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Lerne die Kettenregel und Produktregel: Einfache Beispiele und Lösungen

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Vovy

17.2.2021

Mathe

Ketten-und Produktregel

Lerne die Kettenregel und Produktregel: Einfache Beispiele und Lösungen

Die Produktregel und Kettenregel sind grundlegende Konzepte der Differentialrechnung. Sie ermöglichen das Ableiten komplexer Funktionen, die aus Produkten oder Verkettungen einfacherer Funktionen bestehen. Diese Regeln sind besonders nützlich bei der Arbeit mit e-Funktionen und logarithmischen Funktionen.

• Die Produktregel wird angewendet, wenn zwei Funktionen multipliziert werden.
• Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt wird.
• Beide Regeln sind essentiell für das Lösen anspruchsvoller Ableitungsaufgaben.
• Praktische Beispiele und Übungen helfen beim Verständnis und der Anwendung dieser Regeln.

...

17.2.2021

2633

Produktregel
für f(x)= u(x). v(x) gilt:
Beispiele:
1) F(x) = (x³ + 1)(x-u)
f'(x) = (3x²). (x-u) + (x³ + 1). (1) | vereinfachen
2
-3x²-12x² +

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Kettenregel und spezielle Ableitungen

Die Kettenregel ist eine weitere wichtige Ableitungsregel, die bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen Anwendung findet. Sie wird wie folgt definiert:

Für f(x) = g(h(x)) gilt: f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

Definition: Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion (bewertet an der inneren Funktion) und der Ableitung der inneren Funktion ist.

Die Anwendung der Kettenregel wird anhand von Beispielen demonstriert:

  1. f(x) = (x² - 5)² Hier ist g(x) = x² die äußere Funktion und h(x) = x² - 5 die innere Funktion. f'(x) = 2(x² - 5) · 2x = 4x(x² - 5)

  2. f(x) = e^(2x) In diesem Fall ist die E-Funktion die äußere Funktion. f'(x) = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)

  3. f(x) = ln(2x + 5) Hier wird die Kettenregel auf eine logarithmische Funktion angewendet. f'(x) = 1/(2x + 5) · 2 = 2/(2x + 5)

Highlight: Die Kettenregel ist besonders nützlich bei der Ableitung von E-Funktionen und logarithmischen Funktionen. Sie ermöglicht es, komplexe Ableitungen in einfachere Schritte zu zerlegen.

Zusätzlich werden einige bekannte Ableitungen präsentiert:

  • f(x) = e^x → f'(x) = e^x
  • f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
  • f(x) = x · e^x → f'(x) = e^x + x · e^x

Example: Bei E-Funktionen gilt die Regel, dass der Exponent abgeleitet wird und e unverändert bleibt. Dies vereinfacht die Ableitung von Funktionen wie e^(2x) zu 2e^(2x).

Diese Regeln und Beispiele bieten eine solide Grundlage für das Verständnis und die Anwendung der Produktregel und Kettenregel in der Differentialrechnung. Sie sind unerlässlich für fortgeschrittene mathematische Analysen und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik.

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Lena, iOS Userin

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Mathe

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17. Feb. 2021

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Lerne die Kettenregel und Produktregel: Einfache Beispiele und Lösungen

V

Vovy

@vovy_study

Die Produktregel und Kettenregel sind grundlegende Konzepte der Differentialrechnung. Sie ermöglichen das Ableiten komplexer Funktionen, die aus Produkten oder Verkettungen einfacherer Funktionen bestehen. Diese Regeln sind besonders nützlich bei der Arbeit mit e-Funktionen und logarithmischen Funktionen.

• Die Produktregel wird... Mehr anzeigen

Produktregel
für f(x)= u(x). v(x) gilt:
Beispiele:
1) F(x) = (x³ + 1)(x-u)
f'(x) = (3x²). (x-u) + (x³ + 1). (1) | vereinfachen
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Kettenregel und spezielle Ableitungen

Die Kettenregel ist eine weitere wichtige Ableitungsregel, die bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen Anwendung findet. Sie wird wie folgt definiert:

Für f(x) = g(h(x)) gilt: f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

Definition: Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion (bewertet an der inneren Funktion) und der Ableitung der inneren Funktion ist.

Die Anwendung der Kettenregel wird anhand von Beispielen demonstriert:

  1. f(x) = (x² - 5)² Hier ist g(x) = x² die äußere Funktion und h(x) = x² - 5 die innere Funktion. f'(x) = 2(x² - 5) · 2x = 4x(x² - 5)

  2. f(x) = e^(2x) In diesem Fall ist die E-Funktion die äußere Funktion. f'(x) = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)

  3. f(x) = ln(2x + 5) Hier wird die Kettenregel auf eine logarithmische Funktion angewendet. f'(x) = 1/(2x + 5) · 2 = 2/(2x + 5)

Highlight: Die Kettenregel ist besonders nützlich bei der Ableitung von E-Funktionen und logarithmischen Funktionen. Sie ermöglicht es, komplexe Ableitungen in einfachere Schritte zu zerlegen.

Zusätzlich werden einige bekannte Ableitungen präsentiert:

  • f(x) = e^x → f'(x) = e^x
  • f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
  • f(x) = x · e^x → f'(x) = e^x + x · e^x

Example: Bei E-Funktionen gilt die Regel, dass der Exponent abgeleitet wird und e unverändert bleibt. Dies vereinfacht die Ableitung von Funktionen wie e^(2x) zu 2e^(2x).

Diese Regeln und Beispiele bieten eine solide Grundlage für das Verständnis und die Anwendung der Produktregel und Kettenregel in der Differentialrechnung. Sie sind unerlässlich für fortgeschrittene mathematische Analysen und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik.

Produktregel
für f(x)= u(x). v(x) gilt:
Beispiele:
1) F(x) = (x³ + 1)(x-u)
f'(x) = (3x²). (x-u) + (x³ + 1). (1) | vereinfachen
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Produktregel und ihre Anwendungen

Die Produktregel ist eine fundamentale Ableitungsregel, die es ermöglicht, das Produkt zweier Funktionen abzuleiten. Sie wird folgendermaßen definiert:

Für f(x) = u(x) · v(x) gilt: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

Diese Regel findet Anwendung in verschiedenen mathematischen Kontexten und ist besonders nützlich bei der Ableitung komplexer Funktionen.

Definition: Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen gleich der Summe aus dem Produkt der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion und dem Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion ist.

Zur Veranschaulichung werden drei Beispiele präsentiert:

  1. f(x) = (x³ + 1)(x - u) Die Anwendung der Produktregel führt zu: f'(x) = (3x²) · (x - u) + (x³ + 1) · (1) Nach Vereinfachung ergibt sich: f'(x) = 4x² - 3x² - u + x³ + 1

  2. f(x) = e^x · (4x - 5) Hier wird die Produktregel in Kombination mit der Ableitung der E-Funktion angewendet: f'(x) = e^x · (4x - 5) + e^x · 4 Das Ergebnis lautet: f'(x) = e^x(4x - 1)

  3. f(x) = 2x · ln(x) Die Anwendung der Produktregel führt zu: f'(x) = 2 · ln(x) + 2x · (1/x) Vereinfacht: f'(x) = 2ln(x) + 2

Highlight: Die Produktregel ist besonders nützlich, wenn eine Funktion als Produkt zweier einfacherer Funktionen dargestellt werden kann. Sie ermöglicht es, komplexe Ableitungen ohne einen Ableitungsrechner zu berechnen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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