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Exponentialgleichungen/funktionen und natürlicher Logarithmus + Parameter

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11/12/13

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-Ausdrücke mit Logarithmen vereinfachen -Exponentialgleichungen lösen -Wirkung des Parameters untersuchen -Extremstellen einer Funktionenschar berechnen

Exponentialgleichungen und der Anatürliche Logarithmus Mun + Exponential funktionen mit Parametern 22 Exponentialgleichungen und der natürliche Logarithmus bisher 2x=5 ex = 5 x = log₂ (5) X x = log₂ (5) = ln (5) X log (5) logro (2) e neu Die Lösung der Exponentialgleichung e heißt naturlicher Logarithmus ven ln (b) Es gilt also = e = 6 für eine positive Zahl b b J von b. Geschneben x = ln (b) en (c) GVS Beispiel 1 Ausdrücke mit Logarithmen vereinfachen Vereinfachen Sie. a) In (1) b) In (e²-e³) Lösung a) In (1) -In (e-¹) = -1 c) In (Ve) - In (el) - 1/ c) In ('ve) d) e-2-In(5) b) In (e2-e³)= In (e5) = 5 d) e-2-In (5) = (ein (5))-2-5-2= 12/15 Beispiel 2 Exponentialgleichungen lösen Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösung mithilfe des natürlichen Logarithmus an und bestimmen Sie einen Näherungswert für die Lösung. a) e²x = 5 b) e-x = -1 d) e²x - 3.ex = 0 Lösung a) 2x = ln (5) x = -1/2 - In (5) ≈ 0,805 b) Die Gleichung ist unlösbar, da ex > 0 für alle x E R. c) ex = -¹1/2 e² c) x = In (1/2) = In (e-²) = -2 d) ex ex-3 ex = 0 ex (ex - 3) = 0 x = In (3) ≈ 1,099 . ● Mit dem natürlichen Logarithmus In kam man samtliche Exponentialgleichungen lösen: ax=b Ien en(ax)= encb) lumformen x-In(a) = ln (b) ln (b) en(a) x = Man kann jede Exponentialfunktion mit a>0 als Exponential function mit Basis e darstellen: Bsp: f(x) = 2x =...