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Zusammenfassung E-Funktion und Exponentialfunktion
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Eigenschaften E-Funktionen, Ableitungen, etc.
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Exponentialfunktionen Eigenschaften: Für jede Exponentialfunktion mit y=b^x mit b>0 gilt: - Graph verläuft oberhalb der x-Achse und durch den Punkt P(0/1) - steigt für b>1 und fällt für 0<b<1 schmiegt sich für b>1 dem negativen Teil und für 0<b<1 dem positiven Teil der x-Achse an wenn x um c wächst, wird der Funktionswert b^x mit b^c multipliziert - y=b^x und y= (1/b)^x =b^-x gehen durch Spiegelung an der Y-Achse auseinander hervor, denn 3* = (13) * Allgemeine Form: f(x)= a.bx E-Funktion/ Exponentialfunktion Zeitraum mit ato und b>0 Anfangswert Fall 1: f(x)=bx für b > 1 Je größer ist, desto schneller steigt die Exponentialfunktion streng monoton an. Da in jedem dieser Beispiele ist, gehen sie alle durch den Punkt. steil verlauft die Karve 28. Verdoppling alle Tage Fall 2: f(x)=bx für 0 < b < 1 Liegt im Intervall, so fällt die Exponentialfunktion. Man spricht bei diesen streng monoton fallenden Funktionen auch von exponentiellem Zerfall. Je kleiner ist, desto schneller fällt der Funktionsgraph Fall 3: f(x) = a · bx für a > 0 Unabhängig von der Basis kann auch der Anfangswert gewählt werden. Für ist das gerade der y-Achsenabschnitt. Die untenstehende Graphik zeigt die Verschiebung der Exponentialfunktion jeweils für . Fall 4: f(x) = a · bx für a < 0 Hat ein negatives Vorzeichen, so wird der Funktionsgraph zusätzlich noch an der y-Achse gespiegelt. Hier im Bild siehst du den...
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Fall, dass zusätzlich ist. Halbwertzeit: 1 = f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: wenn a>1 wird der Graph gestreckt wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht - wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt Verdopplungszeit: 2= f(x) -6 f(x)=0,7 .4 -5 f(x)=0,5x -4 -3 3 -2 f(x)=-0,2-0,5) f(x)=0,2x Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 -2 Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x) = a.bx f'(x) = a.ln (b). bx 1 -1 f(x)=-0,5% -1 -2- Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x) = a.b²+d -3- 6- 5 f(x)=-4-0,5x 2 4 5 1) 6- f(x)-5% 5. Je f(x)=2*/ 4- f(x)=1,5x 3- 2. (-2) -31³ -4 -3 -2 -1 5- ؎(۱) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters, in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: 4 0 -1- f(x)=4-2x 1 2 f(x)=2x f(x)=0,2-2* 4 6 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x) = e Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)= e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=c² kixto f(x)= Aufleiten dieser Funktion: f (x)= ekixin F(x)= 11 ekixto oder a elexto е = e Tangentengleichung bestimmen: Y=m.x+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben kixto f'(x) = kiekixta Logarithmengesetze (1) In (x-y)= In (x) + In (y); (2) In () = In (x) - In (y); (3) In (xt)=t-In (x) Lineare Kettenregel: Leile die Funktion f(x)= (2-x) ³ ab entweder (2+).(2-x) (2-x) : oder einfacher mit Kettenregel (G) = (2-x) ³ äußere 2 innere funtion: 3 f'(x) = -1.3. (2x), f(x)=ex-x; Stelle x = 2 t(x) = m-x+b m = f'(2) = e²-1; P(2|e²-2) und m einsetzen Ableitung des inneren Funktion Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x مایع e e²-2=(e²-1)-2+b; somit b =-e² t(x)=(e²-1)-x-e² Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e •Incy). =Y Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a·b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. f(x) = a.b* In(b).x = a.e Ableitung des außeren Funktion ->0 e f(x)= (x+e).e-2x ->O x-)∞0 wenn ein alles Falelor grogen Fakefar gegen O gegen Ⓒ läuft, läuft e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Innere Ableitung äußere Ableitung X brauchen wir evir nic Eigenschaften Die e-Funktion ist eine ganz besondere Exponential funktion: f(x)=e* (xER) "e" steht für die Eulersche Zahl und es gilt Graph: Besonderheit weiter gilt: : E-Funktion 14 mit (011) und (16) -J-Jugl. 563A5 f'(x)= ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leitung überein! e=2,748... Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG nach unten verschoben für cco f(x) = extc nach oben verschoben für cso (a · e^) = a-e* → Faklor bleibt stehen! -> f(x)= a. ex a co gespiegelf an der X-Achse a> gestredt & P(0(a) Osace gestaucht. ast (extc) = ex -> konstante fällt beim Ableiten weg ! 22.09.21 Es gilt: ,, Jede Funktion f(x)=e^tc ist eine Stamm funktion ((x) = ex Bsp.: -)² T₁ Şe²dx = e = 1 = 1, 718 Ti Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)=e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: H ↓ händisch: 1 Sexdx= [F(x)] e = [c²te] e = ettc. (etc) etc-l-c e-l 1 Seªdu * dx = [F (₁)-F (0) = e² - e° = e-1 ≈ 1,718... O -2 Erinnerung händische Berechnung von Integralen (x+2) dx = [F(0)-F (2)] f(x) FG) - 1/2 x ² + 2 x t = ½ 0²420-(1-62) ³2-(-2)) -0-(2-4) = 0 - (-2) 2 -> Stammfunktion. ↳ f(x) = ex von f(x)=e* bestimmen ? =) Stammfunktion finden mit dem Ti: Taste: lal {8 -> → Sodo -> ((x+2) dx -> */2/²+2x Definition S. 76 Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: Weiter gilt: (x) Der natürliche Logarithmus Inlog e Umgekehrt gilt auch: In (eſ)= y Allgemein gilt: ex=y mit xoln (y) d.h: einly) ay с BSP.: (nur verstehen, jetzt mit II oder Forme!) Bsp.: In (³)-3 Jede Exponentialfunktion f(x)=a•b (b>0) kann auch mit der Basis e geschrieben werden: x In (b).x ((x) = a·b ² = a Lsmit b=eln (b) _Ĵ 06.10.21 f(x) =a.bx mil f(x)= are noix (6) f'(x) = a. ln (b). bx Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren Der Begriff exponentielles Wachstum wird als Oberbegriff für exponentielle Abnahme und exponentielle Zunahme verwendet. k= en (b) Exponentielles Wachstum kann mithilfe einer Funktion f mit f(t)= a.ekt beschrieben wer- den. Dabei ist f(0) = a der Anfangswert zum Zeitpunkt 0. Für k<0 Für k>0 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme. k<0 BEISPIEL Wird das exponentielle Wachstum mit dem Term f(t)= a-bt, b>0 beschrieben, ergibt sich k aus dem Wachstumsfaktor b=ek mit k = ln (b). Abnahme von 33% pro Sekunde bei einem Anfangswert 9: f(t) = 9-(1-33¹-9-0,67t Bei der Modellierung von Wachstumsprozessen wird häufig angegeben, dass es sich um eine Abnahme oder Zunahme um p % pro Zeiteinheit handelt. Für die Basis b> 0 im Term f(t) = a.bt gilt in diesem Fall: Р bei Abnahme: b=1- <1 100 Abnahme: k<0 beschreibt die Funktion feine = 9.eln(0,67).t9.e-0,4005-t exponentielle Zunahme. Р bei Zunahme: b= 1+- >1. 100 Bezeichnung Wachstumsrate BEISPIEL Zunahme von 25% pro Tag bei einem Anfangswert 2: Zunahme: k>0 f(t) = 2-(1+25=2-1,25t 100 p% (50) Wachstumsfaktor k Wachstumskonstante (en (6)) Die A Wachstumsgeschwindigkeit eines exponentiellen Wachstums ist proportional f(x)=a.e².t BEST AND • f'(x) = k·a.e GESCHWINDIGKEIT k>0 ABGRENZUNG = 2.eln (1,25).t 9. e0,2231.t tt =k. f(x) Zunahme > O (₁ Zunahme") > 1 (1+p%) >O also: ¹ k = f'(x) +(+) Abnahme >O (,, Abnahme") < 1 (1-p%) KO Halbwertszeit - Verdopplungszeit Bei exponentiellem Wachstum ist die Zeit stets gleich, in der sich ein Anfangswert halbiert (bei Abnahme) oder verdoppelt (bei Zunahme). Für ein exponentielles Wachstum, das durch eine Funktion f mit f(t) = a.ekt beschrieben wird, beträgt bei exponentieller Abnahme, also für k<0, die Halbwertszeit oder Halbierungszeit t In (2) ■ exponentieller Zunahme, also für k> 0, die Verdopplungszeit ty= k ■ BEISPIEL f(t) = 0,8-e-0,2t </N +/N 2 a 2 Halbwertszeit en (2) en (2) k tμ = = In (12) -0,2 (1) =a.e ek. е ≈ 3,47 HERLEITUNG f(t)=a.ekt k.t le. t to H k.t BEISPIEL 1:a len lik f(t) = 2,4.e0,6t 2a 2 en (2) = tv= en (2) k In (2) 0,6 Verdopplungszeit 1,16 = = a.e e k.t le.t k.t In (12) k tv 1:a len 1:k © 2002 by Rainer Müller - http://www.eMath.de am a = 1 a • a" =a m+n speziell die e-Funktion: Potenzregeln : In (1) = 0 ; ; a a¹ = a anfn ,м a an exc = = a = (a · b) n eey = ex+y eº=1 = Y m-n In (e) = 1 In (u v) = ln (u) + ln (v) In (u") ; an = α· α· α· ; n ; ; e ; a Logarithmenregeln : = r. n-Stück X = (am)n = ex · In (u) 1 va:= := an ey = ln y ln (e) = x = a a m.n N ; - (an)m ; (ex)³ = ex.y In () = ln (u) - ln (v) eln (x) = x 1
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Fall, dass zusätzlich ist. Halbwertzeit: 1 = f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: wenn a>1 wird der Graph gestreckt wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht - wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt Verdopplungszeit: 2= f(x) -6 f(x)=0,7 .4 -5 f(x)=0,5x -4 -3 3 -2 f(x)=-0,2-0,5) f(x)=0,2x Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 -2 Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x) = a.bx f'(x) = a.ln (b). bx 1 -1 f(x)=-0,5% -1 -2- Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x) = a.b²+d -3- 6- 5 f(x)=-4-0,5x 2 4 5 1) 6- f(x)-5% 5. Je f(x)=2*/ 4- f(x)=1,5x 3- 2. (-2) -31³ -4 -3 -2 -1 5- ؎(۱) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters, in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: 4 0 -1- f(x)=4-2x 1 2 f(x)=2x f(x)=0,2-2* 4 6 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x) = e Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)= e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=c² kixto f(x)= Aufleiten dieser Funktion: f (x)= ekixin F(x)= 11 ekixto oder a elexto е = e Tangentengleichung bestimmen: Y=m.x+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben kixto f'(x) = kiekixta Logarithmengesetze (1) In (x-y)= In (x) + In (y); (2) In () = In (x) - In (y); (3) In (xt)=t-In (x) Lineare Kettenregel: Leile die Funktion f(x)= (2-x) ³ ab entweder (2+).(2-x) (2-x) : oder einfacher mit Kettenregel (G) = (2-x) ³ äußere 2 innere funtion: 3 f'(x) = -1.3. (2x), f(x)=ex-x; Stelle x = 2 t(x) = m-x+b m = f'(2) = e²-1; P(2|e²-2) und m einsetzen Ableitung des inneren Funktion Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x مایع e e²-2=(e²-1)-2+b; somit b =-e² t(x)=(e²-1)-x-e² Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e •Incy). =Y Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a·b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. f(x) = a.b* In(b).x = a.e Ableitung des außeren Funktion ->0 e f(x)= (x+e).e-2x ->O x-)∞0 wenn ein alles Falelor grogen Fakefar gegen O gegen Ⓒ läuft, läuft e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Innere Ableitung äußere Ableitung X brauchen wir evir nic Eigenschaften Die e-Funktion ist eine ganz besondere Exponential funktion: f(x)=e* (xER) "e" steht für die Eulersche Zahl und es gilt Graph: Besonderheit weiter gilt: : E-Funktion 14 mit (011) und (16) -J-Jugl. 563A5 f'(x)= ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leitung überein! e=2,748... Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG nach unten verschoben für cco f(x) = extc nach oben verschoben für cso (a · e^) = a-e* → Faklor bleibt stehen! -> f(x)= a. ex a co gespiegelf an der X-Achse a> gestredt & P(0(a) Osace gestaucht. ast (extc) = ex -> konstante fällt beim Ableiten weg ! 22.09.21 Es gilt: ,, Jede Funktion f(x)=e^tc ist eine Stamm funktion ((x) = ex Bsp.: -)² T₁ Şe²dx = e = 1 = 1, 718 Ti Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)=e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: H ↓ händisch: 1 Sexdx= [F(x)] e = [c²te] e = ettc. (etc) etc-l-c e-l 1 Seªdu * dx = [F (₁)-F (0) = e² - e° = e-1 ≈ 1,718... O -2 Erinnerung händische Berechnung von Integralen (x+2) dx = [F(0)-F (2)] f(x) FG) - 1/2 x ² + 2 x t = ½ 0²420-(1-62) ³2-(-2)) -0-(2-4) = 0 - (-2) 2 -> Stammfunktion. ↳ f(x) = ex von f(x)=e* bestimmen ? =) Stammfunktion finden mit dem Ti: Taste: lal {8 -> → Sodo -> ((x+2) dx -> */2/²+2x Definition S. 76 Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: Weiter gilt: (x) Der natürliche Logarithmus Inlog e Umgekehrt gilt auch: In (eſ)= y Allgemein gilt: ex=y mit xoln (y) d.h: einly) ay с BSP.: (nur verstehen, jetzt mit II oder Forme!) Bsp.: In (³)-3 Jede Exponentialfunktion f(x)=a•b (b>0) kann auch mit der Basis e geschrieben werden: x In (b).x ((x) = a·b ² = a Lsmit b=eln (b) _Ĵ 06.10.21 f(x) =a.bx mil f(x)= are noix (6) f'(x) = a. ln (b). bx Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren Der Begriff exponentielles Wachstum wird als Oberbegriff für exponentielle Abnahme und exponentielle Zunahme verwendet. k= en (b) Exponentielles Wachstum kann mithilfe einer Funktion f mit f(t)= a.ekt beschrieben wer- den. Dabei ist f(0) = a der Anfangswert zum Zeitpunkt 0. Für k<0 Für k>0 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme. k<0 BEISPIEL Wird das exponentielle Wachstum mit dem Term f(t)= a-bt, b>0 beschrieben, ergibt sich k aus dem Wachstumsfaktor b=ek mit k = ln (b). Abnahme von 33% pro Sekunde bei einem Anfangswert 9: f(t) = 9-(1-33¹-9-0,67t Bei der Modellierung von Wachstumsprozessen wird häufig angegeben, dass es sich um eine Abnahme oder Zunahme um p % pro Zeiteinheit handelt. Für die Basis b> 0 im Term f(t) = a.bt gilt in diesem Fall: Р bei Abnahme: b=1- <1 100 Abnahme: k<0 beschreibt die Funktion feine = 9.eln(0,67).t9.e-0,4005-t exponentielle Zunahme. Р bei Zunahme: b= 1+- >1. 100 Bezeichnung Wachstumsrate BEISPIEL Zunahme von 25% pro Tag bei einem Anfangswert 2: Zunahme: k>0 f(t) = 2-(1+25=2-1,25t 100 p% (50) Wachstumsfaktor k Wachstumskonstante (en (6)) Die A Wachstumsgeschwindigkeit eines exponentiellen Wachstums ist proportional f(x)=a.e².t BEST AND • f'(x) = k·a.e GESCHWINDIGKEIT k>0 ABGRENZUNG = 2.eln (1,25).t 9. e0,2231.t tt =k. f(x) Zunahme > O (₁ Zunahme") > 1 (1+p%) >O also: ¹ k = f'(x) +(+) Abnahme >O (,, Abnahme") < 1 (1-p%) KO Halbwertszeit - Verdopplungszeit Bei exponentiellem Wachstum ist die Zeit stets gleich, in der sich ein Anfangswert halbiert (bei Abnahme) oder verdoppelt (bei Zunahme). Für ein exponentielles Wachstum, das durch eine Funktion f mit f(t) = a.ekt beschrieben wird, beträgt bei exponentieller Abnahme, also für k<0, die Halbwertszeit oder Halbierungszeit t In (2) ■ exponentieller Zunahme, also für k> 0, die Verdopplungszeit ty= k ■ BEISPIEL f(t) = 0,8-e-0,2t </N +/N 2 a 2 Halbwertszeit en (2) en (2) k tμ = = In (12) -0,2 (1) =a.e ek. е ≈ 3,47 HERLEITUNG f(t)=a.ekt k.t le. t to H k.t BEISPIEL 1:a len lik f(t) = 2,4.e0,6t 2a 2 en (2) = tv= en (2) k In (2) 0,6 Verdopplungszeit 1,16 = = a.e e k.t le.t k.t In (12) k tv 1:a len 1:k © 2002 by Rainer Müller - http://www.eMath.de am a = 1 a • a" =a m+n speziell die e-Funktion: Potenzregeln : In (1) = 0 ; ; a a¹ = a anfn ,м a an exc = = a = (a · b) n eey = ex+y eº=1 = Y m-n In (e) = 1 In (u v) = ln (u) + ln (v) In (u") ; an = α· α· α· ; n ; ; e ; a Logarithmenregeln : = r. n-Stück X = (am)n = ex · In (u) 1 va:= := an ey = ln y ln (e) = x = a a m.n N ; - (an)m ; (ex)³ = ex.y In () = ln (u) - ln (v) eln (x) = x 1