Alternativer Bildtext:

Fall, dass zusätzlich ist. Halbwertzeit: 1 = f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: wenn a>1 wird der Graph gestreckt wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht - wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt Verdopplungszeit: 2= f(x) -6 f(x)=0,7 .4 -5 f(x)=0,5x -4 -3 3 -2 f(x)=-0,2-0,5) f(x)=0,2x Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 -2 Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x) = a.bx f'(x) = a.ln (b). bx 1 -1 f(x)=-0,5% -1 -2- Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x) = a.b²+d -3- 6- 5 f(x)=-4-0,5x 2 4 5 1) 6- f(x)-5% 5. Je f(x)=2*/ 4- f(x)=1,5x 3- 2. (-2) -31³ -4 -3 -2 -1 5- ؎(۱) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters, in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: 4 0 -1- f(x)=4-2x 1 2 f(x)=2x f(x)=0,2-2* 4 6 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x) = e Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)= e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=c² kixto f(x)= Aufleiten dieser Funktion: f (x)= ekixin F(x)= 11 ekixto oder a elexto е = e Tangentengleichung bestimmen: Y=m.x+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben kixto f'(x) = kiekixta Logarithmengesetze (1) In (x-y)= In (x) + In (y); (2) In () = In (x) - In (y); (3) In (xt)=t-In (x) Lineare Kettenregel: Leile die Funktion f(x)= (2-x) ³ ab entweder (2+).(2-x) (2-x) : oder einfacher mit Kettenregel (G) = (2-x) ³ äußere 2 innere funtion: 3 f'(x) = -1.3. (2x), f(x)=ex-x; Stelle x = 2 t(x) = m-x+b m = f'(2) = e²-1; P(2|e²-2) und m einsetzen Ableitung des inneren Funktion Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x مایع e e²-2=(e²-1)-2+b; somit b =-e² t(x)=(e²-1)-x-e² Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e •Incy). =Y Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a·b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. f(x) = a.b* In(b).x = a.e Ableitung des außeren Funktion ->0 e f(x)= (x+e).e-2x ->O x-)∞0 wenn ein alles Falelor grogen Fakefar gegen O gegen Ⓒ läuft, läuft e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Innere Ableitung äußere Ableitung X brauchen wir evir nic Eigenschaften Die e-Funktion ist eine ganz besondere Exponential funktion: f(x)=e* (xER) "e" steht für die Eulersche Zahl und es gilt Graph: Besonderheit weiter gilt: : E-Funktion 14 mit (011) und (16) -J-Jugl. 563A5 f'(x)= ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leitung überein! e=2,748... Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG nach unten verschoben für cco f(x) = extc nach oben verschoben für cso (a · e^) = a-e* → Faklor bleibt stehen! -> f(x)= a. ex a co gespiegelf an der X-Achse a> gestredt & P(0(a) Osace gestaucht. ast (extc) = ex -> konstante fällt beim Ableiten weg ! 22.09.21 Es gilt: ,, Jede Funktion f(x)=e^tc ist eine Stamm funktion ((x) = ex Bsp.: -)² T₁ Şe²dx = e = 1 = 1, 718 Ti Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)=e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: H ↓ händisch: 1 Sexdx= [F(x)] e = [c²te] e = ettc. (etc) etc-l-c e-l 1 Seªdu * dx = [F (₁)-F (0) = e² - e° = e-1 ≈ 1,718... O -2 Erinnerung händische Berechnung von Integralen (x+2) dx = [F(0)-F (2)] f(x) FG) - 1/2 x ² + 2 x t = ½ 0²420-(1-62) ³2-(-2)) -0-(2-4) = 0 - (-2) 2 -> Stammfunktion. ↳ f(x) = ex von f(x)=e* bestimmen ? =) Stammfunktion finden mit dem Ti: Taste: lal {8 -> → Sodo -> ((x+2) dx -> */2/²+2x Definition S. 76 Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: Weiter gilt: (x) Der natürliche Logarithmus Inlog e Umgekehrt gilt auch: In (eſ)= y Allgemein gilt: ex=y mit xoln (y) d.h: einly) ay с BSP.: (nur verstehen, jetzt mit II oder Forme!) Bsp.: In (³)-3 Jede Exponentialfunktion f(x)=a•b (b>0) kann auch mit der Basis e geschrieben werden: x In (b).x ((x) = a·b ² = a Lsmit b=eln (b) _Ĵ 06.10.21 f(x) =a.bx mil f(x)= are noix (6) f'(x) = a. ln (b). bx Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren Der Begriff exponentielles Wachstum wird als Oberbegriff für exponentielle Abnahme und exponentielle Zunahme verwendet. k= en (b) Exponentielles Wachstum kann mithilfe einer Funktion f mit f(t)= a.ekt beschrieben wer- den. Dabei ist f(0) = a der Anfangswert zum Zeitpunkt 0. Für k<0 Für k>0 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme. k<0 BEISPIEL Wird das exponentielle Wachstum mit dem Term f(t)= a-bt, b>0 beschrieben, ergibt sich k aus dem Wachstumsfaktor b=ek mit k = ln (b). Abnahme von 33% pro Sekunde bei einem Anfangswert 9: f(t) = 9-(1-33¹-9-0,67t Bei der Modellierung von Wachstumsprozessen wird häufig angegeben, dass es sich um eine Abnahme oder Zunahme um p % pro Zeiteinheit handelt. Für die Basis b> 0 im Term f(t) = a.bt gilt in diesem Fall: Р bei Abnahme: b=1- <1 100 Abnahme: k<0 beschreibt die Funktion feine = 9.eln(0,67).t9.e-0,4005-t exponentielle Zunahme. Р bei Zunahme: b= 1+- >1. 100 Bezeichnung Wachstumsrate BEISPIEL Zunahme von 25% pro Tag bei einem Anfangswert 2: Zunahme: k>0 f(t) = 2-(1+25=2-1,25t 100 p% (50) Wachstumsfaktor k Wachstumskonstante (en (6)) Die A Wachstumsgeschwindigkeit eines exponentiellen Wachstums ist proportional f(x)=a.e².t BEST AND • f'(x) = k·a.e GESCHWINDIGKEIT k>0 ABGRENZUNG = 2.eln (1,25).t 9. e0,2231.t tt =k. f(x) Zunahme > O (₁ Zunahme") > 1 (1+p%) >O also: ¹ k = f'(x) +(+) Abnahme >O (,, Abnahme") < 1 (1-p%) KO Halbwertszeit - Verdopplungszeit Bei exponentiellem Wachstum ist die Zeit stets gleich, in der sich ein Anfangswert halbiert (bei Abnahme) oder verdoppelt (bei Zunahme). Für ein exponentielles Wachstum, das durch eine Funktion f mit f(t) = a.ekt beschrieben wird, beträgt bei exponentieller Abnahme, also für k<0, die Halbwertszeit oder Halbierungszeit t In (2) ■ exponentieller Zunahme, also für k> 0, die Verdopplungszeit ty= k ■ BEISPIEL f(t) = 0,8-e-0,2t </N +/N 2 a 2 Halbwertszeit en (2) en (2) k tμ = = In (12) -0,2 (1) =a.e ek. е ≈ 3,47 HERLEITUNG f(t)=a.ekt k.t le. t to H k.t BEISPIEL 1:a len lik f(t) = 2,4.e0,6t 2a 2 en (2) = tv= en (2) k In (2) 0,6 Verdopplungszeit 1,16 = = a.e e k.t le.t k.t In (12) k tv 1:a len 1:k © 2002 by Rainer Müller - http://www.eMath.de am a = 1 a • a" =a m+n speziell die e-Funktion: Potenzregeln : In (1) = 0 ; ; a a¹ = a anfn ,м a an exc = = a = (a · b) n eey = ex+y eº=1 = Y m-n In (e) = 1 In (u v) = ln (u) + ln (v) In (u") ; an = α· α· α· ; n ; ; e ; a Logarithmenregeln : = r. n-Stück X = (am)n = ex · In (u) 1 va:= := an ey = ln y ln (e) = x = a a m.n N ; - (an)m ; (ex)³ = ex.y In () = ln (u) - ln (v) eln (x) = x 1