Natürliche Exponentialfunktionen: e-Funktionen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist eine besondere Form der Exponentialfunktion mit der Basis e (Eulersche Zahl).

• Die Eulersche Zahl e ist irrational und hat den Wert e ≈ 2,71828.
• Für die e-Funktion gilt: f(x) = eˣ und f'(x) = eˣ
• Natürliche Exponentialgleichungen haben die Form eˣ = b
• Die Lösung erfolgt durch den natürlichen Logarithmus ln(b)

Definition: Die e-Funktion ist definiert als f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist.

Highlight: Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist.

Der Zusammenhang zwischen aˣ und eˣ lässt sich wie folgt herstellen:

• aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(ln(a)·x)

Diese Beziehung ist fundamental für die Ableitung von Exponentialfunktionen und die Umformung in e-Funktionen.

Logarithmus- und Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und spielt eine wichtige Rolle in der Analysis:

• Eine Funktion ist umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert genau ein x zugeordnet wird.
• Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion: f(x) = eˣ ⇔ f⁻¹(x) = ln(x)

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion:

• Ableitung: f'(x) = 1/x (für x > 0)
• Stammfunktion: F(x) = x · ln(x) - x
• Geht durch den Punkt (1|0)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist definiert als diejenige Zahl, zu der e potenziert werden muss, um x zu erhalten.

Highlight: Die Logarithmusfunktion ist besonders nützlich für die Lösung von Exponentialgleichungen und die Linearisierung von exponentiellen Zusammenhängen.

Die Beherrschung dieser Konzepte ist entscheidend für das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.