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die Zani 0,5 ist der wachstumsfaktor unserer Funktion f Der Funktionswert für x=0 heißt Anfangswert oder Anfangsabstand. Die Zani 3 ist der Anfangswert unserer Funktion f Allgemeine Form einer Exponentialfunktion: Eine Funktion f mit f(x) = c·ax (a>0;a* 1) heißt Exponentialfunktion. 7. 6- 5- 4 3+ 7. 6- 14 3 2- Der Graph von f stellt eine exponentielle Zunanme dar, weil 2 die Kurve die ganze Zeit ansteigt 3 4 S 6 7 8 3 Der Graph von g stellt eine exponentielle Abnahme dar, weil die Kurve die ganze Zeit fällt 6 7 x 8 x wenn eine Exponentialfunktion einen wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für a-1 um eine exponentielle zunahme und für a<l um eine exponentielle Abnahme. Der Faktor c entspricht dem Anfangsbestand f(0) zum Zeitpunk+ x = 0 LOGARITHMUSFUNKTIONEN/UMKEHRFUNKTIONEN LOGARITHMVSFUNKTION y 1092(x) togu(x) : zeichnet man die Umkehr funktion, so ernält man einen Graphen, der Eur Originalfunktion an der ersten winkeinalbieren gespiegelt ist: y=x F₂(x) = 2x F10 (x) = 10x Umkehrfunktion Umkehrfunktion. n(x) = log₂ (x) h(x) = log10 (x) EIGENSCHAFTEN: • kein Graph schneidet die y-Achse • Nullstelle im N(1/0) • immer monoton steigend · je größer aie Base desto geringer die Steigung des Graphens • Definitionsbereich umfasst nur die positiven zanien onne o steigt stetig an; zunächst senr steil, am Ende immer flacher MIT KETTENREGEL f(x) = ax = intal.x F(x) = @inca) • U(X) = et v(x) = (n(a).x F'(x) = U' (V(x)) · V'(X) = a*. inca) f'(x) = @inia).*. Incal F'(x) = (2x-5).e-²x U= 2x-5 v=e-²x MIT PRODUKTREGEL: U'(x)=² V'(x) = n(a) (U.v)' = U'.V+ U.V' U' = 2 denn inca) ergibt den Exponenten mit dem die Basis e potenziert werden muss, um a zu erhalten → einia) = a (in(x) = loge (x)) Viz-2.e-2x F"(x) = 2.e-²x + (2x−5) · (-2) e-2x e-2x (2+ (2x-5).(-2)) =e-2x (2-4x+10) k= (n{1+ = (-4x+12).e-2x un(a).x abeeitungen e k = in (a) Noch einmal ableiten 5)→ wochstumskonstante ; k= In (1-1)→ Zerfallskonstante 100 BEISPIELE Denn: Für jedes a gilt: elnia) = a (Definition von Logarithmus) Also: ax = einla") = ex.inia) ina).x F(x) = ²x Flx) = 2-2-e-tx F(x) = -ex² F(x)=-=-3x³-2) =en U=-4x+12 v=e-3x Funktionswerte immer kleiner (Zerfall") ->>>> F"(x)= (-4x+12) · e-2x F'(x)=2.ex F'Lx) = e-ix F'(x) = -2x.ex² (U.V)' = U'.V+ U·V² f'(x)= 3x.e die EXPONENTIacFUNKTION ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION F(x) = bx (bER*, XER) → Exponentialfunktion mit dem wachstumsfaktor b als Basis • Definitionsbereich: D³®, wertebereich: w=®* + U'=-4 e-Funktion → DIE Exponentialfunktion (wenn are Basis der Exponentialfunktion die eulersche Zani e ist, dann sprechen wir von DER Exponentialfunktion) 土姆•其 F(x)= a.e VI =-2.e-2x F"(x)=-4.e-²x + (−4x+12) · L-2).e-²x JEDE EXPONENTIALFUNKTION KANN MAN MIT DER BASIS E SCHREIBEN & • Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse im Punkt T(0/1) • Für b>l werden die Funktionswerte immer größer (Wachstum"), för 0<b<l werden die = e-³x (-4+ (-4x+12) · (-2)) =e-2xl-4+8x-24) = (-28+8x).e-²x -3(x²-2) entiacfunktion • Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle, kommt aber der x-Achse beliebig nane (Asymptote) • Die Graphen ger Funktionen f und 9 mi+ f(x)=b* und g(x)=()* sind symmetrisch zueinander bagi. der y-Achse 5+ 4+ 3 2- KVRVENDISKUSSION wirkstoffkonzentration x Lim F(x) = x· e-* = o x+0 ever Limfuxiax: 0 h zu Beginn verläuft die kurve wie f(x)=x una am Ende wie f(x) = e-* → F(x)= x.e-x SACHZUSSAMMENHANG O= x+1 X=-1 Damit muss so eine Funktion einen Hochpunkt haben und wegen der Exp-Funktion und einen wendepunkt rechts des Hochpunkts O=(x+1)-e-2x 1:e-²0 f.a. XE TR F'(x) = (-1-2x).e-2x 0=(-1-2x) ·e-²x NVLLSTELLEN BERECHNEN F(x)= (x+1)-e-²x 0=-1-2x 2x = -1 X=-=-= Lim X-300 oder Lim X-30 EXTREMSTELLEN BERECHNEN: Grenzwert bilden lim X➜... F(x) == F(x)= U(X) V(X) Zeit REGEL VON L'HOSPITAL: U(X) F(X) = V(X) {} 응 : Lösung = lim Beispiel Medikamente sanfte Annänerung an o Die Exp-Funktion dominiert den gesamten Ausdruck für große (x+ ∞0) oder kleine (x→-00) F(x) = x.ex werden kann. F(x) = x². e-* Bestimmung nicht möglich Sate vom Nusproduk+ beachte: e* #o, da ex nicht O sein kann U'(x) V'(x) → seperat ableiten onne Quotientenregel vorgang so lange wiederholen bis der Grenzwert bestimmt BEISPIEL: Flx) = 3x² ex L.H Grenzwert bestimmen lim 3²= (unbestimmter Ausdruck) ex = Lim 6 x4∞ ex = lim = = ✿B gegen O