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Zusammenfassung E-Funktion und Exponentialfunktion

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Zusammenfassung E-Funktion und Exponentialfunktion

 Exponentialfunktionen
Für jede Exponentialfunktion
mit y=b^x mit b>0 gilt:
- Graph verläuft oberhalb der x-Achse und durch den Punkt P(0/1)

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Exponentialfunktionen Für jede Exponentialfunktion mit y=b^x mit b>0 gilt: - Graph verläuft oberhalb der x-Achse und durch den Punkt P(0/1) - steigt für b>1 und fällt für 0<b<1 Allgemeine Form: f(x)= a.bx Eigenschaften: schmiegt sich für b>1 dem negativen Teil und für 0<b<1 dem positiven Teil der x-Achse an - wenn x um c wächst, wird der Funktionswert b^x mit b^c multipliziert -y-b^x und y= (1/b)^x=b^-x gehen durch Spiegelung an der Y-Achse auseinander hervor, denn 3-** (3) E-Funktion/ Exponentialfunktion Zeitraum mit ato und b>0 Anfangswert Fall 1: f(x)=bx für b > 1 Je größer ist, desto schneller steigt die Exponentialfunktion streng monoton an. Da in jedem dieser Beispiele ist, gehen sie alle durch den Punkt. steil verlauft. die Korve 288. Vardoppling alle 2 Tage Fall 2: f(x)=bx für 0 < b < 1 Liegt im Intervall, so fällt die Exponentialfunktion. Man spricht bei diesen streng monoton fallenden Funktionen auch von exponentiellem Zerfall. Je kleiner ist, desto b schneller fällt der Funktionsgraph Fall 3: f(x) = a · bx für a>0 Unabhängig von der Basis kann auch der Anfangswert gewählt werden. Für ist das gerade der y-Achsenabschnitt. Die untenstehende Graphik zeigt die Verschiebung der Exponentialfunktion jeweils für . Fall 4: f(x) = a · bx für a < 0 Hat ein negatives Vorzeichen, so wird der Funktionsgraph zusätzlich noch an der y-Achse gespiegelt. Hier im Bild siehst du den Fall, dass zusätzlich ist. Halbwertzeit: 1 =...

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f(x) Verdopplungszeit: 2= f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: wenn a>1 wird der Graph gestreckt - wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt -6 -5 f(x)=0,7 -4 -3 f(x)=0,5x -4 f(x)=0,2 -3 -2 -1 f(x)=-0,2-0,5) -2 20 -1 Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 1+ -2 f(x)=-0,5x Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x) = a.b²+d Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x)= a.bx f'(x) = a. ln (b). bx -3- f(x)=-4.0,5x 1) (-2) 31³ -5 6- 5- 24 f(x)=5% 4+ ؎(۱) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: -4 -3 -2 -1 0 f(x)=2*, f(x)=1,5x f(x)=4-2x 1 2 f(x)=2x f(x)=0,2-2* 4 6 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x)=e* Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)= e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=x kixto f(x) = Aufleiten dieser Funktion: f (x)= ekxin F(x)= 11 - ekixto oder a elexto = e Tangentengleichung bestimmen: Y=m.x+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben Logarithmengesetze (1) In (x-y) = ln (x) + In (y); (2) In (=In (x) - In (y); (3) In (x¹) = t-In (x) f'(x) = kiekixta Lineare Kettenregel: Leile die Funktion f(x)= (2-x)³ ab entweder (2+x).(2-x) (2-x) : oder einfacher mit Kettenregel imere Fundation: 278 äußere 2 (G) = (2-x) ³ f'(x) = -1. 3. (2x) Ableitung des inneren Funktion f(x)=ex-x; Stelle x = 2 t(x) = m-x+b m = f'(2)= e²-1; Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e •In cy). =Y Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a-b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. f(x) = a.b* _In(b).x = a.e مديح Ableitung des außeron I Pünktion e P(2|e²-2) und m einsetzen e²-2=(e²-1)-2+b; somit b=-e² t(x)=(e²-1)-x-e² ->0 e ->O f(x)= (x+e).e-2x wenn ein Falelor grgen Ⓒ läuft, läuft Fakefar x-100 соет alles gegen o e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Imer. Ableitung äußere Abdelung Innere X brauchenair Eigenschaften Die e-Funktion ist eine ganz besondere Exponential funktion: f(x) = e* (xER) "e" steht für die Eulersche Zahl and es gilt c= 2,748... Graph: mit (011) und (11) Besonderheit: f'(x) = cx weiter dd gilt: E-Funktion -J-Jugl. 563 A 5 nach unten verschoben für cco f(x) = e²tc nach oben verschoben för cso f(x)= a. ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leitung überein! (@.ex) = a-e* -> Faklar bleibt stehen! 22.09.21 a co gespiegelf an der X-Achse a se Osace geslaucht } P(o(a) (extc) = e^ -> konstante fällt beim Ableiten weg! Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG Es gilt: ,, Jede Funktion f(x)=e^tc isl cine Stamm funktion (G)- ex. Bsp.: ->² Ti Send₁= €²= 1 = 1₁ 718 Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)=e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: L ↓ händisch: 1 Sexdx= [FG)] e - [c²te] - e²+c. (e°tc) e etc-l-c e-d 1 Še²da *dx = [F (₁)-F(0) = c²-e°= e-1 ≈ 1,718.….. O -2 Erinnerung händische Berechnung von Integraten (x+2) dx = [F(0) - F (²)] f(x) FG ) - ¹1/22 x ² + 2x = 10²420-(1-620²2-(2)) -0-(2-4) -0-(-2) 2 -> Stammfunktion von f(x)=e* bestimmen ! ↳ f(x) = ex =) Stammfunktion finden mit dem (i: Taste: lal {8 → Soda -> ((x+2) dx -> x/2² + 2x

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mit y=b^x mit b>0 gilt:
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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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f(x) Verdopplungszeit: 2= f(x) Verschiebung entlang der x-Achse: wenn a>1 wird der Graph gestreckt - wenn 0<a<1 wird der Graph gestaucht wenn a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt -6 -5 f(x)=0,7 -4 -3 f(x)=0,5x -4 f(x)=0,2 -3 -2 -1 f(x)=-0,2-0,5) -2 20 -1 Wachstumsrate: Zur Wachstumsrate 3% gehört der Wachstumsfaktor 1+ 3/100= 1,03 Abnahmerate: Zur Abnahmerate 1,7% gehört der Abnahmefaktor 1- 1,7/100= 0,983 1+ -2 f(x)=-0,5x Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen f (x) = a.b²+d Ableitung einer Exponentialfunktion: f(x)= a.bx f'(x) = a. ln (b). bx -3- f(x)=-4.0,5x 1) (-2) 31³ -5 6- 5- 24 f(x)=5% 4+ ؎(۱) Verschiebung entlang der y-Achse Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung: -4 -3 -2 -1 0 f(x)=2*, f(x)=1,5x f(x)=4-2x 1 2 f(x)=2x f(x)=0,2-2* 4 6 E-Funktion: Die E-Funktion ist eine Exponentialfunktion zur Basis e=2,7182. Sie wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Formel: f(x)=e* Ableitung der E-Funktion: F(x)= e^x; F'(x)= e^x Stammfunktion der e-Funktion: F(x)= e^x+c; f(x)= e^x Ableitung von Funktionen f(x)=x kixto f(x) = Aufleiten dieser Funktion: f (x)= ekxin F(x)= 11 - ekixto oder a elexto = e Tangentengleichung bestimmen: Y=m.x+b Tangentengleichung bestimmen Ansatz m bestimmen b bestimmen Gleichung angeben Logarithmengesetze (1) In (x-y) = ln (x) + In (y); (2) In (=In (x) - In (y); (3) In (x¹) = t-In (x) f'(x) = kiekixta Lineare Kettenregel: Leile die Funktion f(x)= (2-x)³ ab entweder (2+x).(2-x) (2-x) : oder einfacher mit Kettenregel imere Fundation: 278 äußere 2 (G) = (2-x) ³ f'(x) = -1. 3. (2x) Ableitung des inneren Funktion f(x)=ex-x; Stelle x = 2 t(x) = m-x+b m = f'(2)= e²-1; Der natürliche Logarithmus: Sucht man einen Exponenten x, sodass e^x=y gilt, kann man diesen Exponenten mithilfe des In-Befehls des Rechners bestimmen: In(y)=x Definition: Der natürliche Logarithmus In(y) einer positiven Zahl y ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um y zu erhalten: e •In cy). =Y Zusatz: Jede Exponentialfunktion f mit f(x)= a-b* und b>0 kann auch mit der Basis e geschrieben werden. f(x) = a.b* _In(b).x = a.e مديح Ableitung des außeron I Pünktion e P(2|e²-2) und m einsetzen e²-2=(e²-1)-2+b; somit b=-e² t(x)=(e²-1)-x-e² ->0 e ->O f(x)= (x+e).e-2x wenn ein Falelor grgen Ⓒ läuft, läuft Fakefar x-100 соет alles gegen o e-Funktion bestimmt stärker die Funletion Imer. Ableitung äußere Abdelung Innere X brauchenair Eigenschaften Die e-Funktion ist eine ganz besondere Exponential funktion: f(x) = e* (xER) "e" steht für die Eulersche Zahl and es gilt c= 2,748... Graph: mit (011) und (11) Besonderheit: f'(x) = cx weiter dd gilt: E-Funktion -J-Jugl. 563 A 5 nach unten verschoben für cco f(x) = e²tc nach oben verschoben för cso f(x)= a. ex d.h. die e-Funktion stimmt mit ihrer Ab- leitung überein! (@.ex) = a-e* -> Faklar bleibt stehen! 22.09.21 a co gespiegelf an der X-Achse a se Osace geslaucht } P(o(a) (extc) = e^ -> konstante fällt beim Ableiten weg! Flächenberechnung -> INTEGRAIRECHNUNG Es gilt: ,, Jede Funktion f(x)=e^tc isl cine Stamm funktion (G)- ex. Bsp.: ->² Ti Send₁= €²= 1 = 1₁ 718 Das Integral berechnet die Fläche, die der Graph (G)=e* mit der x-Achse im Bereich [0₁1] einschließt: L ↓ händisch: 1 Sexdx= [FG)] e - [c²te] - e²+c. (e°tc) e etc-l-c e-d 1 Še²da *dx = [F (₁)-F(0) = c²-e°= e-1 ≈ 1,718.….. O -2 Erinnerung händische Berechnung von Integraten (x+2) dx = [F(0) - F (²)] f(x) FG ) - ¹1/22 x ² + 2x = 10²420-(1-620²2-(2)) -0-(2-4) -0-(-2) 2 -> Stammfunktion von f(x)=e* bestimmen ! ↳ f(x) = ex =) Stammfunktion finden mit dem (i: Taste: lal {8 → Soda -> ((x+2) dx -> x/2² + 2x