Exponentialgleichungen/funktionen und natürlicher Logarithmus + Parameter

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(2).X br(2).X + en (2).2 Lösen von Exponentialgleichungen Bei der Lösung von Gleichungen, in denen in irgendeiner Form Terme wie ex, e2x, e-3x+5, usw. vor- kommen, benötigt man häufig den natürlichen Logarithmus In. Für ihn gilt In (eª) = a. 1. Einfache Exponentialgleichungen: ex=5 ⇒ In (ex) = In (5) e³x+1=5 ⇒ In (e³x+¹)= In (5) ⇒ 3x+1-In (5) ⇒x=(In (5)-1)= 0,203 ⇒ x-In (5) ≈ 1,609 2. Exponentialgleichungen, bei denen man ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden kann: x*e*+ 3e*=0⇒ ex-(x+3)=0 1. Fall: ex-0: es existiert kein x 2. Fall: x + 3-0.x=-3. Die Gleichung hat die Lösungsmenge L-(-3) e2x-3ex-0⇒e* (ex-3) - 0 1. Fall: ex-0: es existiert kein x 2. Fall: ex-3-0⇒ e*-3 ⇒ x-In (3) Also hat die Gleichung die Lösungsmenge {L-In (3)} lösen lassen: ex-5+/-0 Multiplizieren Sie die Gleichung mit ex: 3. Exponentialgleichungen, die sich durch Substitution e2x-5ex+6=0 Ersetzen Sie e* durch u (Substitution) und lösen Sie die neu entstandene Gleichung: ex-u, u²-5u+6-0⇒ u₁-3 oder u₂-2 Ersetzen Sie u wieder durch e* (Rücksubstitution) und lösen Sie die neu entstandenen Gleichungen: u=ex 3=U₁=e* ⇒ x₁ = In (3) 2=U₂=e*₂ ⇒ x₂ = In (2) Lösungsmenge: L = {In (2); In(3)} ex.ex-5.ex+ex-0 ⇒e2x-5ex+6=0 Zum restlichen Lösungsverfahren: siehe links 2.4 Exponentialfunktionen mit Parameter Enthält ein Funktionsterm außer der Funktionsvariablen x noch einen Parameter t, so gehört zu jedem t eine Funktion ft, die jedem x-Wert dem Funktionswert f(x) zuordnet. Die Funktionen ft bilden eine Funktionenschar von Funktionen, z. B. bei Exponentialfunktionen: ft (x) = 0,5x (xt) Funktion Parameter t Funktion f t=-2 -2 2. 의 -2 -4 -6 -2 f-2 t=0,5 /2 t=2 k 0,5 f0,5 4 t=4 g 2 f₂ 000000000000-000000 6 h 4 f4 X g(x) = e05x(x − 2), h(x) = e05x(x − 4), k(x) = e05x(x − 0,5) l(x) = e0,5x(x − (-2)) Beispiel 1 Wirkung des Parameters untersuchen Gegeben ist die Funktionenschar gt mit g(x) = ex-t. Die Abbildung zeigt Graphen der Schar für verschiedene Parameter. a) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten der abgebildeten Graphen. b) Geben Sie jeweils den zu den Graphen gehörenden Wert des Parameters t an. c) Was bewirkt eine Erhöhung von t? d) Leiten Sie gt ab. -3 -2 D 3+ 2- 0 C 1 B 2 A 3 x^ X Lösung a) Alle Graphen sind linksgekrümmt und haben keine Extrem- oder Wendepunkte. Sie liegen alle oberhalb der x-Achse. Die Graphen gehen aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunk- tion durch eine Verschiebung nach rechts oder links hervor. Die x-Achse ist Asymptote. b) Die Schnittpunkte S, der Graphen mit der Geraden y = 1 berechnen sich aus ex-t = 1. Es ist St (t1). Somit gehört t = 0 zu Graph C, t = -1,5 zu Graph D, t = 1 zu Graph B und t = 2 zu Graph A. c) Erhöht man t, so verschiebt sich der Graph nach rechts. Alternativ: Wegen ex-t = ex• e-t bewirkt die Erhöhung von t eine Stauchung des Graphen in y-Richtung. d) Es ist g(x) = ex-t. Beispiel 2 Extremstellen einer Funktionenschar berechnen Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f (x) = 3-x-e-ax² (a > 0). Berechnen Sie die Extremstellen von fa. Lösung f(x) = -e-ax²-x-e-ax² (-2ax) = e-ax² - (2ax² - 1). Mögliche Extremstellen: f'(x) = 0 Somit X1,2= √5151. √₂a* ● e-ax². (2 ax² - 1) = 0 ⇒ 2ax²-1=0. 1 Untersuchung von x₁ = +√: Der Faktor 2 ax² - 1 von f'(x) wechselt bei x, das Vorzeichen 2a a von ,-“ nach „+“, also wechselt auch f'(x) das Vorzeichen von ,,-" nach ,,+". Somit ist x₁ Minimum- stelle. Entsprechend ist x2 Maximumstelle. Quellen Lambacher Schweizer Kursstufe (Baden-Württemberg) S.45-53 2018 https://fliptheclassroom.de/project/2-6-exponentialgleichungen-und- der-natuerliche-logarithmus-teil-1/ https://www.mathe-online.at/skripten/gleich/ gleich_exponentialgleichungen logarithmische_gleichungen.pdf Letzter Zugriff auf alle Quellen: 28.11.20