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Anfangswert unserer Funktion f Ernönt sich der x- wert um 1, halbiert sich der y-wert bei dieser Funktion die Zani 0,5 ist der wachstumsfaktor unserer Funktion f Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand. Die Zani 3 ist der Anfangswert unserer Funktion f 7 6- 5- 4- 3+ 2X 7 6- 4 3 2 Der Graph von f stellt eine exponentielle zunanme aar, weil die Kurve die ganze Zeit ansteigt 3 U 3 4 6 5 Der Graph von g stellt eine exponentielle Abnahme dar, weil die Kurve die ganze Zeit fällt 7 6 8 7 x 8 X Allgemeine Form einer Exponentialfunktion: Eine Funktion f mit f(x) = c•a* (a>0; a‡ 1) heißt Exponentialfunktion. wenn eine Exponentialfunktion einen wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für al um eine exponentielle Zunahme und für a<l um eine exponentielle Abnahme. Der Faktor c entspricht dem Anfangsbestand f(0) Zum Zeitpunk+ x = 0 LOGARITHMUSFUNKTIONEN/UMKEHRFUNKTIONEN zeichnet man die Umkehrfunktion, so ernält man einen Grapnen, der zur Originalfunktion an der ersten winkeinalbieren gespiegelt ist: y=x y y LOGARITHMUSFUNKTION: 1092(x) togu(x) F₂(x) = 2x F10 (x) = 10* Umkehrfunktion Umkehrfunktion n(x) = log₂ (x) h(x) = log₁0 (x) EIGENSCHAFTEN • kein Graph schneidet die y-Achse · Nullstelle im N(1/0) • immer monoton steigend je größer aie Base desto geringer die Steigung des Graphens • Definitionsbereich umfasst nur die positiven zahlen onne o steigt stetig an; zunächst senr steil, am Ende immer flacher MIT KETTENREGEL f(x) = ax = F(x) = @inia) .x U(X) = @= V(x) = (n(a).x incal.x F'(x) = U'(v(x)) · V'(x) = a*. in (a) f'(x) = einia).*. Inca). F'(x) = (2x-5).e-²x U= 2x-5 v=e-²x MIT PRODUKTREGEL: U' = 2 (U·V)' = U'•v+ U.V' U'(x) = e² V'(x) = (n(a) Vi=-2.e-2x F"(x) = 2 ·e=²× + (2x−5) · (-2) e-²x denn inta) ergibt den Exponenten mit dem die Basis e potenziert werden muss, um a zu erhalten → einca) = a (in(x) = loge (x)) =e-2x (2+ (2x-5).(-2)) =e-2x (2-4x + 10) = (-4x+12).e-2x ax= F(x)= a e abeeitungen in(a).x Noch einmal ableiten k = in (a) BEISPIELE * = ln(1 + →wachstumskonstante ; k= ln (1-10)→ Zerfallskonstante 100 F(x) = ²x F(x) = 2-2-ex F(x)=-ex² F(x) = ---3x³-2) e Denn: Für jedes a gilt: elnia) = a (Definition von Logarithmus) Also: ax = enla") = ex.inia) = e inca).x U=-4x+12 ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION: Funktionswerte immer kleiner (Zerfall") v=e-3x F"(x)= (-4x+12) · e-2x F'(x)=2.e²x > filx)= e-ix F'(x)=2x exª (U·V)' = U'.V+ U•V² f'(x)= 3x.e વદ die exponentiacFunATION e-Funktion → DIE Exponentialfunktion (wenn die Basis der Exponentialfunktion die evlersche Zani e ist, dann sprechen wir von DER Exponentialfunktion) *R-X F(x) = bx (bER*, XER) → Exponentialfunktion mit dem wachstumsfaktor b als Basis • Definitionsbereich: D=TR, wertebereich: w = TR* U'= -4 VI = -2.e-2x F"(x) = -4e-²x + (-4x+12).(-2).e-2x JEDE EXPONENTIALFUNKTION KANN MAN MIT DER BASIS E SCHREIBEN • Der Graph der Funktion schneidet die y-Acnse im Punkt T(0/1) • Für b>l werden die Funktionswerte immer größer ... Wachstum"), für 0<b<l werden die =e-2x (-4+ (-4x+12) · (-2)) =e-2xl-L1+8x-24) = (-28+8x).e-2x -3(x²-2) • Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle, kommt aber der x-Achse beliebig nane (Asymptote) • Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x)=b* und g(x)=( )* sind symmetrisch zueinander bzgl. der y-Acnse S 4+ 3 2- KVRVENDISKUSSION: Lim x → Lim F(x)= x· e-* = o *+0 Jexen flx)=x.e-so Wirkstoffkonzentration x Zu Beginn verläuft die Kurve wie fix) = x una am Ende wie f(x) = e-* → F(x)= x.e-x h O= x+1 SACHZUSSAMMENHANG x= -1 Damit muss so eine Funktion einen Hochpunkt haben und wegen der Exp-Funktion und einen wendepunkt rechts aes Hochpunkts F'(x) = (-1-2x).e-2x NVLLSTELLEN BERECHNEN F(x) = (x+1) · e-²x O= (x+1).e-2x O=(-1-2x) ·e-²x 0=-1-2x 2x = -1 X=-²/²2 Lim *->80 oger EXTREMSTELLEN BERECHNEN: Grenzwert bilden } lim X➜... F(x) == Lim F(X)= x->0 U(X) V(X) Zeit REGEL VON L'HOSPITAL: U(X) F(x) = √(x) 응 1:e-20 f.a. XEIR Lösung Beispiel: Medikamente sanfte Annänerung an o Die Exp-Funktion dominiert den gesamten Ausdruck für große (x→ ∞0) oder kleine (x→-∞0) = lim X→>>>... werden kann. F(x) = x.e-x F(x)= x². e-* U'(x) V'(x) Bestimmung nicht möglich Satz vom Nullproauk+ beachte: e* #0, da ex nicht 0 sein kann. → seperat ableiten onne Quotientenregel vorgang so lange wiederholen bis der Grenzwert bestimmt BEISPIEL: F(x) = 3x² ex Grenzwert bestimmen lim 3x² x →∞ ex 6x = L.H = Lim = lim 848 6 = 9 (unbestimmter Ausdruck) = gegen o → Funktionen im Sachzusammenhang, Durchschnittliche wachstumsgeschwindig EXPONENTIALFUNKTIONEN IM SACHZUSAMMENHANG Höne F(20) F(0) O F(t) wendepunkt Höne س Durchschnittliche wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 20 Jahren: C= 8 tin Jahren Keime f(t) = c.ekt f(0) = c.eko = c 20 tin Jahren f(t) = 8. ek.E F(t) 33= TB+a Zeit nach 2 Std. um 80% I. 33 = T₁+a.bº > Exponentialfunktion in Anwendung, e-Funktion, vermehrung keime y= c.ek.+ Anfangszustand: 8 keime ; vermehrung nach 2 Sta. um 80% a) Funktionsgleichung? b) wann I Hio. Keime? f(t) = → F(t)=30-16e-0,0st ▲FLE) E 14+ A PLE) 20+ - Ï m= wachstumsgeschwindigkeit f(t)=stc.e-kt RO; SETR 10 O₁S+14,5-e-0,04+ R = F(20)-F(0) 20-0 In (1.8) = 2.1 In (1,8) k Hochpunkt F'LE) 1₁8.8= 8.ek-2 1₁8 = ek .² |In(...) + in Janren → Beschränktes Wachstum, beschränkte Abnahme II. 24 =TB+ a.68 III, 18 = TB+a.b's c) verdopplung wann → Exponentialfunktion in Anwendung, Temperaturabnahme objekt, Basis b Teil i t(t)= TB + a·bt · Temperatur von umgebenen He dium Temperaturverlauf von objekt y-Achsenabschnitt Funktionsgleichung F(t)= 8.e 2 -Grenzwert: 20 keine Hoch-/Tiefpunkte → Logistisches Wachstum. logistische Funktion Wendepunkt wird zum Hochpunkt, da es ab da wieder langamer steigt/sinkt beschränktes wachstum wachstumsgeschwindigkeit in (1.8).t Grenzvernalten: von unten gegen 30 F(t)= FLE) + in Janren I Millionen keime 106 = 8.e 46 in (1.8) Start: 33°C Objekt 30 Nach 8 min: 24°C weitere & Min: 18°C .t glt)=30+ 16-e g(t) Allgemeine Form a.s a+(s-a) e-kt +y-Achsenabschnitt ) Gleichungssystem irgendwie lösen b-a f(t) at → Hittelwert berechnen -0,0st auf Achsenbeschriftung achten verdopplungszeit in (1.8) .t 16 = 8.e 8+8=16 स → asynthotisches Verhalten ännlich wie beschränktes wachstum, dass die Steigung permanent abnimmt, dann O ist, dann gegen einen wert gent; ander: Wachstumsgeschwindigkeit nimmt zu erst zu keine Hoch-/Tiefpunkte Grenzvernalten: von oben gegen 30 beschränkte Abnahme a= f(0) o<a<s k>O SPO e-Funktion, Kurvenaiskussion, Übersicht I F(x)= ex ✓ Basis EXPONENTIALFUNKTIONEN IM SACHZUSAMMENHANG Exponent F(x) = 2e³x-8; f(x) = x².e-*;e-²x-8ex Losüngsverfahren: (x-1).ex=0 Ableiten: Kettenregel/Produktregel Kurvenaiskussion: Ablauf / Sonderneiten ↑ Höne sachzusammenhang: → e-Funktion, Kurvendiskussion, Übersicht 2 F(x)=ex -> F(x) = x-2e³x; f(x)= x² = x².ex-1 Grundlagen: Lösungsverfahren K F(x) = 10-e³x k(5) ez 2,71... ex-8=0 F(x)= 20eux-S k(10) . Einfache verkettung: • Ableiten Kurven diskussion/sonderheiten • Integralrechnung/Stammfunktion: 5 20e2x le²x-3)² abituraufgaben STRECKEN BERECHNEN: Zeit Proaur+/Quotient/verkettung: F(x)= x.e-20x F(x)= x². 2x³ F(x)= b=10-5 wichtig klärung von Aufgaben 10 a=k(5)-k(IO) INTEGRAL BERECHNEN a²+ b² = c² Strecke BC berechnen (K(S)-K(10))² + (10-5)²= (BCJ² √(R(S)-KLIO))² + (10-5)² = BC Integral bestimmen zwischen fo₁2, der x-Achse und der Gerade x = p mit p>0 →Foa (x) dx = [Fon (p) - Fon (0)] QUADRANTEN: 2. Quaarant x<0; y>0 3. Quadrant x<0; y<o 1. Quadrant x>0; yo H. Quaarant x>0; y<o PARTIELLE INTEGRATION: F = U.V F₁ = (U⋅v)' = U'. V + U.V' Integrieren SF' = Slu⋅v)' = Su'.v + Su.v² F= U·V = Sul·v + Su⋅v² 1- Sul.v Su.v'= U.v-Sul.v beispiel: f(x)= 3x-ex Ziel: S(3x.ex) ax U = 3x v₁=ex v=-2-ex U' = 3 Su.v'=U.V- Sul.v S3x-exax = 3x-(-2.e` F(x) = 20x e-x² t=-x² SUBSTITUTIONSMETHODE at t'= -2x ax →Deshalb wird die Substitution verwendet werden S20x-e-*² ∙e alt dx==2x dx INTEGRAL →→linearer Term im Exponenten nach dx umformen ·e¯)-√3 · (-2e¯x) dx =-6x ex-S-6₁e* ax =-6×·e¯× +6 Se=³* ax =-6×·e¨*+6 · (-2e = (-6×- 12 ) e¯¾× = = F(x) einsetzen von ax S 20x et ax at S-10et at = [-10e*] [-10e-*²] =-10 → kann auch durch ausprobieren ermittet werden Ableitung von -x² →-2x 20x -2x allgemeine Herleitung wenn man die Stammfunktion ableitet muss man die innere Ableitung mit dem äußeren Teil multiplizieren, um die Ausgangsfunktion zu erreichen Konstante "Nur" x Protenzregel Faktorregel Summenregel Differenzregel EINFACHE INTEGRATION: Produktregel Quotientenregel Kettenregel Stammfunktionen e-Funktionen F(x) ex 2ex 4x + 2ex e3x+4 20 eux-8 ABLEITUNGSREGELN F(x) = 1x f(x) = c f(x) = 10 F(x) = x³ + x4 F(x) F(x) = x^ F(x) = x 10 F(x)=x²-x4 ex 7x¹26x 2ex F(x)= u(v(x) normal integriert wie bereits bekannt e3x+4 → Term multipliziert mit innerer Ableitung des Exponenten 2 20.e 4x-8 F(x) = C⋅ x^ ⇒ F(x)= 8x³+ 50 en bleibt auf-und abgeleitet ex 4 Nur möglich ohne weitere variabel vor dem e und nur mit linearem Term im Exponenten F(x) = x³ (Ulx))• sin(x) (v(x)) F(x) = sin(x) u(x) V(X) F'(x) = O F'(x) = 1 F'(x)=n·x²¹ → f'(x) = 10.xª F'(x)= n.c.xn-1 → F'(x) = 3.8.x² F'(x) = 5x4 + 4x3 F'(x) = 5x4 - 4x³ F'(x) = U'. V + U• V' U'.V-U.V' v2 F'(x) = F'(x) = U'. (v(x)). V'(x)