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1.817
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12. Dez. 2025
•
Aylin
@aylin_krmn
Exponential- und Logarithmusfunktionen sind überall um uns herum - vom... Mehr anzeigen
Die Euler'sche Zahl e (≈ 2,71828) ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Was sie so besonders macht? Bei der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x sind Funktion und Ableitung identisch: f'(x) = e^x.
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist quasi das Gegenteil der e-Funktion. Wenn e^ln(a) = a gilt, dann ist ln(a) die Zahl, die du als Exponent brauchst. Das ist wie die Frage: "Welche Potenz von e ergibt a?"
Die Potenz- und Logarithmengesetze funktionieren wie Rechentricks. Bei Potenzen: a^r · a^s = a^, beim Logarithmus: ln(u·v) = ln(u) + ln(v). Multiplikation wird zu Addition - ziemlich praktisch für komplizierte Rechnungen!
💡 Merktipp: e^x wächst exponentiell schneller als jede Potenzfunktion - deshalb dominiert e^x immer bei x → +∞.
Exponentialfunktionen verhalten sich an den Rändern sehr vorhersagbar. Asymptoten sind wie unsichtbare Grenzen, denen sich Graphen nähern, aber nie erreichen. Die x-Achse ist oft eine waagerechte Asymptote.
Bei gemischten Termen wie x^n · e^x gewinnt immer die Exponentialfunktion. Egal wie groß n ist - e^x wächst schneller als jede Potenz. Das gilt auch umgekehrt: x^n · e^ geht gegen null, weil e^ schneller schrumpft als x^n wächst.
Funktionsverschiebungen funktionieren mit Parametern. f(x) + c verschiebt nach oben/unten, f nach rechts/links. Bei Streckungen gilt: b > 1 streckt, 0 < b < 1 staucht, negative b-Werte spiegeln an der x-Achse.
Das Grenzverhalten kannst du dir so merken: e^x dominiert immer bei +∞, e^ wird immer null bei +∞. Polynome bestimmen nur das Verhalten bei -∞.
📊 Praxistipp: Zeichne zuerst die Grundfunktion e^x, dann wende die Transformationen schrittweise an.
Die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) ist nur für positive x-Werte definiert , kann aber alle reellen Zahlen als Funktionswerte ausgeben . Sie ist die Umkehrfunktion von e^x.
Umkehrfunktionen entstehen durch Spiegelung an der Geraden y = x. Deshalb sehen ln(x) und e^x wie gespiegelte Versionen voneinander aus. Das Coole: g(f(x)) = x und f(g(x)) = x - sie heben sich gegenseitig auf.
Die Ableitung des Logarithmus ist überraschend einfach: (ln(x))' = 1/x. Das beweist man, indem man beide Seiten von e^ln(x) = x ableitet und nach (ln(x))' auflöst.
Diese Beziehung zwischen e^x und ln(x) ist wie ein mathematisches Yin und Yang - sie ergänzen sich perfekt und tauchen ständig zusammen in Aufgaben auf.
🔄 Merkhilfe: ln(x) und e^x sind wie Rückgängig-Tasten füreinander - was die eine macht, macht die andere wieder rückgängig.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Aylin
@aylin_krmn
Exponential- und Logarithmusfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum deines Instagram-Follower-Counts bis hin zu radioaktivem Zerfall. Diese besonderen Funktionen haben einzigartige Eigenschaften, die sie zu mächtigen Werkzeugen in der Mathematik machen.
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Die Euler'sche Zahl e (≈ 2,71828) ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Was sie so besonders macht? Bei der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x sind Funktion und Ableitung identisch: f'(x) = e^x.
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist quasi das Gegenteil der e-Funktion. Wenn e^ln(a) = a gilt, dann ist ln(a) die Zahl, die du als Exponent brauchst. Das ist wie die Frage: "Welche Potenz von e ergibt a?"
Die Potenz- und Logarithmengesetze funktionieren wie Rechentricks. Bei Potenzen: a^r · a^s = a^, beim Logarithmus: ln(u·v) = ln(u) + ln(v). Multiplikation wird zu Addition - ziemlich praktisch für komplizierte Rechnungen!
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Die Ableitung des Logarithmus ist überraschend einfach: (ln(x))' = 1/x. Das beweist man, indem man beide Seiten von e^ln(x) = x ableitet und nach (ln(x))' auflöst.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der e-Funktionen und ln-Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Eigenschaften, Ableitungen, Asymptoten und Anwendungsbeispiele, um das Verständnis für natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen, einschließlich ihrer Definition, Einfluss von Exponenten, grafische Darstellung und die Bedeutung von Definitions- und Wertemengen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte wie Streckung, Stauchung und die Anwendung der Exponentialgesetze. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich exponentiellem Wachstum und Abnahme, Halbwerts- und Verdoppelungszeiten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Formeln zur Berechnung von Bakterienwachstum und Koffeinabbau. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Ableitung von Funktionen, einschließlich der Funktionsverbgefüge. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele, um das Verständnis der Ableitungen zu fördern. Ideal für Schüler und Studenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheVertiefte Lernressourcen zu Exponentialfunktionen, Ableitungen und Integralrechnung. Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften der e-Funktion, Ableitungsregeln, uneigentliche Integrale und die Kurvendiskussion. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe-Klausuren. Enthält wichtige Konzepte wie das Verhalten an Unendlichkeiten, Nullstellen und Extrempunkte.
MatheVertiefte Lerninhalte zur Normalverteilung, einschließlich Dichte- und Verteilungsfunktionen, Einzel- und Intervallwahrscheinlichkeiten. Zudem werden die Eigenschaften der e-Funktion, Ableitungsregeln, Tangentengleichungen sowie das Globalverhalten behandelt. Ideal für Mathematik LK Abiturvorbereitung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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