Natürliche Exponentialfunktionen: e-Funktionen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist eine besondere Form der Exponentialfunktion mit der Basis e (Eulersche Zahl).

• Die Eulersche Zahl e ist irrational und hat den Wert e ≈ 2,71828.
• Für die e-Funktion gilt: f(x) = eˣ und f'(x) = eˣ
• Natürliche Exponentialgleichungen haben die Form eˣ = b
• Die Lösung erfolgt durch den natürlichen Logarithmus ln(b)

Definition: Die e-Funktion ist definiert als f(x) = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist.

Highlight: Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist.

Der Zusammenhang zwischen aˣ und eˣ lässt sich wie folgt herstellen:

• aˣ = (e^ln(a))ˣ = e^(ln(a)·x)

Diese Beziehung ist fundamental für die Ableitung von Exponentialfunktionen und die Umformung in e-Funktionen.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Ihre wichtigsten Eigenschaften lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Exponentialfunktionen haben keine Null-, Extrem- oder Wendestellen.
• Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und geht durch den Punkt P(0|c).
• Die Funktionswerte nähern sich der x-Achse beliebig an, erreichen sie aber nie vollständig (Asymptote).

Die allgemeine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei c > 0, a > 0 und a ≠ 1 sind. Bei Wachstumsprozessen gilt:

• a > 1: exponentielle Zunahme
• 0 < a < 1: exponentielle Abnahme

Hierbei ist a der Wachstumsfaktor und c der Anfangsbestand f(0).

Definition: Eine Exponentialgleichung hat die Form aˣ = b. Ihre Lösung erfolgt mithilfe des Logarithmus log(b).

Highlight: Der Logarithmus ist diejenige Zahl, mit der man potenzieren muss, um b zu erhalten.