Zusammenfassung E-Funktion und Exponentialfunktion

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f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: - wenn a>1 wird der Graph gestreckt - wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht - wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt x)-0,5 10x)-0,7\ 1x)-0,2-0,5 (x)=0,5 Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 (-4) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: Funktionsgleichung in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x)= a.b²+d f(x)=-40,5 Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x) = a.bx f'(x) = a. ln (b). bx 1) (-2) 50-1.5 6x) 42 100-2 fx)-0,2-2 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x)=e* Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)=e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=²x kixto f(x) = ²x e Aufleiten dieser Funktion: f(x) = ekxin F(x) = 1 . ek.xtn oder a ·e Tangentengleichung bestimmen: Y=mx+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben f'(x) = kiekixta Logarithmengesetze (1) In (x-y)= ln (x) + In (y); (2) In (=In(x)-In (y); (3) In (xt)=t-In (x) Lineare Kettenregel: Lele die Funktion (G)= (2-x)³ ab entweder: (2x). (2-x) (2-x) oder einfacher mit Kettenregel (G) = (2-x) ³ äußere 2 ('(x)= (-1. 3. (2x) lexto Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x Ableitung des imeren funktion f(x)=ex-x; Stelle x=2 t(x) = m-x+b m = f'(2)= e²-1; Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e (Incy). P(2|e²-2) und m einsetzen e²-2=(e²-1)-2+b; somit b=-e² t(x)=(e²-1)-x-e² Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a-b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. In(b).x f(x) = a·b ² = a.ch Ableitung der außeren Funktion Ke ->0 f 4) = (x+1).e-2x x->∞0 соет ein Fakefar alles gegen Ⓒ läuft, läuft gegen e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Innere Ableitung äußere Abdertung X brauchen wir Eigenschaften Die e-Funktion ist eine 4 Graph: Besonderheit: ganz steht für die Eulersche Zahl und es weiter gilt: CA 1. E-Funktion T 1 besondere Exponential funktion: f(x)=e* (xER) gilt mit (011) and (11) ('(x) = ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leilung überein! e = 2,748... -J-Jugl. 565 A5 nach unten verschoben für cco f(x) = e²tc nach oben verschoben för cso f(x)= a.ex (a ·e^) = a-e* -> Faktor bleibt stehen! a 31 a co gespiegelt an der X-Adhe gestreet } PCO(a) Orace gestaucht. 22.09.21 (extc) = ex -> konstante fällt beim Ableiten weg ! Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG (1 Es gilt: Jede Funktion f(x)=e^tc ist eine Stammfunktion (G) = ex Bsp.: -Ti "Ti Sendx = e = 1 = 1,₁718 Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)-e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: ↓ händisch: 1 1 Sexd² = [FG)] e - [erte] - e²+c (e°tc) = etc-l-c e-l Sc²dx = [F(G)- F(0) = c ² - 2 0 = 0 - 1 = 1.98.. -2 Erinnerung händische Berechnung von Integralen (x+2) dx = [F(0) - F(2)] => grammnfication funden mit dem f(x) Taste: lala → Jodo -> FG)-²12x = 1/2-·0²4 20- (1-6-25 ²12 · (2)) -0-(2-4) -0-(-2) = 2 -> Stammfunktion ↳ f(x) = ex von f(x)=e* bestimmen ! -> ((x+2) dx -> x/2 + 2x Definition S. 76 Weiter gilt: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: ex=y mit xoln (y) d.b.: _inly). =Y с Umgekehrt gilt auch: In (et)= y Allgemein gilt: (x) Der natürliche Logarithmus Inlog e BSP.: (nur verstehen, jetzt mit T1 oder Forme!) Bsp.: In (2³)-3 Jede Exponentialfunktion f(x)=a•b (b>0) kann auch mit der Basis e geschrieben werden: In (b).x =a.e ((x) = a·b" Lymit b= e In (6) _Ĵ 06.10.21 f(x)=a.bx mit f(x)= are in (b), X f'(x) =a \n (b). bx Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren Der Begriff exponentielles Wachstum wird als Oberbegriff für exponentielle Abnahme und exponentielle Zunahme verwendet. k= en (b) Exponentielles Wachstum kann mithilfe einer Funktion f mit f(t)= a.ekt beschrieben wer- den. Dabei ist f(0) = a der Anfangswert zum Zeitpunkt 0. Für k<0 Für k>0 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme. A BEISPIEL Wird das exponentielle Wachstum mit dem Term f(t)= a.bt, b>0 beschrieben, ergibt sich k aus dem Wachstumsfaktor b=ek mit k = ln (b). Bei der Modellierung von Wachstumsprozessen wird häufig angegeben, dass es sich um eine Abnahme oder Zunahme um p % pro Zeiteinheit handelt. Für die Basis b> 0 im Term f(t) = a-bt gilt in diesem Fall: bei Abnahme: b=1-1001 <1 Die Abnahme von 33 % pro Sekunde bei einem Anfangswert 9: f(t) = 9-(1-33)¹= = 9-0,67t k<0 f(x)=a.e BESTAND Abnahme: k<0 = 9.eln(0,67)-t9.e-0,4005-t b (>0) beschreibt die Funktion f eine exponentielle Zunahme. k (en(6)) k.t Р bei Zunahme: b=1+ -> 1. 100 BEISPIEL Wachstumsgeschwindigkeit eines exponentiellen zum Bestand, denn: tt = k· f(x). kt Bezeichnung p% Wachstumsrate Wachstumsfaktor Wachstumskonstante k>0 Zunahme von 25% pro Tag bei einem Anfangswert 2: Zunahme: k>0 f(t) = 2. (1+25)*= = 2.1,25t 100 ; f'(x) = k·a·ek GESCHWINDIGKEIT ABGRENZUNG = 2.eln(1,25).t9.e0,2231-t also k= f'(x) f(x) Zunahme Abnahme >O (₁ Zunahme") >O (Abnahme") > 1 (1+p%) >O < 1 (1-p%) <O Halbwertszeit-Verdopplungszeit Bei exponentiellem Wachstum ist die Zeit stets gleich, in der sich ein Anfangswert halbiert (bei Abnahme) oder verdoppelt (bei Zunahme). Für ein exponentielles Wachstum, das durch eine Funktion f mit f(t)= a.ekt beschrieben wird, beträgt bei exponentieller Abnahme, also für k < 0, die Halbwertszeit oder Halbierungszeit t In (2) ▪ exponentieller Zunahme, also für k> 0, die Verdopplungszeit ty="K ■ BEISPIEL f(t) = 0,8-e-0,2t ½a= а 슬 en (2) en (1) k Halbwertszeit = t₁ = = In (2) -0,2 = =a.e -≈ 3,47 HERLEITUNG f(t)=a.ekt tu ek.t k.t k.t BEISPIEL 1:a len lik f(t) = 2,4.e0,6t t₁ = In (2) 0,6 2a 2 en (2) = en (2) k Verdopplungszeit = 1,16 = a.e 1:a ekt Ien k.t 1:k = k.t In() k tv 2002 by Rainer Müller - http://www.eMath.de a% = 1 a amanam+n speziell die e-Funktion: Potenzregeln : In (1) = 0 ; G a a² = a ; a-" = am an ; an.b" (a.b)" =am-n e = y exey = ex+y eº = 1 ; In (u v) = ln (u) + In (v) In (e) = 1 ; 1 an ana·a· a... a n-Stück ; ; ; ; : e-x Logarithmenregeln : an = -(;)* = fn va:= an (am)n = am-n = (an)m e² ey In (u)r In (u x = ln y In (e) = x In (1) = ; ; (e)y = ex-y eln (x) = x = In (u)- In (v) 1