Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

7.112

•

30. Nov. 2020

•

2 Seiten

Entdecke die Exponentialfunktion: Formeln, Graphen und Übungen für Kinder

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

deinelernzettel

@deinelernzettel

Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften

Die Exponentialfunktion ist eine wichtige... Mehr anzeigen

Exponential funktionen
· f(x) = ax ato, a±1₁a >0.
;
exponentielle Abnahme.
касл
für
f(x) = baxa0, a 1, a>0, 6.0
b positiv und as
b. negativ

Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen

Die Exponentialfunktion umfasst mehrere spezielle Formen, die in verschiedenen Kontexten wichtig sind. Eine besonders bedeutende Form ist die natürliche Exponentialfunktion.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Formel f $x$ = e^x, wobei e die Eulersche Zahl ist $e ≈ 2,71828$ .

Die natürliche Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:

Sie ist ihre eigene Ableitung: f' $x$ = e^x
Sie ist streng monoton wachsend
Ihr Graph geht durch den Punkt $0,1$

Highlight: Die Beziehung f' $x$ = f $x$ ist einzigartig für die natürliche Exponentialfunktion und macht sie besonders wichtig in der Analysis.

Eine weitere wichtige Anwendung der Exponentialfunktion ist die Modellierung von exponentiellem Wachstum und exponentieller Abnahme:

Exponentielles Wachstum: f $x$ = b · a^x, wobei a > 1 und b > 0
Exponentielle Abnahme: f $x$ = b · a^x, wobei 0 < a < 1 und b > 0

Example: Das Wachstum einer Bakterienkolonie kann durch f $t$ = 1000 · 2^t modelliert werden, wobei t die Zeit in Stunden und 1000 die Anfangspopulation ist.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist ein wichtiges Konzept:

Für f $x$ = a^x gilt: f' $x$ = a^x · ln $a$
Für die natürliche Exponentialfunktion f $x$ = e^x gilt: f' $x$ = e^x

Quote: "Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist."

Schließlich ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion der Logarithmus:

Die Umkehrfunktion von f $x$ = a^x ist g $x$ = log_a $x$
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus: ln $x$

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln $x$ , ist der Logarithmus zur Basis e.

Grundlagen der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion wird durch die Formel f $x$ = a^x definiert, wobei a die Basis ist und bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Diese Funktion hat einzigartige Eigenschaften, die sie für viele Anwendungen wertvoll machen.

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f $x$ = a^x, wobei a > 0 und a ≠ 1.

Die Exponentialfunktion kann verschiedene Formen annehmen, abhängig von den Parametern:

f $x$ = a^x $Standardform$
f $x$ = b · a^x $mit Vorfaktor b$

Highlight: Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion ist immer ℝ $alle reellen Zahlen$ , während die Wertemenge ℝ⁺ $alle positiven reellen Zahlen$ ist.

Der Graph der Exponentialfunktion hängt stark vom Wert von a ab:

Für 0 < a < 1: Die Funktion ist streng monoton fallend.
Für a > 1: Die Funktion ist streng monoton steigend.

Example: Bei f $x$ = 2^x $a > 1$ steigt der Graph exponentiell an, während bei f $x$ = $1/2$ ^x $0 < a < 1$ der Graph exponentiell abfällt.

Die Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:

Sie hat keine Nullstellen.
Sie schneidet die y-Achse immer im Punkt $0,1$ .
Ihr Verhalten für x → ±∞ hängt von a ab.

Vocabulary: Monotonie bezeichnet das Steigungsverhalten einer Funktion. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f $x₁$ < f $x₂$ .

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Mathe

•

7.112

•

30. Nov. 2020

•

2 Seiten

Entdecke die Exponentialfunktion: Formeln, Graphen und Übungen für Kinder

deinelernzettel

@deinelernzettel

Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften

Die Exponentialfunktion ist eine wichtige mathematische Funktion mit der allgemeinen Formel f(x) = a^x, wobei a > 0 und a ≠ 1. Sie spielt eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.... Mehr anzeigen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen

Die Exponentialfunktion umfasst mehrere spezielle Formen, die in verschiedenen Kontexten wichtig sind. Eine besonders bedeutende Form ist die natürliche Exponentialfunktion.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Formel f $x$ = e^x, wobei e die Eulersche Zahl ist $e ≈ 2,71828$ .

Die natürliche Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:

Sie ist ihre eigene Ableitung: f' $x$ = e^x
Sie ist streng monoton wachsend
Ihr Graph geht durch den Punkt $0,1$

Highlight: Die Beziehung f' $x$ = f $x$ ist einzigartig für die natürliche Exponentialfunktion und macht sie besonders wichtig in der Analysis.

Eine weitere wichtige Anwendung der Exponentialfunktion ist die Modellierung von exponentiellem Wachstum und exponentieller Abnahme:

Exponentielles Wachstum: f $x$ = b · a^x, wobei a > 1 und b > 0
Exponentielle Abnahme: f $x$ = b · a^x, wobei 0 < a < 1 und b > 0

Example: Das Wachstum einer Bakterienkolonie kann durch f $t$ = 1000 · 2^t modelliert werden, wobei t die Zeit in Stunden und 1000 die Anfangspopulation ist.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist ein wichtiges Konzept:

Für f $x$ = a^x gilt: f' $x$ = a^x · ln $a$
Für die natürliche Exponentialfunktion f $x$ = e^x gilt: f' $x$ = e^x

Quote: "Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist."

Schließlich ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion der Logarithmus:

Die Umkehrfunktion von f $x$ = a^x ist g $x$ = log_a $x$
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus: ln $x$

Vocabulary: Der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln $x$ , ist der Logarithmus zur Basis e.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grundlagen der Exponentialfunktion

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Form f $x$ = a^x, wobei a > 0 und a ≠ 1.

Die Exponentialfunktion kann verschiedene Formen annehmen, abhängig von den Parametern:

f $x$ = a^x $Standardform$
f $x$ = b · a^x $mit Vorfaktor b$

Highlight: Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion ist immer ℝ $alle reellen Zahlen$ , während die Wertemenge ℝ⁺ $alle positiven reellen Zahlen$ ist.

Der Graph der Exponentialfunktion hängt stark vom Wert von a ab:

Für 0 < a < 1: Die Funktion ist streng monoton fallend.
Für a > 1: Die Funktion ist streng monoton steigend.

Example: Bei f $x$ = 2^x $a > 1$ steigt der Graph exponentiell an, während bei f $x$ = $1/2$ ^x $0 < a < 1$ der Graph exponentiell abfällt.

Die Exponentialfunktion hat einige bemerkenswerte Eigenschaften:

Sie hat keine Nullstellen.
Sie schneidet die y-Achse immer im Punkt $0,1$ .
Ihr Verhalten für x → ±∞ hängt von a ab.

Vocabulary: Monotonie bezeichnet das Steigungsverhalten einer Funktion. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f $x₁$ < f $x₂$ .

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Entdecke die Exponentialfunktion: Formeln, Graphen und Übungen für Kinder

Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen

Grundlagen der Exponentialfunktion

Ähnliche Inhalte

Exponentielles Wachstum

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponentialfunktionen, Gleichungssysteme, Logarithmus

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5

Entdecke die Exponentialfunktion: Formeln, Graphen und Übungen für Kinder

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Spezielle Exponentialfunktionen und Anwendungen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Grundlagen der Exponentialfunktion

Ähnliche Inhalte

Exponentielles Wachstum

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponentialfunktionen, Gleichungssysteme, Logarithmus

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5