Kettenregel und spezielle Ableitungen
Die Kettenregel ist eine weitere wichtige Ableitungsregel, die bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen Anwendung findet. Sie wird wie folgt definiert:
Für f(x) = g(h(x)) gilt: f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
Definition: Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion (bewertet an der inneren Funktion) und der Ableitung der inneren Funktion ist.
Die Anwendung der Kettenregel wird anhand von Beispielen demonstriert:
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f(x) = (x² - 5)²
Hier ist g(x) = x² die äußere Funktion und h(x) = x² - 5 die innere Funktion.
f'(x) = 2(x² - 5) · 2x = 4x(x² - 5)
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f(x) = e^(2x)
In diesem Fall ist die E-Funktion die äußere Funktion.
f'(x) = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)
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f(x) = ln(2x + 5)
Hier wird die Kettenregel auf eine logarithmische Funktion angewendet.
f'(x) = 1/(2x + 5) · 2 = 2/(2x + 5)
Highlight: Die Kettenregel ist besonders nützlich bei der Ableitung von E-Funktionen und logarithmischen Funktionen. Sie ermöglicht es, komplexe Ableitungen in einfachere Schritte zu zerlegen.
Zusätzlich werden einige bekannte Ableitungen präsentiert:
- f(x) = e^x → f'(x) = e^x
- f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
- f(x) = x · e^x → f'(x) = e^x + x · e^x
Example: Bei E-Funktionen gilt die Regel, dass der Exponent abgeleitet wird und e unverändert bleibt. Dies vereinfacht die Ableitung von Funktionen wie e^(2x) zu 2e^(2x).
Diese Regeln und Beispiele bieten eine solide Grundlage für das Verständnis und die Anwendung der Produktregel und Kettenregel in der Differentialrechnung. Sie sind unerlässlich für fortgeschrittene mathematische Analysen und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik.
