Entdecke die Exponentialfunktion: Definition, Eigenschaften und mehr!

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Sevval

10.6.2022

Mathe

Abitur (Analysis): Exponentialfunktionen & Zusammengesetzte Funktionen

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Mathe

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Entdecke die Exponentialfunktion: Definition, Eigenschaften und mehr!

Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften sind zentrale Themen in der Mathematik, insbesondere für Schüler, die sich auf das Abitur vorbereiten. Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Exponentialfunktion Definition, ihre Eigenschaften und Anwendungen.

Die allgemeine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = c·aˣ, wobei c > 0 und a > 0, a ≠ 1 sind.
Wichtige Eigenschaften sind: keine Nullstellen, Verlauf oberhalb der x-Achse, asymptotisches Verhalten zur x-Achse.
Die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion) spielt eine besondere Rolle in der Analysis.
Ableitungen und Stammfunktionen von Exponentialfunktionen folgen spezifischen Regeln.
Logarithmen sind eng mit Exponentialfunktionen verbunden und dienen zur Lösung von Exponentialgleichungen.

10.6.2022

•EXPONENTIALFUNKTIONEN.
EIGENSCHAFTEN
- Exponentialfunktionen besitzen keine Null-, Extrem -und Wendestellen
- ihr Graph verläuft oberhalb d

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Wachstumsfaktor und Exponentialgleichungen

Bei der Arbeit mit Exponentialfunktionen ist es oft notwendig, den Wachstumsfaktor zu bestimmen oder Exponentialgleichungen zu lösen. Hier sind die wichtigsten Schritte:

Wachstumsfaktor bestimmen:

Setze bekannte Punkte in die Exponentialfunktion f $x$ = c · aˣ ein.
Bestimme a durch Anwendung der n-ten Wurzel.
Setze a ein und stelle die neue Funktionsgleichung auf.

Exponentialgleichung lösen:

Verwende den Logarithmus, um x zu bestimmen.

Example: Bei der Aufgabe "Wann hat sich der Bakterienbestand auf ein Zehntel reduziert?" wird eine Exponentialgleichung gelöst: f $x$ = 50 · 0,6ˣ = 5

Highlight: Die Lösung solcher Gleichungen ist besonders wichtig für Anwendungen in Biologie und Chemie, etwa bei der Berechnung von Halbwertszeiten.

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Natürliche Exponentialfunktionen: e-Funktionen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist eine besondere Form der Exponentialfunktion mit der Basis e $Eulersche Zahl$ .

Die Eulersche Zahl e ist irrational und hat den Wert e ≈ 2,71828.
Für die e-Funktion gilt: f $x$ = eˣ und f' $x$ = eˣ
Natürliche Exponentialgleichungen haben die Form eˣ = b
Die Lösung erfolgt durch den natürlichen Logarithmus ln $b$

Definition: Die e-Funktion ist definiert als f $x$ = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist.

Highlight: Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist.

Der Zusammenhang zwischen aˣ und eˣ lässt sich wie folgt herstellen:

aˣ = $e^ln(a$ )ˣ = e^ $ln(a$ ·x)

Diese Beziehung ist fundamental für die Ableitung von Exponentialfunktionen und die Umformung in e-Funktionen.

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Ableitung und Stammfunktion von Exponentialgleichungen

Die Ableitung und Stammfunktion von Exponentialfunktionen folgen spezifischen Regeln, die für verschiedene Formen gelten:

Für f $x$ = eᵏˣ gilt: f' $x$ = k · eᵏˣ F $x$ = $1/k$ · eᵏˣ + C
Für f $x$ = aˣ gilt: f' $x$ = ln $a$ · aˣ F $x$ = $1/ln(a$ ) · aˣ + C

Example: Für f $x$ = 3 · e²ˣ ist die Ableitung f' $x$ = 6 · e²ˣ

Highlight: Um Exponentialfunktionen abzuleiten, wird oft a durch e ersetzt: aˣ = e^ $ln(a$ ·x)

Es ist wichtig, auf die Logarithmen-, Wurzel- und Potenzgesetze zu achten und Brüche immer umzuformen.

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Formen und Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen können in verschiedenen Formen auftreten, jede mit spezifischen Eigenschaften:

f $x$ = c · eᵏˣ $allgemeine Form$
f $x$ = eˣ $natürliche Exponentialfunktion$
f $x$ = S - c · eᵏˣ $beschränktes Wachstum$

Eigenschaften der Form f $x$ = c₁ · eᵏˣ:

Keine Nullstellen $f(x$ ≠ 0)
k ∈ ℝ
Für c > 0: Oberhalb der x-Achse Linksgekrümmt Für k > 0: streng monoton steigend Für k < 0: streng monoton fallend

Vocabulary: Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

Highlight: Die Vorzeichen von c und k bestimmen maßgeblich das Verhalten der Funktion.

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Logarithmus- und Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und spielt eine wichtige Rolle in der Analysis:

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert genau ein x zugeordnet wird.
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion: f $x$ = eˣ ⇔ f⁻¹ $x$ = ln $x$

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion:

Ableitung: f' $x$ = 1/x $für x > 0$
Stammfunktion: F $x$ = x · ln $x$ - x
Geht durch den Punkt $1|0$

Definition: Der natürliche Logarithmus ln $x$ ist definiert als diejenige Zahl, zu der e potenziert werden muss, um x zu erhalten.

Highlight: Die Logarithmusfunktion ist besonders nützlich für die Lösung von Exponentialgleichungen und die Linearisierung von exponentiellen Zusammenhängen.

Die Beherrschung dieser Konzepte ist entscheidend für das Verständnis von Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.

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•

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•

10. Juni 2022

•

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Sevval

@svvl

Die allgemeine Exponentialfunktionhat die... Mehr anzeigen

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Wachstumsfaktor und Exponentialgleichungen

Bei der Arbeit mit Exponentialfunktionen ist es oft notwendig, den Wachstumsfaktor zu bestimmen oder Exponentialgleichungen zu lösen. Hier sind die wichtigsten Schritte:

Wachstumsfaktor bestimmen:

Setze bekannte Punkte in die Exponentialfunktion f $x$ = c · aˣ ein.
Bestimme a durch Anwendung der n-ten Wurzel.
Setze a ein und stelle die neue Funktionsgleichung auf.

Exponentialgleichung lösen:

Verwende den Logarithmus, um x zu bestimmen.

Example: Bei der Aufgabe "Wann hat sich der Bakterienbestand auf ein Zehntel reduziert?" wird eine Exponentialgleichung gelöst: f $x$ = 50 · 0,6ˣ = 5

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Natürliche Exponentialfunktionen: e-Funktionen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist eine besondere Form der Exponentialfunktion mit der Basis e $Eulersche Zahl$ .

Die Eulersche Zahl e ist irrational und hat den Wert e ≈ 2,71828.
Für die e-Funktion gilt: f $x$ = eˣ und f' $x$ = eˣ
Natürliche Exponentialgleichungen haben die Form eˣ = b
Die Lösung erfolgt durch den natürlichen Logarithmus ln $b$

Definition: Die e-Funktion ist definiert als f $x$ = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl ist.

Highlight: Eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist.

Der Zusammenhang zwischen aˣ und eˣ lässt sich wie folgt herstellen:

aˣ = $e^ln(a$ )ˣ = e^ $ln(a$ ·x)

Diese Beziehung ist fundamental für die Ableitung von Exponentialfunktionen und die Umformung in e-Funktionen.

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Ableitung und Stammfunktion von Exponentialgleichungen

Die Ableitung und Stammfunktion von Exponentialfunktionen folgen spezifischen Regeln, die für verschiedene Formen gelten:

Für f $x$ = eᵏˣ gilt: f' $x$ = k · eᵏˣ F $x$ = $1/k$ · eᵏˣ + C
Für f $x$ = aˣ gilt: f' $x$ = ln $a$ · aˣ F $x$ = $1/ln(a$ ) · aˣ + C

Example: Für f $x$ = 3 · e²ˣ ist die Ableitung f' $x$ = 6 · e²ˣ

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Formen und Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen können in verschiedenen Formen auftreten, jede mit spezifischen Eigenschaften:

f $x$ = c · eᵏˣ $allgemeine Form$
f $x$ = eˣ $natürliche Exponentialfunktion$
f $x$ = S - c · eᵏˣ $beschränktes Wachstum$

Eigenschaften der Form f $x$ = c₁ · eᵏˣ:

Keine Nullstellen $f(x$ ≠ 0)
k ∈ ℝ
Für c > 0: Oberhalb der x-Achse Linksgekrümmt Für k > 0: streng monoton steigend Für k < 0: streng monoton fallend

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Logarithmus- und Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und spielt eine wichtige Rolle in der Analysis:

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert genau ein x zugeordnet wird.
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion: f $x$ = eˣ ⇔ f⁻¹ $x$ = ln $x$

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion:

Ableitung: f' $x$ = 1/x $für x > 0$
Stammfunktion: F $x$ = x · ln $x$ - x
Geht durch den Punkt $1|0$

Definition: Der natürliche Logarithmus ln $x$ ist definiert als diejenige Zahl, zu der e potenziert werden muss, um x zu erhalten.

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Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist eine grundlegende mathematische Funktion mit vielfältigen Anwendungen. Ihre wichtigsten Eigenschaften lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Exponentialfunktionen haben keine Null-, Extrem- oder Wendestellen.
Ihr Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse und geht durch den Punkt P $0|c$ .
Die Funktionswerte nähern sich der x-Achse beliebig an, erreichen sie aber nie vollständig $Asymptote$ .

Die allgemeine Exponentialfunktion hat die Form f $x$ = c·aˣ, wobei c > 0, a > 0 und a ≠ 1 sind. Bei Wachstumsprozessen gilt:

a > 1: exponentielle Zunahme
0 < a < 1: exponentielle Abnahme

Hierbei ist a der Wachstumsfaktor und c der Anfangsbestand f $0$ .

Definition: Eine Exponentialgleichung hat die Form aˣ = b. Ihre Lösung erfolgt mithilfe des Logarithmus log $b$ .

Highlight: Der Logarithmus ist diejenige Zahl, mit der man potenzieren muss, um b zu erhalten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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