Wachstumsfaktor und Exponentialgleichungen

Bei der Arbeit mit Exponentialfunktionen ist es oft notwendig, den Wachstumsfaktor zu bestimmen oder Exponentialgleichungen zu lösen. Hier sind die wichtigsten Schritte:

Wachstumsfaktor bestimmen:

1. Setze bekannte Punkte in die Exponentialfunktion f(x) = c · aˣ ein.
2. Bestimme a durch Anwendung der n-ten Wurzel.
3. Setze a ein und stelle die neue Funktionsgleichung auf.

Exponentialgleichung lösen:

• Verwende den Logarithmus, um x zu bestimmen.

Example: Bei der Aufgabe "Wann hat sich der Bakterienbestand auf ein Zehntel reduziert?" wird eine Exponentialgleichung gelöst: f(x) = 50 · 0,6ˣ = 5

Highlight: Die Lösung solcher Gleichungen ist besonders wichtig für Anwendungen in Biologie und Chemie, etwa bei der Berechnung von Halbwertszeiten.

Logarithmus- und Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und spielt eine wichtige Rolle in der Analysis:

• Eine Funktion ist umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert genau ein x zugeordnet wird.
• Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion: f(x) = eˣ ⇔ f⁻¹(x) = ln(x)

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion:

• Ableitung: f'(x) = 1/x (für x > 0)
• Stammfunktion: F(x) = x · ln(x) - x
• Geht durch den Punkt (1|0)

Definition: Der natürliche Logarithmus ln(x) ist definiert als diejenige Zahl, zu der e potenziert werden muss, um x zu erhalten.

Highlight: Die Logarithmusfunktion ist besonders nützlich für die Lösung von Exponentialgleichungen und die Linearisierung von exponentiellen Zusammenhängen.

Die Beherrschung dieser Konzepte ist entscheidend für das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.