Der natürliche Logarithmus hebt das $e$ auf, da $\ln(e^x) = x$ gilt.

Schnittpunkte & Ausklammern

Schnittpunkte berechnen

Setze die Funktionen gleich, fasse die e-Terme zusammen und berechne den y-Wert durch Einsetzen.

• Zusammenfassen: Bringe alle Terme mit $e^x$ auf eine Seite.
• Schnittpunkt: $f(x) = g(x)$ nach $x$ auflösen, dann $x$ in $f(x)$ einsetzen für den y-Wert.

Ausklammern (Satz vom Nullprodukt)

Wenn jeder Term ein $e^x$ enthält, klammerst du die kleinste e-Potenz aus.

• Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
• Wichtige Eigenschaft: Der Teil $e^x = 0$ hat niemals eine Lösung.

Beispiel: $e^{3x} - 5e^{2x} = 0 \Rightarrow e^{2x}(e^x - 5) = 0$ Da $e^{2x} \neq 0$, bleibt: $e^x - 5 = 0 \Rightarrow x = \ln(5)$

💡 Tipp: Merke dir für die Klausur: $\ln(1)$ ist immer $0$.

Substitution bei e-Funktionen

Die Methode der Substitution

Wenn eine Gleichung die Struktur einer quadratischen Gleichung hat, ersetzt du die e-Potenz durch eine Hilfsvariable $z$.

• Ersetzung: Setze z. B. $z = e^x$, wodurch aus $e^{2x}$ ein $z^2$ wird.
• Mitternachtsformel: Löse die quadratische Gleichung nach $z$ auf.
• Rücksubstitution: Setze $z$ wieder gleich der e-Potenz (z. B. $e^x = z$) und löse nach $x$ auf.

Beispiel: $e^{2x} - 2e^x = 0 \Rightarrow z^2 - 2z = 0 \text{ mit } z = e^x$ $z(z-2) = 0 \Rightarrow z_1=0, z_2=2 \Rightarrow e^x=2 \Rightarrow x=\ln(2)$

💡 Tipp: Wenn bei der Rücksubstitution eine negative Zahl herauskommt (z. B. $e^x = -1$), gibt es dafür keine Lösung, da $e^x$ immer größer als $0$ ist.