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17. Jan. 2026

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Abi-Mathe-Lernzettel: Wichtige Konzepte und Formeln

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Sarah Morgan

@sarahmorgan_mnbu

Die Gauß'sche Glockenkurve und e-Funktionen sind zwei zentrale Themen in... Mehr anzeigen

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Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Gauß'sche Glockenkurve - Die Basics

Stell dir vor, du misst die Körpergröße aller Schüler deiner Stufe - das Ergebnis würde wahrscheinlich wie eine Glocke aussehen! Die Normalverteilung beschreibt genau solche natürlichen Verteilungen.

Die Standard-Normalverteilung hat ihren Höchstpunkt bei μ = 0 und eine Standardabweichung σ = 1. Die Formel sieht kompliziert aus, aber das Maximum liegt immer beim Erwartungswert μ, und die Wendepunkte findest du bei μ ± σ.

Das Geniale an der Sigma-Regel: 68,2% aller Werte liegen im 1σ-Intervall, 95,4% im 2σ-Intervall und 99,73% im 3σ-Intervall. Je breiter das Intervall, desto höher die Wahrscheinlichkeit - logisch, oder?

Merktipp: Die Kurve ist perfekt symmetrisch und läuft asymptotisch gegen die x-Achse - sie berührt sie nie!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Normalverteilung vs. Binomialverteilung

Der große Unterschied liegt in diskret vs. stetig: Bei der Binomialverteilung zählst du einzelne Ereignisse (Münzwürfe, Personen), bei der Normalverteilung misst du kontinuierliche Werte (Größe, Gewicht, Zeit).

μ verschiebt die gesamte Kurve nach links oder rechts, während σ bestimmt, wie steil oder flach sie verläuft. Kleines σ = steile Kurve, großes σ = flache Kurve. Das ist wie bei einem Berg: schmaler Gipfel oder breiter Hügel.

Bei stetigen Verteilungen gibt es keine Einzelwahrscheinlichkeiten - PX=2,5X = 2,5 ist immer 0! Du rechnest nur mit Intervallwahrscheinlichkeiten wie P(2 ≤ X ≤ 3).

Praxistipp: Merke dir die e-Funktion ist immer positiv, deshalb sind alle y-Werte der Normalverteilung größer als null!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Dichtefunktion und Berechnungen

Die Dichtefunktion der Normalverteilung sieht komplex aus, aber du musst sie nicht auswendig lernen - wichtig ist das Verständnis. Sie hat keine Einzelwahrscheinlichkeiten, weil das Integral von a bis a immer null ergibt.

Für Berechnungen am Taschenrechner verwendest du ncd(untere Grenze, obere Grenze, σ, μ) wenn alle Werte gegeben sind. Ist eine Grenze gesucht, nutzt du InvNorm mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit.

Die erste und zweite Ableitung der Dichtefunktion helfen dir, Extrema und Wendepunkte zu finden - das brauchst du für Kurvendiskussionen.

GTR-Tipp: Bei gesuchten Grenzen kannst du auch das EQUA-Menü verwenden und die Gleichung lösen lassen!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Dichte- und Verteilungsfunktion

Das Wichtigste zuerst: Die Gesamtfläche unter jeder Gauß'schen Glockenkurve ist immer 1 (= 100%), egal wie sie verschoben oder gestreckt ist. Das ist ein Grundprinzip aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Dichtefunktion φ(x) zeigt dir die Form der Glocke und berechnet Wahrscheinlichkeiten über Flächen. Die Wendepunkte liegen bei μ ± σ, und durch die Symmetrie hat jede Hälfte 50% Wahrscheinlichkeit.

Die Verteilungsfunktion F(x) ist die Stammfunktion der Dichtefunktion und gibt direkt die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) an. Ihr Wendepunkt liegt beim Erwartungswert μ der Dichtefunktion.

Lesehilfe: Bei y = 16,7% in der Verteilungsfunktion kannst du σ ablesen - das ist die Differenz zwischen μ und dem entsprechenden x-Wert!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

E-Funktion Grundlagen

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Die eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist irrational und taucht überall in der Natur auf.

Merke dir die wichtigsten Eigenschaften: Sie verläuft immer oberhalb der x-Achse (keine Nullstellen), hat den y-Achsenschnitt P(0|1) und besitzt keine Extrem- oder Wendepunkte. Sie wächst exponentiell ins Unendliche.

Die Grenzwerte sind entscheidend: Für x → ∞ geht e^x → ∞, für x → -∞ geht e^x → 0. Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus ln(x) sind Umkehrfunktionen - sie entstehen durch Spiegelung an y = x.

Visualisierungstipp: Stell dir die e-Funktion wie eine Rutsche vor, die links flach anläuft und rechts steil nach oben schießt!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Transformationen der E-Funktion

Spiegelungen verändern das Aussehen grundlegend: f(x) = e^x-x ist an der y-Achse gespiegelt und fällt von links nach rechts. f(x) = -e^x ist an der x-Achse gespiegelt und verläuft unterhalb der x-Achse.

Verschiebungen sind intuitiv: +2 am Ende verschiebt nach oben, -2 verschiebt nach unten. Im Exponenten bewirkt +2 eine Verschiebung nach links, -2 nach rechts (Achtung: umgekehrt wie erwartet!).

Streckungen und Stauchungen funktionieren wie bei anderen Funktionen: Faktor vor der e-Funktion streckt/staucht in y-Richtung, Faktor im Exponenten streckt/staucht in x-Richtung.

Merkregel: Transformationen im Exponenten wirken "verkehrt herum" - e^x+2x+2 verschiebt nach links, nicht nach rechts!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Ableitungsregeln für E-Funktionen

Das Geniale an e-Funktionen: e^x abgeleitet bleibt e^x! Bei zusammengesetzten Funktionen brauchst du die Kettenregel: Die äußere Ableitung mal die innere Ableitung.

Beispiel: f(x) = e^4x+24x+2 → f'(x) = e^4x+24x+2 · 4. Die e-Funktion bleibt, multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.

Für komplexere Terme nutzt du Produktregel oder Quotientenregel wie gewohnt. Bei der Aufleitung gilt: f(x) = a·e^(cx) → F(x) = a/ca/c·e^(cx) - du teilst durch den Faktor im Exponenten.

Übungstipp: Übe die Kettenregel intensiv - sie ist der Schlüssel für fast alle e-Funktions-Ableitungen!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Tangentengleichungen

Tangentengleichungen haben die Form t(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Du hast zwei Wege zur Lösung.

Handschriftlich: Berechne die Steigung m mit zwei Punkten über m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁, setze dann einen Punkt in die Tangentengleichung ein und löse nach b auf.

Mit dem GTR: Gib die Funktion ins Graph-Menü ein, dann SHIFT → SKETCH → TANGENTE → gewünschten x-Wert eingeben. Der Rechner liefert dir die komplette Tangentengleichung.

Zeitsparer: Der GTR-Weg ist in Klausuren oft schneller und fehlerfreier - nutze ihn, wenn erlaubt!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Ableitungskreis und Globalverhalten

Der Ableitungskreis für trigonometrische Funktionen: sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x). Das ist ein endloser Kreislauf - merke dir die Reihenfolge!

Das Globalverhalten von e-Funktionen ist entscheidend für Grenzwertbetrachtungen. e^(+∞) = +∞ und e^(-∞) = 0 sind die Grundregeln.

Bei Brüchen im Exponenten wie e^1/x1/x geht der Exponent für x → ±∞ gegen null, also geht die ganze Funktion gegen e⁰ = 1. Mit Verschiebungen wie +4 verschiebt sich auch der Grenzwert entsprechend.

Denkfehler vermeiden: Verwechsle nicht die Grenzwerte von e^x und e^x-x - sie verhalten sich genau umgekehrt!

Gauß'sche Glockenkurve
(Standard- Normalverteilungskurve)

Normalverteilung

Extremum/Hochpunkt

Wendepunkte

Formel für die abgebildetes Ku

Integrale mit E-Funktionen

Partielle Integration ist dein Werkzeug für Produkte mit e-Funktionen. Die Formel: ∫u·v' dx = u·v - ∫u'·v dx. Wähle u so, dass u' einfacher wird.

Bei ∫x·eˣ dx setzt du u = x wirdzuu=1wird zu u' = 1 und v' = eˣ bleibtv=exbleibt v = eˣ. Das vereinfacht das Integral schrittweise.

Für kompliziertere Terme wie ∫x²·eˣ dx musst du partielle Integration zweimal anwenden. Jeder Schritt reduziert den Grad von x um eins, bis nur noch eˣ übrig bleibt.

Strategietipp: Bei xⁿ·eˣ brauchst du n-mal partielle Integration - plane entsprechend Zeit ein!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Die Gauß'sche Glockenkurve und e-Funktionen sind zwei zentrale Themen in der Oberstufen-Mathematik, die dir in Klausuren und im Abitur begegnen werden. Du lernst hier, wie die Normalverteilung funktioniert und warum sie so wichtig für die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist.

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Gauß'sche Glockenkurve - Die Basics

Stell dir vor, du misst die Körpergröße aller Schüler deiner Stufe - das Ergebnis würde wahrscheinlich wie eine Glocke aussehen! Die Normalverteilung beschreibt genau solche natürlichen Verteilungen.

Die Standard-Normalverteilung hat ihren Höchstpunkt bei μ = 0 und eine Standardabweichung σ = 1. Die Formel sieht kompliziert aus, aber das Maximum liegt immer beim Erwartungswert μ, und die Wendepunkte findest du bei μ ± σ.

Das Geniale an der Sigma-Regel: 68,2% aller Werte liegen im 1σ-Intervall, 95,4% im 2σ-Intervall und 99,73% im 3σ-Intervall. Je breiter das Intervall, desto höher die Wahrscheinlichkeit - logisch, oder?

Merktipp: Die Kurve ist perfekt symmetrisch und läuft asymptotisch gegen die x-Achse - sie berührt sie nie!

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Normalverteilung vs. Binomialverteilung

Der große Unterschied liegt in diskret vs. stetig: Bei der Binomialverteilung zählst du einzelne Ereignisse (Münzwürfe, Personen), bei der Normalverteilung misst du kontinuierliche Werte (Größe, Gewicht, Zeit).

μ verschiebt die gesamte Kurve nach links oder rechts, während σ bestimmt, wie steil oder flach sie verläuft. Kleines σ = steile Kurve, großes σ = flache Kurve. Das ist wie bei einem Berg: schmaler Gipfel oder breiter Hügel.

Bei stetigen Verteilungen gibt es keine Einzelwahrscheinlichkeiten - PX=2,5X = 2,5 ist immer 0! Du rechnest nur mit Intervallwahrscheinlichkeiten wie P(2 ≤ X ≤ 3).

Praxistipp: Merke dir die e-Funktion ist immer positiv, deshalb sind alle y-Werte der Normalverteilung größer als null!

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Dichtefunktion und Berechnungen

Die Dichtefunktion der Normalverteilung sieht komplex aus, aber du musst sie nicht auswendig lernen - wichtig ist das Verständnis. Sie hat keine Einzelwahrscheinlichkeiten, weil das Integral von a bis a immer null ergibt.

Für Berechnungen am Taschenrechner verwendest du ncd(untere Grenze, obere Grenze, σ, μ) wenn alle Werte gegeben sind. Ist eine Grenze gesucht, nutzt du InvNorm mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit.

Die erste und zweite Ableitung der Dichtefunktion helfen dir, Extrema und Wendepunkte zu finden - das brauchst du für Kurvendiskussionen.

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Dichte- und Verteilungsfunktion

Das Wichtigste zuerst: Die Gesamtfläche unter jeder Gauß'schen Glockenkurve ist immer 1 (= 100%), egal wie sie verschoben oder gestreckt ist. Das ist ein Grundprinzip aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Dichtefunktion φ(x) zeigt dir die Form der Glocke und berechnet Wahrscheinlichkeiten über Flächen. Die Wendepunkte liegen bei μ ± σ, und durch die Symmetrie hat jede Hälfte 50% Wahrscheinlichkeit.

Die Verteilungsfunktion F(x) ist die Stammfunktion der Dichtefunktion und gibt direkt die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) an. Ihr Wendepunkt liegt beim Erwartungswert μ der Dichtefunktion.

Lesehilfe: Bei y = 16,7% in der Verteilungsfunktion kannst du σ ablesen - das ist die Differenz zwischen μ und dem entsprechenden x-Wert!

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E-Funktion Grundlagen

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Die eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist irrational und taucht überall in der Natur auf.

Merke dir die wichtigsten Eigenschaften: Sie verläuft immer oberhalb der x-Achse (keine Nullstellen), hat den y-Achsenschnitt P(0|1) und besitzt keine Extrem- oder Wendepunkte. Sie wächst exponentiell ins Unendliche.

Die Grenzwerte sind entscheidend: Für x → ∞ geht e^x → ∞, für x → -∞ geht e^x → 0. Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus ln(x) sind Umkehrfunktionen - sie entstehen durch Spiegelung an y = x.

Visualisierungstipp: Stell dir die e-Funktion wie eine Rutsche vor, die links flach anläuft und rechts steil nach oben schießt!

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Transformationen der E-Funktion

Spiegelungen verändern das Aussehen grundlegend: f(x) = e^x-x ist an der y-Achse gespiegelt und fällt von links nach rechts. f(x) = -e^x ist an der x-Achse gespiegelt und verläuft unterhalb der x-Achse.

Verschiebungen sind intuitiv: +2 am Ende verschiebt nach oben, -2 verschiebt nach unten. Im Exponenten bewirkt +2 eine Verschiebung nach links, -2 nach rechts (Achtung: umgekehrt wie erwartet!).

Streckungen und Stauchungen funktionieren wie bei anderen Funktionen: Faktor vor der e-Funktion streckt/staucht in y-Richtung, Faktor im Exponenten streckt/staucht in x-Richtung.

Merkregel: Transformationen im Exponenten wirken "verkehrt herum" - e^x+2x+2 verschiebt nach links, nicht nach rechts!

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Ableitungsregeln für E-Funktionen

Das Geniale an e-Funktionen: e^x abgeleitet bleibt e^x! Bei zusammengesetzten Funktionen brauchst du die Kettenregel: Die äußere Ableitung mal die innere Ableitung.

Beispiel: f(x) = e^4x+24x+2 → f'(x) = e^4x+24x+2 · 4. Die e-Funktion bleibt, multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.

Für komplexere Terme nutzt du Produktregel oder Quotientenregel wie gewohnt. Bei der Aufleitung gilt: f(x) = a·e^(cx) → F(x) = a/ca/c·e^(cx) - du teilst durch den Faktor im Exponenten.

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Tangentengleichungen

Tangentengleichungen haben die Form t(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Du hast zwei Wege zur Lösung.

Handschriftlich: Berechne die Steigung m mit zwei Punkten über m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁, setze dann einen Punkt in die Tangentengleichung ein und löse nach b auf.

Mit dem GTR: Gib die Funktion ins Graph-Menü ein, dann SHIFT → SKETCH → TANGENTE → gewünschten x-Wert eingeben. Der Rechner liefert dir die komplette Tangentengleichung.

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Ableitungskreis und Globalverhalten

Der Ableitungskreis für trigonometrische Funktionen: sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x). Das ist ein endloser Kreislauf - merke dir die Reihenfolge!

Das Globalverhalten von e-Funktionen ist entscheidend für Grenzwertbetrachtungen. e^(+∞) = +∞ und e^(-∞) = 0 sind die Grundregeln.

Bei Brüchen im Exponenten wie e^1/x1/x geht der Exponent für x → ±∞ gegen null, also geht die ganze Funktion gegen e⁰ = 1. Mit Verschiebungen wie +4 verschiebt sich auch der Grenzwert entsprechend.

Denkfehler vermeiden: Verwechsle nicht die Grenzwerte von e^x und e^x-x - sie verhalten sich genau umgekehrt!

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Integrale mit E-Funktionen

Partielle Integration ist dein Werkzeug für Produkte mit e-Funktionen. Die Formel: ∫u·v' dx = u·v - ∫u'·v dx. Wähle u so, dass u' einfacher wird.

Bei ∫x·eˣ dx setzt du u = x wirdzuu=1wird zu u' = 1 und v' = eˣ bleibtv=exbleibt v = eˣ. Das vereinfacht das Integral schrittweise.

Für kompliziertere Terme wie ∫x²·eˣ dx musst du partielle Integration zweimal anwenden. Jeder Schritt reduziert den Grad von x um eins, bis nur noch eˣ übrig bleibt.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Vertiefte Analyse der natürlichen Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus. Erfahren Sie mehr über die Eigenschaften der Exponentialfunktionen, die Euler'sche Zahl e, Exponentialgleichungen, sowie Konzepte wie beschränktes Wachstum und deren Anwendungen. Ideal für die Vorbereitung auf die Mathe-Klausur Nr. 2.

MatheMathe
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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Entdecken Sie die Grundlagen der Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich der natürlichen Exponentialfunktion, der Gesetze der Logarithmen und der Transformation von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über Definitionen, Ableitungen und das Verhalten von Funktionen, ideal für Schüler der 11. und 12. Klasse.

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Exponentialfunktionen und Ableitungen

Entdecke die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich ihrer Eigenschaften, Ableitungen und Transformationen. Diese Präsentation behandelt die verschiedenen Fälle von Exponentialfunktionen, das Verhalten im Unendlichen, die Anwendung der Produkt- und Kettenregel sowie die Bedeutung von natürlichen Exponentialfunktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Kurvendiskussionen und die Analyse von Funktionen vorbereiten.

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Beliebtester Inhalt: Exponentialfunktionen

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer