Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen

Die Exponentialfunktion umfasst mehrere spezielle Formen, die in verschiedenen Kontexten wichtig sind. Eine besonders bedeutende Form ist die natürliche Exponentialfunktion.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Formel f(x) = e^x, wobei e die Eulersche Zahl ist (e ≈ 2,71828).

Die natürliche Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:

1. Sie ist ihre eigene Ableitung: f'(x) = e^x
2. Sie ist streng monoton wachsend
3. Ihr Graph geht durch den Punkt (0,1)

Highlight: Die Beziehung f'(x) = f(x) ist einzigartig für die natürliche Exponentialfunktion und macht sie besonders wichtig in der Analysis.

Eine weitere wichtige Anwendung der Exponentialfunktion ist die Modellierung von exponentiellem Wachstum und exponentieller Abnahme:

• Exponentielles Wachstum: f(x) = b · a^x, wobei a > 1 und b > 0
• Exponentielle Abnahme: f(x) = b · a^x, wobei 0 < a < 1 und b > 0

Example: Das Wachstum einer Bakterienkolonie kann durch f(t) = 1000 · 2^t modelliert werden, wobei t die Zeit in Stunden und 1000 die Anfangspopulation ist.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist ein wichtiges Konzept:

• Für f(x) = a^x gilt: f'(x) = a^x · ln(a)
• Für die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x gilt: f'(x) = e^x

Quote: "Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist."

Schließlich ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion der Logarithmus:

• Die Umkehrfunktion von f(x) = a^x ist g(x) = log_a(x)
• Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus: ln(x)

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln(x), ist der Logarithmus zur Basis e.