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Exponentialfunktionen Lernzettel

Lernzettel zu dem Thema Exponentialfunktionen 

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Gymnasium

Mathe

LOGARITHMUSGESETZE I 199 (d.b) = logia) log(b) Herleitungdeszweitenogarithmusgesetzes: 2. logla:b): logia) - 10gcp) ) = logolm. n-1) 3. log(dr) = r. logla) logblm)+ logo(n-1) 109p(m) + (-logo(ni) 109p(m) - logo(n) SCHREIBWEISE 3*=6 x = 1093(16) Diese b eiden Aussagen beschreiben clenseiben Sachverha)+. Es sich leagien um eine alternative Schreipweise Der Logarithmus von y zur Basis a ist aerjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um y zu ernalten FUNKTIONSTERM AVFSTELLEN : P(2/3) Q(S/133) €(2) = a2 = 3 d- ausrechnen F(2) = c.a 3 F(S) c.as = a- = 133 133 3 133 =a'= 3 a= 3 a= 3. 54 C- ausrecnpen c=0,24 FunktionSterm dufstellen fix) = 0,24 3,54* HALBWERTSZEIT Exponentieller zerfail VERDOPPLUNGSZEITEN Exponentielle zunahme a<o a> o N(t) = No at c at TH gesucht TO gesucht Ansate Ansata INo = No at Der Apfangswer+ Rürz+ sicn raus 2c=C.aTo Der Anfangswert Rüra+ sicn raus 1/2 at 2: dT° TH = logalt) To=109a(2) = 109a(2-1) 3. - loga (2) y 7 Ernont sich der x- wert um L. verdrejfacht sich ater y-wert 6 -I I 2 3 bei dieser Function die Zoht 3 ist der 5 per Graph von € stell eine y 2 G is 54 unserer Funntion f 4 exponentiene zunanme car, weil Der Funitionswer+ Für x=o neipt Aneangswert oaer 3 aie Kurve aie ganee Zeit ansteigt F(-1)=2.3" Anfangsdpstand. Die zan) 2 is+ der Anfangswere 2) el 2.27 unserer Funition F 1 = su 2 3 4 5 6 7 8 x F(x)=(3.0,5* y Wer+e+abelle Ernont sicn der -wert um 1. halbiert sich aer y-wert 7 2 3 bei dieser Function die zoht 0,5 ist der 6. y 6 3 1,5 0,75 :0,4 unserer Funition F 5 Der Graph von 9 Steilt eine Der Funtrionswer+ Für x=O neipt Aneangswert oaer 4 exponentielle Abnanme clar, weil aie g(-1) 3 (t) 9(21=3.0,52 Anfangsdpstand. Die zan) 3 IS+ der Anfangswer+ 3 Kurve die ganze zeit Fäut = 3 1/° 3.0,25 unserer Funktion F 2 = 3.2 = 0,75 I =6 Allgemeine Form einer Exponentidlefunistion Eine Fupltitn f mit flx) = c.ax la>oia I) heißt Exponentiaifunktion. wenn eine Exponentiaifunition einen wachstumsvorgang beschreipt. handelt es Sich für d=1 um eine exponentielle Zunanme una für ael um eine exponentielle Abnahme, per Fartor c entspricht aem Anfangspestand FIO) zum Zeitpunkt x=o zeichnet mandie umienrfunition. so ernölt man einen Graphen, der aur Originalfunkton an aer ersten gespieget ist: F2(x)=2* n(x) = logz (x) fio(x) IO* h(x) = logio Lx) LOGARITHMUSFVNKTION y kein Graph schneide+ die y-Acnse Nollstelle im N(1/0) immer monoton Steigend je größer die Base desto geringer die Steigung des Graphens (10g4(x) DEfinitionsiereich umfdsst nur aje positiven zahlen onne o . Steigt stetig an; aunächst senr Steil, dm Enae immer flacher abeellungen f(x) * = = A denp inta) ergib+ den Exponenten mit dem die-Bdsis e potenzier+ wergen muss, um a au eqnalten F(x) spid) BEISPIELE U(X) = e e v'(x)=e F'CX)=2.c2 -ix V(X)=(n(a).x v'(x1=cnia) f'Ix) '(VCX)) v'IX) f(x)=-ex F'lx)=-2x.ex1 F'(x): inia).x inta) e -3(x'-2) f'(x)= -3(x'-2) = ax. inid) MIT PRODUKITREGEL (2x-5) e-2x f"(x)= (-4x+12).e-2x U= 2x-5 U'= 2 U=-4X+12 U's-4 v= e-2x v= e-2* vrs-2.e-2* (U.V)'= v'.vt U.V' (U.V)' = U.V+U.V NOCH einmal abietten e-2x+-4x+12)-6-21.e-21 = e-2K =e-2x12-4x+10) e-cki-U+8x-24) =(4x+12).e-2x 1-28+8x1.e-2x e - Funktion PIE (wenn die adsis der Exponentialfunktjop die evierscne zani e is+, caann sprecnen wir von DER f(x): a e = = Zerfaliskonstante EXPONENTIALFUNKTION KANH MAN MIT DER BASIS E SEHREIBEN: a* = penn: Fürjedes a git+: (Definition von Logarithmus) Also; a* = einta") ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION : F(x) ER+, x €R) mit am p dis Bosis " pefinitionsberejch: D= RR wertebereicn w= s . per Grapp der Fupition Schneiget die 9- Acnse im Punne TLO/I) y Für 0>1 weraen die immer gröser L" wachstum"), für OCDCI weraen die 3 Funktionswerte immer kleiner Lp zerfail") 2 Die ExponentialFunktion ndt neine Nuisteue, romm aber cier x- Acnse beljepig nahe (Asymptote) Die Grappen der Funktionen F una 9 mit und gixis (1/1* Sina symmetrisch aveinander bzgi. der y-Achse -2 -, 4 2 3 SACHEUSSAMMENNANG KVRVENDISKUSSION : Beispiel Medilaamente sanfte Apnanerung an o zeit zu Beginn verläuft aie Kurve wie fix)= x und am Ende wie Flx1=*.e-* Lim F(x)=x e-*=0 pie Exp - Funntion dominiert den gesdmten

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