Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen
Die Exponentialfunktion umfasst mehrere spezielle Formen, die in verschiedenen Kontexten wichtig sind. Eine besonders bedeutende Form ist die natürliche Exponentialfunktion.
Definition: Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Formel fx = e^x, wobei e die Eulersche Zahl ist e≈2,71828.
Die natürliche Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:
- Sie ist ihre eigene Ableitung: f'x = e^x
- Sie ist streng monoton wachsend
- Ihr Graph geht durch den Punkt 0,1
Highlight: Die Beziehung f'x = fx ist einzigartig für die natürliche Exponentialfunktion und macht sie besonders wichtig in der Analysis.
Eine weitere wichtige Anwendung der Exponentialfunktion ist die Modellierung von exponentiellem Wachstum und exponentieller Abnahme:
- Exponentielles Wachstum: fx = b · a^x, wobei a > 1 und b > 0
- Exponentielle Abnahme: fx = b · a^x, wobei 0 < a < 1 und b > 0
Example: Das Wachstum einer Bakterienkolonie kann durch ft = 1000 · 2^t modelliert werden, wobei t die Zeit in Stunden und 1000 die Anfangspopulation ist.
Die Ableitung der Exponentialfunktion ist ein wichtiges Konzept:
- Für fx = a^x gilt: f'x = a^x · lna
- Für die natürliche Exponentialfunktion fx = e^x gilt: f'x = e^x
Quote: "Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist."
Schließlich ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion der Logarithmus:
- Die Umkehrfunktion von fx = a^x ist gx = log_ax
- Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus: lnx
Vocabulary: Der natürliche Logarithmus, geschrieben als lnx, ist der Logarithmus zur Basis e.
