Bestimmung von Punkten mit vorgegebenem Abstand in der Ebene
Die Bestimmung von Punkten mit einem festgelegten Abstand in der Ebene ist ein fundamentales Konzept der analytischen Geometrie. Wenn wir eine Ebene E mit der Gleichung 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 9 haben, können wir systematisch Punkte finden, die einen bestimmten Abstand zu dieser Ebene haben.
Definition: Eine Ebene E wird durch eine lineare Gleichung der Form ax₁ + bx₂ + cx₃ = d beschrieben, wobei der Normalenvektor n = a,b,c senkrecht auf der Ebene steht.
Der erste Schritt besteht darin, einen Punkt Q in der Ebene E zu finden. Wir können beispielsweise Q1,5,1 wählen, da dieser Punkt die Ebenengleichung erfüllt: 2·1 + 5 + 2·1 = 9. Die Länge des Normalenvektors n = 2,1,2 berechnet sich durch die Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten: √22+12+22 = 3.
Um einen Punkt P mit einem vorgegebenen Abstand d zur Ebene zu bestimmen, nutzen wir die Abstandsformel und den Normaleneinheitsvektor. Bei einem gewünschten Abstand von 6 Längeneinheiten erhalten wir durch Vektoraddition P = Q ± d·n/∣n∣ den gesuchten Punkt P5,17,5. Die Richtung des Abstands kann dabei positiv oder negativ gewählt werden.
Beispiel: Für einen Punkt P mit Abstand 6 LE zur Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 9
P = 1,5,1 + 6 · 2/3,1/3,2/3 = 5,17,5