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Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

1.422

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9. Aug. 2021

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8 Seiten

Gebrochen-rationale Funktionen verstehen: Einfache Erklärungen und Beispiele

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Larissa Dammann

@larissa_damm

Gebrochen rationale Funktionenare essential mathematical concepts that help understand... Mehr anzeigen

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Asymptoten und Wertetabelle

Diese Seite befasst sich mit der Berechnung der Asymptoten der Funktion f₁xx. Die Gleichung der Asymptote wird als fA1xx = x² + x + 1 angegeben.

Der Scheitelpunkt der parabelförmigen Asymptote wird berechnet. Eine Wertetabelle für die Asymptote wird erstellt und im Koordinatensystem eingezeichnet.

Example: Berechnung des Scheitelpunkts der Asymptote: SPA1−0,5/0,75-0,5 / 0,75

Highlight: Asymptoten geben Aufschluss über das Verhalten der Funktion für sehr große oder kleine x-Werte.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Extremwerte und Wendepunkte

Auf dieser Seite werden Extremwerte und Wendepunkte der Funktion f₁xx bestimmt. Eine detaillierte Wertetabelle wird erstellt, um den Funktionsverlauf zu analysieren.

Die Koordinaten des Extremwerts E₁1,5/6,751,5 / 6,75 und des Wendepunkts W₁ werden berechnet. Es wird festgestellt, dass der Extremwert ein Maximum ist.

Vocabulary: Extremwert - Ein Punkt, an dem die Funktion einen maximalen oder minimalen Wert annimmt.

Vocabulary: Wendepunkt - Ein Punkt, an dem die Funktion ihre Krümmung ändert.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Grafische Darstellung

Diese Seite zeigt die grafische Darstellung der Funktion f₁xx in einem Koordinatensystem. Alle berechneten Punkte, einschließlich Schnittpunkte, Extremwerte und Wendepunkte, werden eingezeichnet.

Die senkrechte Asymptote an der Polstelle wird ebenfalls dargestellt. Der Graph veranschaulicht das Verhalten der Funktion, insbesondere in der Nähe der Polstelle und für große x-Werte.

Highlight: Die grafische Darstellung ist ein wichtiges Hilfsmittel, um das Verhalten einer gebrochen rationalen Funktion zu verstehen.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Zusätzliche Berechnungen und Eigenschaften

Diese Seite enthält weitere Berechnungen und Erläuterungen zu den Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen. Es werden zusätzliche Nullstellen und Wendepunkte untersucht.

Definition: Eine waagrechte Asymptote tritt auf, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners.

Highlight: Bei gebrochen rationalen Funktionen kann der Graph gegen unendlich gehen, wenn der x-Wert sich der Definitionslücke nähert.

Vocabulary: Senkrechte Asymptote - Eine vertikale Linie, der sich der Graph nähert, aber nie erreicht.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Zusammenfassung der Eigenschaften

Diese abschließende Seite fasst die wichtigsten Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen zusammen:

  1. Sie haben eine Variable im Nenner.
  2. Der Graph geht gegen unendlich an Definitionslücken.
  3. Sie können senkrechte und waagrechte Asymptoten haben.
  4. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente, aber keine Extremstellen.

Highlight: Der Nenner einer gebrochen rationalen Funktion darf nicht Null werden, da dies zu einer Definitionslücke führt.

Example: fxx = x2−1x² - 1 / x−1x - 1 hat eine Definitionslücke bei x = 1.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Analyse und Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen, einschließlich wichtiger Konzepte wie Asymptoten, Polstellen und Wendepunkte.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Additional Pages

The remaining pages continue with practical applications and exercises, reinforcing the concepts through:

  • Additional example problems
  • Solution strategies
  • Verification methods
  • Practice exercises

Highlight: Regular practice with various problem types helps build proficiency in handling rational functions.

Klassenarbeit Mathematik gebrochenrationale Funktionen Punkte: 775/73 P Note: 1 > Xp= Nachweis: f Berechnen Sie auf einem Rechenblatt. Ohne

Final Review and Applications

The concluding section emphasizes:

  • Key concepts review
  • Common pitfalls to avoid
  • Practical applications
  • Test-taking strategies

Highlight: Success in working with rational functions requires both theoretical understanding and practical problem-solving skills.

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Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion

Diese Seite behandelt den Beginn einer Kurvendiskussion für die gebrochen rationale Funktion f₁xx = -x−1x-1/x2+1x²+1.

Der Definitionsbereich wird als D: R \ {1} angegeben. Die Polstelle bei x=1 wird identifiziert und nachgewiesen, dass es sich um eine echte Polstelle und nicht um eine Definitionslücke handelt.

Weitere Schritte umfassen die Berechnung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Analyse der Nullstelle.

Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, bei der eine Variable im Nenner steht.

Highlight: Die Bestimmung von Polstellen ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen.

Vocabulary: Polstelle - Eine Stelle, an der der Nenner einer Funktion Null wird und die Funktion nicht definiert ist.



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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Gebrochen-rationale Funktionen verstehen: Einfache Erklärungen und Beispiele

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Larissa Dammann

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Gebrochen rationale Funktionen are essential mathematical concepts that help understand complex relationships between variables. This comprehensive guide covers their properties, analysis, and applications.

Key aspects include:

  • Definition and characteristics of gebrochen rationale Funktionen
  • Methods for finding zeros, poles, and asymptotes... Mehr anzeigen

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Asymptoten und Wertetabelle

Diese Seite befasst sich mit der Berechnung der Asymptoten der Funktion f₁xx. Die Gleichung der Asymptote wird als fA1xx = x² + x + 1 angegeben.

Der Scheitelpunkt der parabelförmigen Asymptote wird berechnet. Eine Wertetabelle für die Asymptote wird erstellt und im Koordinatensystem eingezeichnet.

Example: Berechnung des Scheitelpunkts der Asymptote: SPA1−0,5/0,75-0,5 / 0,75

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Extremwerte und Wendepunkte

Auf dieser Seite werden Extremwerte und Wendepunkte der Funktion f₁xx bestimmt. Eine detaillierte Wertetabelle wird erstellt, um den Funktionsverlauf zu analysieren.

Die Koordinaten des Extremwerts E₁1,5/6,751,5 / 6,75 und des Wendepunkts W₁ werden berechnet. Es wird festgestellt, dass der Extremwert ein Maximum ist.

Vocabulary: Extremwert - Ein Punkt, an dem die Funktion einen maximalen oder minimalen Wert annimmt.

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Grafische Darstellung

Diese Seite zeigt die grafische Darstellung der Funktion f₁xx in einem Koordinatensystem. Alle berechneten Punkte, einschließlich Schnittpunkte, Extremwerte und Wendepunkte, werden eingezeichnet.

Die senkrechte Asymptote an der Polstelle wird ebenfalls dargestellt. Der Graph veranschaulicht das Verhalten der Funktion, insbesondere in der Nähe der Polstelle und für große x-Werte.

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Zusätzliche Berechnungen und Eigenschaften

Diese Seite enthält weitere Berechnungen und Erläuterungen zu den Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen. Es werden zusätzliche Nullstellen und Wendepunkte untersucht.

Definition: Eine waagrechte Asymptote tritt auf, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners.

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  1. Sie haben eine Variable im Nenner.
  2. Der Graph geht gegen unendlich an Definitionslücken.
  3. Sie können senkrechte und waagrechte Asymptoten haben.
  4. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente, aber keine Extremstellen.

Highlight: Der Nenner einer gebrochen rationalen Funktion darf nicht Null werden, da dies zu einer Definitionslücke führt.

Example: fxx = x2−1x² - 1 / x−1x - 1 hat eine Definitionslücke bei x = 1.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Analyse und Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen, einschließlich wichtiger Konzepte wie Asymptoten, Polstellen und Wendepunkte.

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Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion

Diese Seite behandelt den Beginn einer Kurvendiskussion für die gebrochen rationale Funktion f₁xx = -x−1x-1/x2+1x²+1.

Der Definitionsbereich wird als D: R \ {1} angegeben. Die Polstelle bei x=1 wird identifiziert und nachgewiesen, dass es sich um eine echte Polstelle und nicht um eine Definitionslücke handelt.

Weitere Schritte umfassen die Berechnung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Analyse der Nullstelle.

Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, bei der eine Variable im Nenner steht.

Highlight: Die Bestimmung von Polstellen ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse gebrochen rationaler Funktionen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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