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Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Sie beschreibt Wachstums- und Zerfallsprozesse und steht in engem Zusammenhang mit der Logarithmusfunktion. Wichtige Aspekte sind:
23.11.2021
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Diese Seite konzentriert sich auf die Ableitungen von Exponentialfunktionen, ein wichtiges Thema in der Analysis.
Zwei Methoden zur Ableitung werden vorgestellt:
Mit der Kettenregel: f(x) = a^x wird umgeformt zu f(x) = e^(ln(a)·x) Die Ableitung ergibt sich dann als: f'(x) = a^x · ln(a)
Mit der Produktregel: Für komplexere Funktionen wie f(x) = (2x-5) · e^(-2x)
Example: f'(x) = 2 · e^(-2x) + (2x-5) · (-2) · e^(-2x)
Es werden mehrere Beispiele für Ableitungen gegeben, einschließlich höherer Ableitungen.
Highlight: Die e-Funktion (f(x) = e^x) wird als DIE Exponentialfunktion bezeichnet und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist.
Die allgemeine Exponentialfunktion f(x) = b^x (b ∈ ℝ^+, x ∈ ℝ) wird diskutiert, einschließlich ihrer Eigenschaften:
Vocabulary: Für b > 1 spricht man von Wachstum, für 0 < b < 1 von Zerfall.
Diese Seite behandelt die Kurvendiskussion einer speziellen Exponentialfunktion und deren Anwendung in einem Sachzusammenhang.
Die untersuchte Funktion ist f(x) = x · e^(-x), die beispielsweise die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Körper über die Zeit beschreiben könnte.
Wichtige Punkte der Kurvendiskussion:
Grenzwertbetrachtung: lim(x→∞) f(x) = 0 lim(x→-∞) f(x) = -∞
Verhalten der Funktion:
Highlight: Die Funktion muss aufgrund ihrer Struktur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt rechts des Hochpunkts haben.
Ableitung: f'(x) = (1-x) · e^(-x)
Nullstellen: f(x) = 0 ⇔ x = -1 oder x = 0
Diese Analyse hilft, das Verhalten der Funktion zu verstehen und in praktischen Anwendungen zu interpretieren.
Example: In einem medizinischen Kontext könnte der Hochpunkt den Zeitpunkt der maximalen Wirkstoffkonzentration darstellen, während der abfallende Teil der Kurve die Abnahme der Konzentration durch Abbau im Körper zeigt.
Die Kurvendiskussion demonstriert, wie mathematische Analyse verwendet werden kann, um reale Phänomene zu modellieren und zu verstehen.
Diese Seite vertieft das Verständnis von Exponentialfunktionen anhand konkreter Beispiele.
Zwei Funktionen werden detailliert untersucht:
Für beide Funktionen werden Wertetabellen erstellt und wichtige Eigenschaften herausgearbeitet:
Highlight: Bei f(x) verdreifacht sich der y-Wert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Bei g(x) halbiert sich der y-Wert bei gleicher x-Wert-Erhöhung.
Die Begriffe Wachstumsfaktor und Anfangswert werden eingeführt und am Beispiel erklärt.
Definition: Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand.
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion wird präsentiert:
f(x) = c · a^x (a > 0; a ≠ 1)
Vocabulary: Für a > 1 beschreibt die Funktion eine exponentielle Zunahme, für 0 < a < 1 eine exponentielle Abnahme.
Diese Seite behandelt wichtige Logarithmusgesetze und grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen.
Die drei Hauptlogarithmusgesetze werden vorgestellt:
Definition: Der Logarithmus von y zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um y zu erhalten.
Es wird gezeigt, wie man einen Funktionsterm aufstellt, beispielsweise f(x) = 0,24 · 3,54^x.
Highlight: Die Halbwertszeit und Verdopplungszeit bei exponentiellen Prozessen werden hergeleitet.
Die Formeln für Halbwertszeit (T_H = log_a(1/2)) und Verdopplungszeit (T_D = log_a(2)) werden präsentiert, was besonders für Zerfalls- und Wachstumsprozesse relevant ist.
Example: Bei einer exponentiellen Zunahme mit der Funktion F(t) = c·a^t wird die Verdopplungszeit T_D durch die Gleichung 2 = a^T_D bestimmt.
Diese Seite behandelt den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als deren Umkehrfunktionen.
Es werden konkrete Beispiele für Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen gezeigt:
Highlight: Der Graph der Umkehrfunktion ist an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt.
Wichtige Eigenschaften von Logarithmusfunktionen werden aufgelistet:
Diese Eigenschaften sind fundamental für das Verständnis und die Anwendung von Logarithmusfunktionen.
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Exponentialfunktionen
Mathe Arbeit zum Thema Exponentialfunktionen Note= sehr gut (volle Punktzahl)
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E-Funktionen
e funktionen und integrale
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Abitur (Analysis): Exponentialfunktionen & Zusammengesetzte Funktionen
- Eigenschaften - Ableitung und Stammfunktion - Logarithmus- und Umkehrfunktion - Beschränktes Wachstum - Verdopplungs- und Halbwertszeit
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e-Funktionen
- Exponentialfunktionen mit e - Eigenschaften - Spiegelung - Verschiebung - Streckung - Ableitung von e-Funktionen - Kettenregel, Produktregel, Faktorregel - Integration von e-Funktionen
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Potenzfunktionen
Grundlagen der Potenzfunktionen (Welche 4 “Arten“ es gibt & wodurch sich diese unterscheiden/Eigenschaften sie jeweils haben)
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Potenzfunktionen Übersicht
Grundtypen von Potenzfunktionen
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Zwei Methoden zur Ableitung werden vorgestellt:
Mit der Kettenregel: f(x) = a^x wird umgeformt zu f(x) = e^(ln(a)·x) Die Ableitung ergibt sich dann als: f'(x) = a^x · ln(a)
Mit der Produktregel: Für komplexere Funktionen wie f(x) = (2x-5) · e^(-2x)
Example: f'(x) = 2 · e^(-2x) + (2x-5) · (-2) · e^(-2x)
Es werden mehrere Beispiele für Ableitungen gegeben, einschließlich höherer Ableitungen.
Highlight: Die e-Funktion (f(x) = e^x) wird als DIE Exponentialfunktion bezeichnet und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist.
Die allgemeine Exponentialfunktion f(x) = b^x (b ∈ ℝ^+, x ∈ ℝ) wird diskutiert, einschließlich ihrer Eigenschaften:
Vocabulary: Für b > 1 spricht man von Wachstum, für 0 < b < 1 von Zerfall.
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Wichtige Punkte der Kurvendiskussion:
Grenzwertbetrachtung: lim(x→∞) f(x) = 0 lim(x→-∞) f(x) = -∞
Verhalten der Funktion:
Highlight: Die Funktion muss aufgrund ihrer Struktur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt rechts des Hochpunkts haben.
Ableitung: f'(x) = (1-x) · e^(-x)
Nullstellen: f(x) = 0 ⇔ x = -1 oder x = 0
Diese Analyse hilft, das Verhalten der Funktion zu verstehen und in praktischen Anwendungen zu interpretieren.
Example: In einem medizinischen Kontext könnte der Hochpunkt den Zeitpunkt der maximalen Wirkstoffkonzentration darstellen, während der abfallende Teil der Kurve die Abnahme der Konzentration durch Abbau im Körper zeigt.
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Highlight: Bei f(x) verdreifacht sich der y-Wert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Bei g(x) halbiert sich der y-Wert bei gleicher x-Wert-Erhöhung.
Die Begriffe Wachstumsfaktor und Anfangswert werden eingeführt und am Beispiel erklärt.
Definition: Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand.
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Definition: Der Logarithmus von y zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um y zu erhalten.
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Highlight: Die Halbwertszeit und Verdopplungszeit bei exponentiellen Prozessen werden hergeleitet.
Die Formeln für Halbwertszeit (T_H = log_a(1/2)) und Verdopplungszeit (T_D = log_a(2)) werden präsentiert, was besonders für Zerfalls- und Wachstumsprozesse relevant ist.
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Mathe - Exponentialfunktionen
Mathe Arbeit zum Thema Exponentialfunktionen Note= sehr gut (volle Punktzahl)
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Mathe - E-Funktionen
e funktionen und integrale
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Mathe - Abitur (Analysis): Exponentialfunktionen & Zusammengesetzte Funktionen
- Eigenschaften - Ableitung und Stammfunktion - Logarithmus- und Umkehrfunktion - Beschränktes Wachstum - Verdopplungs- und Halbwertszeit
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Mathe - e-Funktionen
- Exponentialfunktionen mit e - Eigenschaften - Spiegelung - Verschiebung - Streckung - Ableitung von e-Funktionen - Kettenregel, Produktregel, Faktorregel - Integration von e-Funktionen
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Mathe - Potenzfunktionen
Grundlagen der Potenzfunktionen (Welche 4 “Arten“ es gibt & wodurch sich diese unterscheiden/Eigenschaften sie jeweils haben)
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Mathe - Potenzfunktionen Übersicht
Grundtypen von Potenzfunktionen
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