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kathrin
6.12.2025
Mathe
exponentielles wachstum und logarithmus
1.595
•
6. Dez. 2025
•
kathrin
@kathrinlni
Exponentialfunktionen begegnen dir überall im Leben – von der Inflation... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du sparst jeden Tag einen Cent mehr – das ist lineares Wachstum. Bei der Inflation steigen die Preise aber jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz – das ist exponentielles Wachstum.
Der Unterschied ist einfach: Bei linearem Wachstum addierst du immer die gleiche Zahl (d). Die Formel lautet y = b + d·x. Bei exponentiellem Wachstum multiplizierst du immer mit dem gleichen Wachstumsfaktor a. Die Formel ist y = b·aˣ.
Du erkennst die beiden Wachstumsarten so: Linear bedeutet B - B(n) = konstant, exponentiell bedeutet B/B(n) = konstant.
Merktipp: Lineares Wachstum = Addition, exponentielles Wachstum = Multiplikation!
Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = b·aˣ, wobei a der Wachstumsfaktor ist. Das b ist dein Startwert bei x = 0.
Praktische Beispiele findest du überall: Bei 10% Zinsen und 2€ Startkapital ist die Funktion f(x) = 2·1,10ˣ. Ein Auto mit 20% jährlichem Wertverlust und 20.000€ Anfangswert wird durch f(x) = 2·0,8ˣ beschrieben (in 10.000€).
Der Trick bei Prozenten: 10% Zuwachs bedeutet 110%, also a = 1,10. 20% Verlust bedeutet 80% bleiben übrig, also a = 0,8.
Praxistipp: Prozent + 100 = Wachstumsfaktor bei Zuwachs, Prozent von 100 abziehen = Wachstumsfaktor bei Verlust!
Exponentialfunktionen f(x) = b·aˣ haben besondere Eigenschaften, die du für Klausuren kennen musst. Der Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen, der Wertebereich nur positive Zahlen – deshalb gibt es keine Nullstellen.
Ist a > 1, steigt die Funktion streng monoton. Ist a < 1, fällt sie streng monoton. Die x-Achse ist immer eine Asymptote – die Funktion nähert sich ihr an, berührt sie aber nie.
Exponentialfunktionen werden schnell extrem steil – steiler als jede Parabel! Der Anfangspunkt liegt immer bei (0|b).
Klausur-Tipp: Exponentialfunktionen haben nie Nullstellen – das ist ein häufiger Prüfungsinhalt!
Wenn das x im Exponenten steht, brauchst du den Logarithmus. Das ist einfach die Umkehrung der Potenz: Statt 2⁸ = 256 schreibst du 8 = log₂ 256.
Die allgemeine Regel: Aus aʳ = u wird r = log_a u. Der Logarithmus ist die Zahl, mit der du a potenzieren musst, um u zu bekommen.
Ein krasses Beispiel: Um einen Papierstapel bis zum Mond zu falten (384.000 km), musst du 0,1·2ˣ = 384·10⁹ lösen. Das ergibt x ≈ 41,8 – du müsstest das Papier über 40 Mal falten!
Aha-Moment: Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich potenzieren?" – das ist die Umkehrung!
Es gibt vier wichtige Rechenregeln für Logarithmen, die dir das Leben erleichtern. log_a 1 = 0 und log_a a = 1 sind die Grundlagen.
Die dritte Regel ist log_a aʳ = r – der Logarithmus hebt die Potenz einfach auf. Die vierte Regel ist log_a (uʳ) = r·log_a (u) – Potenzen werden zu Faktoren.
Diese Regeln kannst du beweisen, indem du zur Exponentialgleichung zurückgehst und beide Seiten umformst.
Lern-Hack: Die Regeln sind logisch – der Logarithmus macht immer das Gegenteil von dem, was die Potenz tut!
Einfache Exponentialgleichungen wie 3ˣ = 100 löst du direkt: x = log₃ 100. Bei komplizierten Gleichungen musst du erst umformen, dann logarithmieren.
Beispiel: Schnittpunkt von y = 9·2ˣ und y = 8·3ˣ. Du setzt gleich: 9·2ˣ = 8·3ˣ, teilst durch 3ˣ und 9, und erhältst (2/3)ˣ = 8/27.
Du hast zwei Lösungswege: Entweder mit der passenden Basis logarithmieren oder mit log₁₀ . Beide führen zu x = 3.
Strategie-Tipp: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren – so knackst du jede Exponentialgleichung!
Exponentialfunktionen beschreiben reale Phänomene erstaunlich genau. Benjamin Franklin sagte 1751 voraus, dass sich Amerikas Bevölkerung alle 100 Jahre verdreifacht – und lag fast richtig!
Aus den gegebenen Daten (11 Mio. 1751, Verdreifachung in 100 Jahren) berechnest du: y = 11 Mio.·1,0346ˣ. Das bedeutet 3,46% jährliches Wachstum.
Seine Prognose für 2022: etwa 11 Milliarden Menschen. Tatsächlich sind es 330 Millionen – seine Schätzung war zu optimistisch, aber die mathematische Methode funktioniert perfekt.
Real-World-Check: Exponentialfunktionen helfen dir, Zukunftsprognosen zu verstehen und zu hinterfragen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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kathrin
@kathrinlni
Exponentialfunktionen begegnen dir überall im Leben – von der Inflation bis hin zum Wertverlust deines Handys. Hier lernst du, wie sich diese besonderen Funktionen von linearem Wachstum unterscheiden und wie du mit Logarithmus knifflige Gleichungen lösen kannst.
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Stell dir vor, du sparst jeden Tag einen Cent mehr – das ist lineares Wachstum. Bei der Inflation steigen die Preise aber jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz – das ist exponentielles Wachstum.
Der Unterschied ist einfach: Bei linearem Wachstum addierst du immer die gleiche Zahl (d). Die Formel lautet y = b + d·x. Bei exponentiellem Wachstum multiplizierst du immer mit dem gleichen Wachstumsfaktor a. Die Formel ist y = b·aˣ.
Du erkennst die beiden Wachstumsarten so: Linear bedeutet B - B(n) = konstant, exponentiell bedeutet B/B(n) = konstant.
Merktipp: Lineares Wachstum = Addition, exponentielles Wachstum = Multiplikation!
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Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = b·aˣ, wobei a der Wachstumsfaktor ist. Das b ist dein Startwert bei x = 0.
Praktische Beispiele findest du überall: Bei 10% Zinsen und 2€ Startkapital ist die Funktion f(x) = 2·1,10ˣ. Ein Auto mit 20% jährlichem Wertverlust und 20.000€ Anfangswert wird durch f(x) = 2·0,8ˣ beschrieben (in 10.000€).
Der Trick bei Prozenten: 10% Zuwachs bedeutet 110%, also a = 1,10. 20% Verlust bedeutet 80% bleiben übrig, also a = 0,8.
Praxistipp: Prozent + 100 = Wachstumsfaktor bei Zuwachs, Prozent von 100 abziehen = Wachstumsfaktor bei Verlust!
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Exponentialfunktionen f(x) = b·aˣ haben besondere Eigenschaften, die du für Klausuren kennen musst. Der Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen, der Wertebereich nur positive Zahlen – deshalb gibt es keine Nullstellen.
Ist a > 1, steigt die Funktion streng monoton. Ist a < 1, fällt sie streng monoton. Die x-Achse ist immer eine Asymptote – die Funktion nähert sich ihr an, berührt sie aber nie.
Exponentialfunktionen werden schnell extrem steil – steiler als jede Parabel! Der Anfangspunkt liegt immer bei (0|b).
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Wenn das x im Exponenten steht, brauchst du den Logarithmus. Das ist einfach die Umkehrung der Potenz: Statt 2⁸ = 256 schreibst du 8 = log₂ 256.
Die allgemeine Regel: Aus aʳ = u wird r = log_a u. Der Logarithmus ist die Zahl, mit der du a potenzieren musst, um u zu bekommen.
Ein krasses Beispiel: Um einen Papierstapel bis zum Mond zu falten (384.000 km), musst du 0,1·2ˣ = 384·10⁹ lösen. Das ergibt x ≈ 41,8 – du müsstest das Papier über 40 Mal falten!
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Es gibt vier wichtige Rechenregeln für Logarithmen, die dir das Leben erleichtern. log_a 1 = 0 und log_a a = 1 sind die Grundlagen.
Die dritte Regel ist log_a aʳ = r – der Logarithmus hebt die Potenz einfach auf. Die vierte Regel ist log_a (uʳ) = r·log_a (u) – Potenzen werden zu Faktoren.
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Einfache Exponentialgleichungen wie 3ˣ = 100 löst du direkt: x = log₃ 100. Bei komplizierten Gleichungen musst du erst umformen, dann logarithmieren.
Beispiel: Schnittpunkt von y = 9·2ˣ und y = 8·3ˣ. Du setzt gleich: 9·2ˣ = 8·3ˣ, teilst durch 3ˣ und 9, und erhältst (2/3)ˣ = 8/27.
Du hast zwei Lösungswege: Entweder mit der passenden Basis logarithmieren oder mit log₁₀ . Beide führen zu x = 3.
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Exponentialfunktionen beschreiben reale Phänomene erstaunlich genau. Benjamin Franklin sagte 1751 voraus, dass sich Amerikas Bevölkerung alle 100 Jahre verdreifacht – und lag fast richtig!
Aus den gegebenen Daten (11 Mio. 1751, Verdreifachung in 100 Jahren) berechnest du: y = 11 Mio.·1,0346ˣ. Das bedeutet 3,46% jährliches Wachstum.
Seine Prognose für 2022: etwa 11 Milliarden Menschen. Tatsächlich sind es 330 Millionen – seine Schätzung war zu optimistisch, aber die mathematische Methode funktioniert perfekt.
Real-World-Check: Exponentialfunktionen helfen dir, Zukunftsprognosen zu verstehen und zu hinterfragen!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie alles über den natürlichen Logarithmus und die Ableitungen von Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von ln, das Lösen von Exponentialgleichungen und die Ableitungen verschiedener Funktionen wie \(e^x\) und \(e^{3x+3}\). Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Lena M
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Julia S
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