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Exponentialfunktion

E funktion

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23. Nov. 2021

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8 Seiten

Exponentialfunktionen Zusammenfassung PDF - Definition, Formel & Aufgaben

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Vika 🤍

@viikooos

Die Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind fundamentale mathematische Konzepte, die in... Mehr anzeigen

2.
log la.b) = log(a) + log (b)
log (a b) log(a) -log(b)
3. log(a) = r. log(a)
SCHREIBWEISE
x = 1093 (6)
3x = 6 <=>
P(2/3) QL5/133)
F(2) = c

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen anhand konkreter Beispiele.

Zwei Funktionen werden detailliert untersucht:

f $x$ = 2 · 3^x $exponentielle Zunahme$
g $x$ = 3 · 0,5^x $exponentielle Abnahme$

Für beide Funktionen werden Wertetabellen erstellt und wichtige Eigenschaften herausgearbeitet:

Highlight: Bei f $x$ verdreifacht sich der y-Wert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Bei g $x$ halbiert sich der y-Wert bei gleicher x-Wert-Erhöhung.

Die Begriffe Wachstumsfaktor und Anfangswert werden eingeführt und am Beispiel erklärt.

Definition: Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand.

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird präsentiert:

f $x$ = c · a^x $a > 0; a ≠ 1$

Vocabulary: Für a > 1 beschreibt die Funktion eine exponentielle Zunahme, für 0 < a < 1 eine exponentielle Abnahme.

Logarithmusfunktionen und Umkehrfunktionen

Diese Seite behandelt den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als deren Umkehrfunktionen.

Es werden konkrete Beispiele für Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen gezeigt:

f_2 $x$ = 2^x mit Umkehrfunktion h $x$ = log_2 $x$
f_10 $x$ = 10^x mit Umkehrfunktion h $x$ = log_10 $x$

Highlight: Der Graph der Umkehrfunktion ist an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt.

Wichtige Eigenschaften von Logarithmusfunktionen werden aufgelistet:

Kein Graph schneidet die y-Achse
Nullstelle im Punkt $1/0$
Immer monoton steigend
Je größer die Basis, desto geringer die Steigung des Graphen
Der Definitionsbereich umfasst nur positive Zahlen ohne 0
Die Funktion steigt stetig an, zunächst sehr steil, am Ende immer flacher

Diese Eigenschaften sind fundamental für das Verständnis und die Anwendung von Logarithmusfunktionen.

Ableitungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Exponentialfunktionen, ein wichtiges Thema in der Analysis.

Zwei Methoden zur Ableitung werden vorgestellt:

Mit der Kettenregel: f $x$ = a^x wird umgeformt zu f $x$ = e^ $ln(a$ ·x) Die Ableitung ergibt sich dann als: f' $x$ = a^x · ln $a$
Mit der Produktregel: Für komplexere Funktionen wie f $x$ = $2x-5$ · e^ $-2x$

Example: f' $x$ = 2 · e^ $-2x$ + $2x-5$ · $-2$ · e^ $-2x$

Es werden mehrere Beispiele für Ableitungen gegeben, einschließlich höherer Ableitungen.

Highlight: Die e-Funktion $f(x$ = e^x) wird als DIE Exponentialfunktion bezeichnet und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist.

Die allgemeine Exponentialfunktion f $x$ = b^x $b ∈ ℝ^+, x ∈ ℝ$ wird diskutiert, einschließlich ihrer Eigenschaften:

Definitionsbereich: D = ℝ
Wertebereich: W = ℝ^+
Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt $0/1$

Vocabulary: Für b > 1 spricht man von Wachstum, für 0 < b < 1 von Zerfall.

Kurvendiskussion und Sachzusammenhang

Diese Seite behandelt die Kurvendiskussion einer speziellen Exponentialfunktion und deren Anwendung in einem Sachzusammenhang.

Die untersuchte Funktion ist f $x$ = x · e^ $-x$ , die beispielsweise die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Körper über die Zeit beschreiben könnte.

Wichtige Punkte der Kurvendiskussion:

Grenzwertbetrachtung: lim $x→∞$ f $x$ = 0 lim $x→-∞$ f $x$ = -∞
Verhalten der Funktion: Zu Beginn verläuft die Kurve ähnlich wie f $x$ = x Am Ende ähnelt sie f $x$ = e^ $-x$

Highlight: Die Funktion muss aufgrund ihrer Struktur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt rechts des Hochpunkts haben.

Ableitung: f' $x$ = $1-x$ · e^ $-x$
Nullstellen: f $x$ = 0 ⇔ x = -1 oder x = 0

Diese Analyse hilft, das Verhalten der Funktion zu verstehen und in praktischen Anwendungen zu interpretieren.

Example: In einem medizinischen Kontext könnte der Hochpunkt den Zeitpunkt der maximalen Wirkstoffkonzentration darstellen, während der abfallende Teil der Kurve die Abnahme der Konzentration durch Abbau im Körper zeigt.

Die Kurvendiskussion demonstriert, wie mathematische Analyse verwendet werden kann, um reale Phänomene zu modellieren und zu verstehen.

Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt die vollständige Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen.

Vocabulary: Die Kurvendiskussion umfasst Grenzwerte, Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte.

Example: Bei der Funktion f $x$ = x·e⁻ˣ nähert sich die Kurve für x→∞ asymptotisch der x-Achse an.

Anwendungen der Exponentialfunktionen

Diese Seite zeigt praktische Anwendungen der Exponentialfunktion Anwendungsaufgaben.

Example: Wachstum von Bakterienkulturen: f $t$ = c·eᵏᵗ

Highlight: Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit kann über die Differenzenquotiente berechnet werden.

Übersicht der e-Funktionen

Diese Seite bietet eine Zusammenfassung der e-Funktionen und ihrer Eigenschaften.

Definition: Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion mit der Euler'schen Zahl e ≈ 2,71828... als Basis.

Highlight: Verschiedene Formen der e-Funktion:

f $x$ = eˣ $Grundform$
f $x$ = x²·e⁻ˣ $Produkt$
f $x$ = 2e³ˣ⁻⁸ $Verkettung$

Logarithmusgesetze und Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt wichtige Logarithmusgesetze und grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen.

Die drei Hauptlogarithmusgesetze werden vorgestellt:

log $a·b$ = log $a$ + log $b$
log $a/b$ = log $a$ - log $b$
log $a^r$ = r · log $a$

Definition: Der Logarithmus von y zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um y zu erhalten.

Es wird gezeigt, wie man einen Funktionsterm aufstellt, beispielsweise f $x$ = 0,24 · 3,54^x.

Highlight: Die Halbwertszeit und Verdopplungszeit bei exponentiellen Prozessen werden hergeleitet.

Die Formeln für Halbwertszeit $T_H = log_a(1/2$ ) und Verdopplungszeit $T_D = log_a(2$ ) werden präsentiert, was besonders für Zerfalls- und Wachstumsprozesse relevant ist.

Example: Bei einer exponentiellen Zunahme mit der Funktion F $t$ = c·a^t wird die Verdopplungszeit T_D durch die Gleichung 2 = a^T_D bestimmt.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Exponentialfunktionen Zusammenfassung PDF - Definition, Formel & Aufgaben

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Die Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind fundamentale mathematische Konzepte, die in vielfältigen Anwendungen eine wichtige Rolle spielen. Diese Exponentialfunktion Zusammenfassung PDF behandelt die wesentlichen Eigenschaften, Regeln und Anwendungen.

• Die Exponentialfunktion Definitionbasiert auf der Form f(x) = aˣ, wobei a... Mehr anzeigen

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Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen anhand konkreter Beispiele.

Zwei Funktionen werden detailliert untersucht:

f $x$ = 2 · 3^x $exponentielle Zunahme$
g $x$ = 3 · 0,5^x $exponentielle Abnahme$

Für beide Funktionen werden Wertetabellen erstellt und wichtige Eigenschaften herausgearbeitet:

Highlight: Bei f $x$ verdreifacht sich der y-Wert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Bei g $x$ halbiert sich der y-Wert bei gleicher x-Wert-Erhöhung.

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Definition: Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand.

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Logarithmusfunktionen und Umkehrfunktionen

Diese Seite behandelt den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als deren Umkehrfunktionen.

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f_2 $x$ = 2^x mit Umkehrfunktion h $x$ = log_2 $x$
f_10 $x$ = 10^x mit Umkehrfunktion h $x$ = log_10 $x$

Highlight: Der Graph der Umkehrfunktion ist an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt.

Wichtige Eigenschaften von Logarithmusfunktionen werden aufgelistet:

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Ableitungen von Exponentialfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Exponentialfunktionen, ein wichtiges Thema in der Analysis.

Zwei Methoden zur Ableitung werden vorgestellt:

Mit der Kettenregel: f $x$ = a^x wird umgeformt zu f $x$ = e^ $ln(a$ ·x) Die Ableitung ergibt sich dann als: f' $x$ = a^x · ln $a$
Mit der Produktregel: Für komplexere Funktionen wie f $x$ = $2x-5$ · e^ $-2x$

Example: f' $x$ = 2 · e^ $-2x$ + $2x-5$ · $-2$ · e^ $-2x$

Es werden mehrere Beispiele für Ableitungen gegeben, einschließlich höherer Ableitungen.

Highlight: Die e-Funktion $f(x$ = e^x) wird als DIE Exponentialfunktion bezeichnet und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist.

Die allgemeine Exponentialfunktion f $x$ = b^x $b ∈ ℝ^+, x ∈ ℝ$ wird diskutiert, einschließlich ihrer Eigenschaften:

Definitionsbereich: D = ℝ
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Kurvendiskussion und Sachzusammenhang

Diese Seite behandelt die Kurvendiskussion einer speziellen Exponentialfunktion und deren Anwendung in einem Sachzusammenhang.

Die untersuchte Funktion ist f $x$ = x · e^ $-x$ , die beispielsweise die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Körper über die Zeit beschreiben könnte.

Wichtige Punkte der Kurvendiskussion:

Grenzwertbetrachtung: lim $x→∞$ f $x$ = 0 lim $x→-∞$ f $x$ = -∞
Verhalten der Funktion: Zu Beginn verläuft die Kurve ähnlich wie f $x$ = x Am Ende ähnelt sie f $x$ = e^ $-x$

Highlight: Die Funktion muss aufgrund ihrer Struktur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt rechts des Hochpunkts haben.

Ableitung: f' $x$ = $1-x$ · e^ $-x$
Nullstellen: f $x$ = 0 ⇔ x = -1 oder x = 0

Diese Analyse hilft, das Verhalten der Funktion zu verstehen und in praktischen Anwendungen zu interpretieren.

Example: In einem medizinischen Kontext könnte der Hochpunkt den Zeitpunkt der maximalen Wirkstoffkonzentration darstellen, während der abfallende Teil der Kurve die Abnahme der Konzentration durch Abbau im Körper zeigt.

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Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt die vollständige Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen.

Vocabulary: Die Kurvendiskussion umfasst Grenzwerte, Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte.

Example: Bei der Funktion f $x$ = x·e⁻ˣ nähert sich die Kurve für x→∞ asymptotisch der x-Achse an.

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Anwendungen der Exponentialfunktionen

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Übersicht der e-Funktionen

Diese Seite bietet eine Zusammenfassung der e-Funktionen und ihrer Eigenschaften.

Definition: Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion mit der Euler'schen Zahl e ≈ 2,71828... als Basis.

Highlight: Verschiedene Formen der e-Funktion:

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Logarithmusgesetze und Exponentialfunktionen

Diese Seite behandelt wichtige Logarithmusgesetze und grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen.

Die drei Hauptlogarithmusgesetze werden vorgestellt:

log $a·b$ = log $a$ + log $b$
log $a/b$ = log $a$ - log $b$
log $a^r$ = r · log $a$

Definition: Der Logarithmus von y zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um y zu erhalten.

Es wird gezeigt, wie man einen Funktionsterm aufstellt, beispielsweise f $x$ = 0,24 · 3,54^x.

Highlight: Die Halbwertszeit und Verdopplungszeit bei exponentiellen Prozessen werden hergeleitet.

Die Formeln für Halbwertszeit $T_H = log_a(1/2$ ) und Verdopplungszeit $T_D = log_a(2$ ) werden präsentiert, was besonders für Zerfalls- und Wachstumsprozesse relevant ist.

Example: Bei einer exponentiellen Zunahme mit der Funktion F $t$ = c·a^t wird die Verdopplungszeit T_D durch die Gleichung 2 = a^T_D bestimmt.

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Logarithmusfunktionen und Umkehrfunktionen

Ableitungen von Exponentialfunktionen

Kurvendiskussion und Sachzusammenhang

Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen

Anwendungen der Exponentialfunktionen

Übersicht der e-Funktionen

Logarithmusgesetze und Exponentialfunktionen

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