Grundlagen der Analysis - Die Basics, die du drauf haben musst

Integralrechnung ist eigentlich nicht so kompliziert, wie sie aussieht. Bei $\int_{0}^{1} e^{x} + 1 dx$ bildest du einfach die Stammfunktion und setzt die Grenzen ein. Das Ergebnis ist $e$.

Die Zuordnung von Ableitungsfunktionen klappt am besten, wenn du dir merkst: $f(x) = e^{-x}$ hat die Ableitung $f'(x) = -e^{-x}$. Das Minuszeichen bleibt durch die Kettenregel erhalten.

Exponentielles Wachstum begegnet dir überall im Leben. Bakterien, die täglich um 15% wachsen, folgen der Formel $f(x) = 40 \cdot 1,15^x$. Mit der Basis e schreibst du das als $f(x) = 40 \cdot e^{\ln(1,15) \cdot x}$.

Tipp: Bei der Kettenregel denkst du von innen nach außen - erst die innere Ableitung, dann multiplizieren!

Komplexe Funktionsanalyse - Tangenten und Produktregeln verstehen

Die Produktregel ist dein bester Freund bei Funktionen wie $f(x) = 5x \cdot e^{-2x+1}$. Du brauchst $f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'$, wobei $u(x) = 5x$ und $v(x) = e^{-2x+1}$.

Tangenten berechnen funktioniert immer gleich: Steigung $m = f'(x_0)$ bestimmen, dann mit Punkt-Steigungsform die Gleichung aufstellen. Bei $x = 2$ ergibt sich die Tangente $t(x) = -0,75x + 1,99$.

Die Flächenberechnung zwischen Kurven machst du durch $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Hier musst du aufpassen, welche Funktion oben liegt.

Aussagen über Funktionen prüfst du am besten mit konkreten Beispielen. Wenn $g(x_0) = 0$ oder $h(x_0) = 0$, dann ist automatisch $f(x_0) = g(x_0) \cdot h(x_0) = 0$.

Merksatz: Schnittpunkte findest du durch Gleichsetzen - der GTR hilft dir bei komplizierten Gleichungen!

Anwendung: Dragster-Rennen - Mathe in Action

Geschwindigkeitsmodelle mit $h_k(t) = 35 \cdot t \cdot e^{-kt}$ beschreiben echte Dragster-Rennen perfekt. Der Parameter $k$ bestimmt, wie schnell das Auto seine Höchstgeschwindigkeit erreicht.

Aus der Bedingung "nach 2 Sekunden 50 m/s" berechnest du $k$ durch Einsetzen: $50 = 35 \cdot 2 \cdot e^{-2k}$. Das löst du mit dem natürlichen Logarithmus.

Extremwertanalyse zeigt dir die maximale Geschwindigkeit. Mit $f'(t) = 0$ findest du $t_{max} = 6$ Sekunden. Die Höchstgeschwindigkeit berechnest du dann durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. Beim Start $t = 0$ ist sie maximal, weil $f''(0) > 0$ und für größere $t$-Werte abnimmt.

Realitätsbezug: Diese Modelle werden tatsächlich im Motorsport verwendet - Mathe ist überall!

Stammfunktionen und Logikrätsel

Stammfunktionen sind nicht eindeutig bestimmt, weil sie sich um eine Konstante unterscheiden können. $F'(t) = f(t)$ hat unendlich viele Lösungen.

Die Anfangsbedingung $F(0) = 0$ macht die Funktion eindeutig. Das bedeutet: "Zum Startzeitpunkt ist die zurückgelegte Strecke null" - logisch!

Das Hutfarben-Rätsel löst du durch logisches Schlussfolgern. Der blinde dritte Berater weiß: Wenn die ersten beiden ihre Farbe nicht erkannten, können nicht beide anderen grüne Hüte tragen (sonst wüssten sie es). Da nur 2 grüne Hüte da sind, muss er einen roten haben.

Mathematische Notation ist in Klausuren super wichtig. Schreibe sauber, verwende richtige Symbole und strukturiere deine Lösungen übersichtlich.

Klausurtipp: Bei Logikaufgaben arbeitest du systematisch alle Möglichkeiten durch - das bringt sichere Punkte!

Lösungsstrategien für Integrale

Bestimmte Integrale löst du schrittweise: Erst Stammfunktion bilden, dann Grenzen einsetzen. Bei $\int_{0}^{1} e^{x} + 1 dx$ wird $[e^x + x]_0^1 = (e + 1) - (1 + 0) = e$.

Gleichungen mit Exponentialfunktionen knackst du mit Logarithmen. Aus $\int_{1}^{k} e^{x-1}dx = e^2 - 1$ folgt durch Auflösen $k = 3$.

Die Zuordnung von Ableitungen gelingt durch systematisches Ableiten. $f(x) = e^{-x}$ ergibt $f'(x) = -e^{-x}$, was Graph C entspricht.

Kettenregel-Tricks: Bei zusammengesetzten Funktionen arbeitest du von innen nach außen. Das Vorzeichen bei $e^{-x}$ bleibt durch die innere Ableitung erhalten.

Kontrolle: Setze deine Ergebnisse immer zur Probe ein - so vermeidest du Flüchtigkeitsfehler!

Exponentielles Wachstum und Zerfall berechnen

Wachstumsmodelle startest du immer mit dem Grundwert. 40g Bakterien mit 15% täglichem Wachstum ergeben $f(x) = 40 \cdot 1,15^x$. Für die e-Basis nutzt du: $f(x) = 40 \cdot e^{\ln(1,15) \cdot x}$.

Zerfallsprozesse erkennst du an abnehmenden Werten. Von 8g nach 3 Tagen auf 2g nach 6 Tagen bedeutet: Halbierung alle 3 Tage. Daraus baust du die Formel $f(x) = 32 \cdot (\frac{1}{4})^{\frac{x}{3}}$.

Die Kettenregel bei Potenzfunktionen wie $(2x^2 + 5)^7$ funktioniert so: Äußere Ableitung $7(2x^2 + 5)^6$ mal innere Ableitung $4x$.

Kombinierte Funktionen wie $\sin(x^2) + \sqrt{2x+1}$ leitest du termweise ab. Jeder Summand wird einzeln mit der passenden Regel behandelt.

Praxistipp: Wachstum und Zerfall findest du in Biologie, Physik und Wirtschaft - diese Formeln brauchst du öfter!

Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen

Exponentialgleichungen löst du durch Logarithmieren beider Seiten. Aus $3 \cdot e^{2x} = 3$ wird durch Teilen $e^{2x} = 1$, also $2x = \ln(1) = 0$ und damit $x = 0$.

Bei negativen Exponenten wie $e^{4x} = \frac{1}{e^2}$ schreibst du die rechte Seite als $e^{-2}$. Dann folgt $4x = -2$, also $x = -\frac{1}{2}$.

Logarithmusgleichungen nutzen die Rechengesetze. $\ln(2x) - \ln(2) = 1$ wird zu $\ln(\frac{2x}{2}) = \ln(e)$, also $\ln(x) = 1$ und damit $x = e$.

Die Potenz- und Logarithmusgesetze sind deine wichtigsten Werkzeuge: $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ und $e^{\ln(a)} = a$.

Merkhilfe: Exponential- und Logarithmusfunktion heben sich gegenseitig auf - das ist der Schlüssel zum Lösen!

Produktregel und Tangentenbestimmung meistern

Die Produktregel bei $f(x) = 5x \cdot e^{-2x+1}$ erfordert: $u(x) = 5x$ mit $u'(x) = 5$ und $v(x) = e^{-2x+1}$ mit $v'(x) = -2e^{-2x+1}$. Das Ergebnis: $f'(x) = 5(1-2x)e^{-2x+1}$.

Tangenten an der Stelle $x = 2$ berechnest du durch: Steigung $m = f'(2) \approx -0,7468$ und Punkt $P(2; f(2)) = P(2; 0,4979)$. Die Tangentengleichung wird $t(x) = -0,7468x + 1,9915$.

Schnittpunkte zwischen Funktion und Tangente findest du durch Gleichsetzen $f(x) = t(x)$. Der GTR hilft dir bei komplizierteren Berechnungen: zweiter Schnittpunkt bei $x \approx 0,2$.

Die Flächenberechnung zwischen den Kurven erfolgt über $\int_{0,2}^{2} |f(x) - t(x)| dx \approx 0,77$ Flächeneinheiten.

GTR-Tipp: Nutze die Graph-Funktion deines Taschenrechners - sie spart Zeit und zeigt dir die Lösungen visuell!